(共43张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
学习目标 素养要求
1.结合教材实例理解直线平行或垂直的判定条件 数学抽象
2.结合教材实例会利用斜率解决与两条直线平行或垂直相关的问题 数学运算
3.会用斜率判定两条直线的位置关系，能利用斜率解决相关的问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠________ α1＝α2＝________
对应关系 l1∥l2 ________ l1∥l2 两条直线斜率都不存在
图示
90°
90°
k1＝k2
已知两条直线l1与l2平行，请根据两条直线平行的条件思考下列问题：
(1)直线l1的倾斜角α1与直线l2的倾斜角α2有何关系？
(2)这两条直线的斜率一定相等吗？
【答案】(1)提示：直线l1，l2满足l1∥l2，即两条直线向上方向与x轴正向夹角相等，故直线l1，l2的倾斜角相等，即α1＝α2．
(2)提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等．
微思考
【预习自测】
两条直线垂直与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
对应 关系 l1⊥l2(两条直线斜率都存在，且都不为零) ________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ________
图示
k1·k2＝－1
l1⊥l2
【预习自测】
若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴 ( )
A．垂直 B．重合
C．平行 D．位置不确定
【答案】A
【解析】当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴．
如果两条直线垂直，那么它们的斜率的积一定等于－1吗？
【答案】提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．
微思考
| 课 堂 互 动 |
提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．
1．(1)已知两平行直线的斜率是方程2x2－4x＋m－1＝0的两实数根，则m的值为 ( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
(2)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为 ( )
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
【答案】(1)C (2)D
题型2 两条直线垂直的判定与应用
(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2．
(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意．
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率是否存在．
2．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
【答案】(－19，－62)
题型3 平行与垂直的综合应用
角度1 垂直关系的应用
△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
【例题迁移】 (改变条件)若将本例中的条件“若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形”改为“若△ABC为直角三角形”，如何求解m的值？
角度2 平行关系的应用
已知四边形MNPQ的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ为矩形．
利用坐标法解决实际问题的三个步骤
(1)建立恰当的平面直角坐标系．
(2)将“形”转化为“数”进行运算．
(3)将计算结果转化为实际问题所求解的问题．
提醒：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．
3．(同类练)本例条件不变．若再在花园里设计一条过点M且与AC平行的小路，怎样设计？
4．(变式练)已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
5．(拓展练)已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，
由于kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直．
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
规范解答 由两条直线平行、垂直的条件求参数的值
已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
【题后悟道】
1．两条直线平行时关注是否重合
由于斜率相等的两条直线可能平行，也可能重合，所以由两条直线平行得斜率相等，求参数的值后要注意检验，如本例中m＝1或m＝6时，经检验l1与l2不重合．
| 素 养 达 成 |
1．对两条直线平行的判定条件的理解
l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件有两个：
①两条直线的斜率都存在；
②这两条直线不重合．
2．两条直线垂直的判定必须注意的三个问题
(1)利用l1⊥l2 k1·k2＝－1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在，且都不为0．
(2)若k1·k2≠－1，则两条直线一定不会垂直．
(3)若两条直线中，一条直线斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
这样，两条直线垂直的判定的条件就可叙述为：l1⊥l2 k1·k2＝－1或一条直线斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
1．(题型1)过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
【答案】B
【解析】由斜率公式计算得，过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线的斜率为0，且直线AB不与y＝3重合．
【答案】D
3．(题型2)直线l1，l2满足l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．
4．(题型2)l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________．
【答案】0
5．(题型3)已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB且CB∥AD.2．1.2 两条直线平行和垂直的判定
A级——基础过关练
1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是 ( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．平行或重合
2．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1∥l2，则logx＝ ( )
A． B．－ C．2 D．－2
3．已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为 ( )
A．1 B．－2 C．－3 D．1
4．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是 ( )
A．60° B．120° C．45° D．135°
5．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值是 ( )
A．－ B．－ C． D．
6．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为 ( )
A．2 B．－2 C．±2 D．±
7．(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则m的值可以为 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
8．若点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：
①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的序号有________．
9．已知点M(1，－3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP＝90°，则log8(7＋y)＝________．
10．已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
(2)∠MPN是直角．
B级——能力提升练
11．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
12．(多选)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是 ( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
13．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
14．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
2．1.2 两条直线平行和垂直的判定
A级——基础过关练
1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是 ( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．平行或重合
【答案】D 【解析】直线l1的斜率为tan 135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，所以直线l1与l2平行或重合．
2．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1∥l2，则logx＝ ( )
A． B．－ C．2 D．－2
【答案】B 【解析】因为l1∥l2，所以＝2，即x＝3，故logx＝log3＝－.
3．已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为 ( )
A．1 B．－2 C．－3 D．1
【答案】B 【解析】因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.所以kEF＝kAB＝＝－2.故选B.
4．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是 ( )
A．60° B．120° C．45° D．135°
【答案】C 【解析】设直线l的倾斜角为θ.kMN＝＝－1.因为直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，所以klkMN＝－1，所以kl＝1，所以tan θ＝1.因为0°≤θ<180°，所以θ＝45°.
5．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值是 ( )
A．－ B．－ C． D．
【答案】A 【解析】由于直线l与斜率为－的直线垂直，可知a－2≠－a－2.因为kl＝＝－，所以－·＝－1.所以a＝－.
6．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为 ( )
A．2 B．－2 C．±2 D．±
【答案】C 【解析】由题意得m2＋－4＝tan 60°＝，解得m＝±2.
7．(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与CD平行，则m的值可以为 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】BC 【解析】当m＝0时，A(0，3)，B(0，4)，C(1，2)，D(1，0)，直线AB⊥x轴，直线CD⊥x轴，所以直线AB与CD平行．当m≠0时，kAB＝，kCD＝，∴＝，∴m＝1.
8．若点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：
①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的序号有________．
【答案】①②④ 【解析】因为kAB＝－，kCD＝－，kAD＝，kAC＝，kBD＝－4，所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD，故①②④正确．
9．已知点M(1，－3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP＝90°，则log8(7＋y)＝________．
【答案】 【解析】由M，N，P三点的坐标，得MN垂直于x轴．又因为∠NMP＝90°，所以kMP＝0，所以y＝－3，所以log8(7＋y)＝log84＝.
10．已知点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
(2)∠MPN是直角．
解：设P(x，0).
(1)因为∠MOP＝∠OPN，
所以OM∥NP，所以kOM＝kNP.
又因为kOM＝＝1，kNP＝＝(x≠5)，
所以1＝.
所以x＝7，即点P的坐标为(7，0).
(2)因为∠MPN＝90°，
所以MP⊥NP.
根据题意知MP，NP的斜率均存在，
所以kMP·kNP＝－1.
kMP＝(x≠2)，kNP＝(x≠5)，
所以×＝－1，
解得x＝1或x＝6，
故点P的坐标为(1，0)或(6，0).
B级——能力提升练
11．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
【答案】B 【解析】由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.故选B.
12．(多选)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是 ( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
【答案】AC 【解析】设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.由k1k2＝－1，可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.所以当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.故选AC.
13．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
【答案】(1，0)或(2，0) 【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交于点C，则AC⊥CB.据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x，0)，则kAC＝，kBC＝.所以·＝－1，解得x＝1或x＝2.所以C(1，0)或C(2，0).
14．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．
【答案】2 － 【解析】若l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，所以b＝2.若l1∥l2，则k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，所以b＝－.
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
解：因为直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
所以直线l1的斜率为k1＝tan 60°＝.
又因为直线AB的斜率为＝，
所以AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.
因为直线l1与l2平行，
所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.(共51张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
学习目标 素养要求
1.结合教材实例理解直线的倾斜角的概念 数学抽象
2.结合教材实例理解斜率的概念及其计算公式 数学运算
3.能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题 直观想象、数学运算
| 自 学 导 引 |
直线的倾斜角
向右
向上
正向
向上
0°≤α＜180°
0°
若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是______，一个法向量是______．
【答案】(1，k) (k，－1)
【解析】因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，则它的一个法向量是(k，－1)．
【预习自测】
当一条直线的倾斜角为0°时，此时这条直线一定与x轴平行吗？
【答案】提示：不一定，也可能与x轴重合．
微思考
直线的斜率
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan α．
2．斜率与倾斜角的关系：
k＝0
k＞0
k＜0
思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有直线都有倾斜角和斜率． ( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( )
(4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)×
【预习自测】
【解析】(1)所有直线都有倾斜角，但是倾斜角为90°的直线斜率不存在．
(2)倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．
(3)确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角α．
(4)当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大．
直线的斜率公式
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)．
(1)直线P1P2的斜率公式是k＝__________．
(2)当直线P1P2垂直于x轴(即x1＝x2)时，直线的斜率________．
(3)当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合(即y1＝y2)时，直线的斜率为______．
不存在
0
1．直线x－2y＋1＝0的一个方向向量是 ( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(2，－1) D．(2,1)
【答案】D
【预习自测】
2．若三点A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为 ( )
A．10 B．－10
C．5 D．－5
【答案】A
3．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为__________．
【答案】k1＜k2＜k3
【解析】因为l1，l2，l3的倾斜角均为锐角，根据倾斜角越大，斜率越大，可知k1＜k2＜k3．
【答案】提示：此斜率公式适用的范围是已知两点的横坐标不相等，即x1≠x2，也即直线与x轴不垂直．
微思考
| 课 堂 互 动 |
题型1 对直线的倾斜角、斜率的理解
(1)(多选)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有
( )
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为tan 200°，则该直线的倾斜角为200°
D．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 ( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
【答案】(1)AD (2)D
【解析】(1)任意一条直线都有倾斜角但是不一定有斜率，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，故A正确，B不正确；若一条直线的斜率为tan 200°，则倾斜角为20°，故C错误；由直线的倾斜角和斜率的定义，若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α正确，故D正确．故选AD.
(2)根据题意，画出图形，如图所示．
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图可知：当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°．
直线的倾斜角与斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合).
(2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析．
1．(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.
(2)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．
【答案】(1)60°或120°
【解析】有两种情况：①如图1，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°；②如图2，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
题型2 有关直线斜率的运算
(2)(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为 ( )
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
【答案】(1)B (2)AC
【答案】(1)120°
题型3 斜率与倾斜角的综合应用
若A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，求a的值．
【例题迁移1】 (变换条件)若将点A(1,1)的坐标改为“(1,4)”，其他条件不变，则a的值应为多少？
【例题迁移2】 (变换条件，改变问法)若将点C的坐标改为“(4,7)”，试证明A，B，C三点在同一条直线上．
解：因为A(1,1)，B(3,5)，C(4,7)，
由斜率公式得kAB＝2，kAC＝2，
所以kAB＝kAC．
因为直线AB与直线AC的倾斜角相等且过同一点A，
所以直线AB与直线AC为同一条直线．
故A，B，C三点在同一条直线上．
用斜率公式解决三点共线问题的方法
3．已知某直线l的倾斜角α＝45°，P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
易错警示 利用直线倾斜角与斜率的关系的求解问题
如图，已知点A(－2,3)，B(3,2)，直线l过点P(0，－2)，且与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的变化范围．
错解分析：错误的根本原因是对斜率k与倾斜角间的变化关系理解得不准确．
防范措施：正确理解直线倾斜角与斜率的变化求斜率范围问题时，一定要注意对直线倾斜角与斜率的关系的正确理解并灵活应用．如本例直线的倾斜角是从一个锐角逐渐增大到一个钝角，所以直线的斜率应是两个小范围的并集．
| 素 养 达 成 |
1．关于直线的倾斜角与斜率的关系
(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．
(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负．
(3)当倾斜角α＝90°时，直线斜率不存在；当α≠90°时，可以建立倾斜角α与斜率k之间的函数关系式，即k＝tan α(α≠90°)．
2．对直线斜率的两点公式的理解
(1)斜率公式表明直线相对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便．
(2)如果y2＝y1，x2≠x1，那么直线与x轴平行或重合，斜率为0；如果y2≠y1，x2＝x1，那么直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
1．(题型1)给出下列说法，正确的个数是 ( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
2．(题型2)下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
【答案】D
【解析】两点横坐标相同时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在．
3．(题型1)下图中α能表示直线l的倾斜角的是________．
【答案】①
【解析】结合直线l的倾斜角的定义可知①可以．
5．(题型3)设坐标平面内的三点A(m，－m－3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．2．1.1 倾斜角与斜率
A级——基础过关练
1．(2023年合肥月考)若直线l经过原点和点A(－2，－2)，则它的斜率为 ( )
A．－1 B．1 C．1或－1 D．0
2．若直线过点(1，2)，(2，2＋)，则此直线的倾斜角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2023年中山月考)若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为 ( )
A． B．－ C．－2 D．2
4．若三点A(－3，4)，B(6，10)，C(9，x)在同一条直线上，则实数x的值为 ( )
A．12 B．－12 C．8 D．－8
5．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的2倍，则点P的坐标为 ( )
A．(－5，0) B．(5，0)
C．(－4，0) D．(4，0)
6．(2023年清远模拟)已知A(3，5)，B(5，7)，直线l的斜率是直线AB斜率的倍，则直线l的倾斜角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．(多选)在下列四个命题中，错误的有 ( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
8．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
9．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．
10．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
B级——能力提升练
11．(多选)直线l过点M(－1，2)，且与以P(－2，－3)，Q(4，0)为端点的线段PQ相交，则l的斜率的取值可能是 ( )
A．－ B．0 C． D．6
12．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若k∈[－，1]，则α的取值范围为 ( )
A．∪ B．∪
C． D．
13．直线l的一个方向向量d＝(3，)，则直线l的倾斜角是________，直线l斜率是________．
14．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
15．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t的取值范围．
2．1.1 倾斜角与斜率
A级——基础过关练
1．(2023年合肥月考)若直线l经过原点和点A(－2，－2)，则它的斜率为 ( )
A．－1 B．1 C．1或－1 D．0
【答案】B 【解析】根据两点表示的斜率公式得k＝＝＝1.
2．若直线过点(1，2)，(2，2＋)，则此直线的倾斜角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C 【解析】利用斜率公式k＝＝＝tan α，可得倾斜角为60°.
3．(2023年中山月考)若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为 ( )
A． B．－ C．－2 D．2
【答案】A 【解析】因为A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，所以kAB＝kBC，所以＝，解得m＝.
4．若三点A(－3，4)，B(6，10)，C(9，x)在同一条直线上，则实数x的值为 ( )
A．12 B．－12 C．8 D．－8
【答案】A 【解析】由三点在同一直线上，则可得kAB＝kBC，由斜率计算公式可知＝，解得x＝12.
5．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的2倍，则点P的坐标为 ( )
A．(－5，0) B．(5，0)
C．(－4，0) D．(4，0)
【答案】A 【解析】设P(x，0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2×，解得x＝－5.
6．(2023年清远模拟)已知A(3，5)，B(5，7)，直线l的斜率是直线AB斜率的倍，则直线l的倾斜角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C 【解析】设直线l的斜率为k，则k＝kAB＝×＝.所以直线l的倾斜角为60°.
7．(多选)在下列四个命题中，错误的有 ( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
【答案】ACD 【解析】对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y＝x的斜率为tan ，它的倾斜角为，故C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，故D错误．故选ACD.
8．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
【答案】 【解析】因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，所以2(a＋b)＝ab，所以＝，所以＋＝.
9．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．
【答案】2 【解析】①当过A，B，C三点的直线斜率不存在时，即1－a＝a＝0，无解．②当过A，B，C三点的直线斜率存在时，即kAB＝＝kBC＝，即＝3，解得a＝2.综上可知，当A，B，C三点共线时，a的值为2.
10．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
解：因为k2＝kMN＝＝1，
所以l2的倾斜角为45°.
又因为l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，
故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.
B级——能力提升练
11．(多选)直线l过点M(－1，2)，且与以P(－2，－3)，Q(4，0)为端点的线段PQ相交，则l的斜率的取值可能是 ( )
A．－ B．0 C． D．6
【答案】AD 【解析】当l的斜率为正时，因为其倾斜角均大于或等于直线MP的倾斜角，故其斜率不小于kMP＝5；当l的斜率为负时，因为其倾斜角均小于或等于直线MQ的倾斜角，故其斜率不大于kMQ＝－.故选AD.
12．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，若k∈[－，1]，则α的取值范围为 ( )
A．∪ B．∪
C． D．
【答案】A 【解析】因为k＝tan α∈，且α∈[0，π)，所以α∈∪.故选A.
13．直线l的一个方向向量d＝(3，)，则直线l的倾斜角是________，直线l斜率是________．
【答案】 【解析】由d＝(3，)是直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为，所以倾斜角为.
14．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
【答案】0 【解析】由于正三角形的内角都为60°，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为60°，则斜率为tan 60°＝，则边AC所在直线的倾斜角为120°，斜率为tan 120°＝－，所以AC，AB所在直线的斜率之和为＋(－)＝0.
15．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t的取值范围．
解：因为直线的倾斜角α不是锐角，
所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．
当α＝0°时，1＋t＝2t，得t＝1；
当α＝90°时，1－t＝3，得t＝－2；
当α是钝角时，直线的斜率小于0，
即<0，得<0，解得－2综上所述，实数t的取值范围为[－2，1].
