课件31张PPT。任意角1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？ 2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念. 新课引入3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 角——一点出发的两条射线所围成
的图形角——一条射线绕一个端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形顶点始边终边一、角的概念规定：逆时针转动——正角
顺时针转动——负角
没有转动 ——零角终边与始边重合的角是零角吗？二、角的分类三、象限角（在直角坐标系）四：终边相同的角如果角的终边（除端点外）在第几象限，
我们就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为“轴上角”。如果几个角的终边相同则称它们是终边相同的角。
（它们正好相差整数圈）四、角的集合的表示方法S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S都可以做如下表示。第二象限第一象限第三象限典型例题思考：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .思考：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？ 终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}. 新课教学思考：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限：S={α | k·360°<α<
90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α<
180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α<
270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°<
α
-50°，405°，210°,
-200°，－450°分别是第几象限的角？－450°思考：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？90°＋k·360°<α<180°＋k·360°180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°新课教学课堂练习例1例2C例题讲解例3指出下列各角是第几象限内的角解：（1）（2）（3）（5）（4）总结例4写出满足下列条件的角的集合：例5练习例6解:例7C练习例8讨论:例9例10解: (1)例10(2)例111.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角. 课堂小结课件19张PPT。弧度制1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？ 2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？ 前课复习 3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？ S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.新课引入例3写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：练习练习练习1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点. 课堂小结课件25张PPT。任意角的三角函数1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？ （1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.（3）角的大小是任意的.前课复习2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？问题1：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切、余切依次为:当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要. 1.任意角的三角函数定义 我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看
成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种
函数统称三角函数．注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题时，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，
任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.
实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. 2.三角函数是以实数为自变量的函数 3.??三角函数的定义域 通过对三角函数定义的讨论，推导出任意角三角函数的定义域(自变量取值范围）。定义域RR余切:cotα=x/y正割:secα=r/x余割:cscα=r/y例1 变1：已知角α的终边经过点P（2a，-3a），求α的三角函数值； （a≠0）特殊角的三角函数值补充练习3.三角函数值在各个象限内的符号++++++++––––––––4.由三角函数的定义知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。由此得到诱导公式（一）：利用公式（一），可以把求任意角的三角函数值，转化到求0。到360。角的三角函数值。3.已知角α的终边上一点P与A（a，b）关于x轴
对称（a≠0且b≠0)，角β的终边上的点Q与A
关于直线y＝x对称，
求sin α sec β ＋tan α cot β ＋sec α csc β的值。4.cos α ＜0是α是第二象限的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件6.若sin θ ＜0且tan θ ＞0,则θ是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角7.已知角θ的终边在直线y＝－3x上，
求10sin θ ＋3sec θ的值。问题2：三角函数的一种几何表示正弦线余弦线正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1） ；（2） ．例3：小结反思任意角三角函数1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.课件19张PPT。单位圆中的三角函数线1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦.终边相同的角的同名三角函数值相等.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. 复习引入正弦线和余弦线 正弦线和余弦线 为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？ 思考：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？MP＋OM>OP=1正切线 正切线 思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.思考：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？ 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1） ； （2） ；
（3） ； （4） .1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.课堂小结 课件10张PPT。任意角的三角函数 （习题）一.复习:1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义正弦：余弦：正切：余切：正割：余割：把以上六种函数都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，统称叫三角函数．（1）?为任意角，P（x,y)为角?终边上非原点的任意一点（3）比值与点p在角?终边上的位置无关2.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线MP(x,y)A(1,0)TMP是正弦线OM是余弦线 AT是正切线一.练习:把以上六种函数都看成是以角为自变量，
以比值为函数值的函数，统称叫三角函数．二.(1)三个三角函数的定义域记法：一全正二正弦三两切四余弦,csca,seca,cota(2)三个三角函数的在各象限的符号yxo+-+-全为+记法：一全正二正弦三两切四余弦(2)三个三角函数的在各象限的符号cscasecacota练.作出下列各角的正弦,余弦,正切线,并求其三角函数值：
（1） （2）PMMP是正弦线OM是余弦线AT AT是正切线根据上述结论,我们也可以推断出结论：终边相同的角的同名三角函数值相等。角定象限,象限定符号终边相同的角的同名三角函数值相等。(2)三角函数的诱导公式(一)课件30张PPT。三角函数的诱导公式1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？前课复习2.诱导公式（一）3.你能求sin750°和sin930°的值吗？4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题.练习一：
求： 的值 。诱导公式（一）的作用：把不在0~3600角的三角函数值转化为0~3600间的三角函数值。练习二：若 是锐角，
1、求下列角的范围并判断其终边的位置与角 关系：
2、判断下列各式的符号：问题一：不能用计算器及查表，你能求哪些特殊角的三角函数值？（举例说明）问题二：如何求下列三角函数值？
1、
2、
3、问题三：在1800~2700间的角是否均可以表示成 ？问题四：下面寻找 与 的关系？
诱导公式（二）：作用：把1800~2700角的三角函数转化为锐角的三角函数。例1求下列三角函数值
（1） ；（2）
诱导公式（三）：作用：把负角的三角函数转化为正角的三角函数。例2求下列三角函数值：
（1） ；（2） 诱导公式（四）：作用：把900~1800角的三角函数转化为锐角的三角函数。诱导公式（五）：作用：把2700~3600角的三角函数转化为锐角的三角函数。诱导公式的记忆方法如下：函数名不变，符号看象限。例3化简 ：例4求证： 例51、求下列三角函数值
（1） ；（2）
2、求下列三角函数值
（1） ；（2）运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 任意负角的三角函数任意正角的三角函数00～3600的角的三角函数锐角三角函数例6化简 ：例7已知
求 练习：已知
求 例8若
求 的值。 解：原式==－1.例9．化简: 例10．求值：
sin－cos－sin例11．求值：
sin(-1200o)·cos1290o+ sin(-120o)+
cos(-1020o)·sin(-1050o)+tan855o例12．化简：
解：原式=例13．求证：例14．求证例15．已知,求:
的值.课件18张PPT。正弦函数、余弦函数的图象1. sinα、cosα、tgα的几何意义.PMAT正弦线MP余弦线OM正切线AT想一想?三角问题几何问题正弦函数.余弦函数的图象和性质(1) 列表(2) 描点(3) 连线2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？正弦函数.余弦函数的图象和性质. . . .利用三角函数线
作三角函数图象描点法:几何法：几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线，巧妙地
移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx).正弦函数.余弦函数的图象和性质作法:(1) 等分(2) 作正弦线(3) 平移(4) 连线正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦曲线正弦函数.余弦函数的图象和性质与x轴的交点图象的最高点图象的最低点与x轴的交点图象的最高点图象的最低点(五点作图法)简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2) 描点(定出五个关键点)正弦函数.余弦函数的图象和性质例1．画出下列函数的简图（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]列表描点作图（2）y=－cosx , x∈[0,2π]10-101-1010-1练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图(２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦曲线正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦函数.余弦函数的图象和性质正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦曲线 例1 用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；
(2)y=-cosx，x∈[0，2π] .正弦函数.余弦函数的图象和性质y=1+sinxy=-cosx1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.课堂小结课件22张PPT。正弦、余弦函数的图像和性质 正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (x?R) y=cosx (x?R) 定义域值 域周期性x?Ry?[ - 1, 1 ]T = 2?周期性
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 知： 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π。 由sin(x+2kπ)=sinx ; cos(x+2kπ)=cosx (k∈Z)周期性
注意：（1）周期T为非零常数。
（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。
（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）
（4）周期函数不一定有最小正周期。
举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。奇偶性 一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (x?R) y=sinx (x?R)是奇函数cos(-x)= cosx (x?R) y=cosx (x?R)是偶函数定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性 y=sinx (x?R)-1 0 1 0 -1 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性 y=cosx (x?R)-1 0 1 0 -1单调性 y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.当 cosx=1 即 x=2kπ （k∈Z) 时 ， y 取到最大值 3 . 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解：解：从而 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解： y=2sin(-x )= -2sinx 所以：解： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解：则 y= -|sinu| 大致图象如下：减区间为增区间为即： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性 单调性（单调区间）奇函数偶函数单调递增单调递减函数求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间[-1,1]正弦、余弦函数的图像和性质 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=sinxy=sinx (x?R) 图象关于原点对称课件25张PPT。 函数y=Asin(?x+?)的图象列表：解：1.y=2sinxy=sinx2. 描点、作图：周期相同一、函数y=Asinx(A>0)的图象 ? 函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当00)图象y=sin2xy=sinx结论二法一：法二：作图三、函数y=sin(x+φ)图象三、函数y=sin(x+φ)图象?函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的。
结论三作图y=sin2x四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系周期相同结论四练习：作图结论五途径一:途径二:?一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或右(φ<0)平行移动| φ|个单位;2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0< ω<1)到原来的1/ ω倍(纵坐标不变);3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=2π/ω,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f=1/T=ω/2π,它叫做振动的频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相).结论七课件11张PPT。正切函数的图象与性质-1100’正切函数的作图作法如下：
作直角坐标系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆。
找横坐标（把x轴上 到 到这一段分成8等份）
把单位圆右半圆中作出正切线。
找交叉点。
连线。xy0-11xy正切函数的图像全体实数R 正切函数是周期函数，T=正切函数在开区间
内都是增函数。（1）定义域：（2）值域：（3）周期性：（5）单调性:正切函数的性质（4）奇偶性: 正切函数是奇函数，正切曲线关于原点0对称例 题 讲 解例2 求函数 的定义域、周期和单调区间. 例题讲解解:函数的自变量 应满足即所以,函数的定义域是由于因此函数的周期为2.由解得因此,函数的单调递增区间是:解:函数的自变量 应满足解:函数的自变量 应满足巩固与提高1．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围：
（1）tan x＞0；? （2）tan x=0；? （3）tan x＜0．2．求函数y=tan 3x的定义域．
3．求下列函数的周期：
4．（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？
（2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？(1)(2)5．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：(1)(2)例3 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：与与在 上是增函数解：又且 是增函数即又例4 求下列函数的单调区间：这个题目应该注意什么:例5 求下列函数的周期：由上面两例，你能得到函数y=Atan(ωx+Ф)的周期吗（提示：利用正切函数的最小正周期 来解）（1）正切函数的图像
（2）正切函数的性质：
定义域：
值域：
周期性：
奇偶性：
单调性：全体实数R正切函数是周期函数，
最小正周期T=奇函数，正切函数在开区间
内都是增函数。课后小结课件19张PPT。2.1 向量的概念及表示CAB 老鼠由A处向东以每秒6米的速度逃窜，而猫由B处以每秒10米的速度追击. 若B处在A处东8米，问猫能否抓到老鼠？ 若能，如何在最短的时间内抓到老鼠？一千吨的棉花和一千吨的铁谁更重？两个问题重量相等向量的定义与数量的区别 既有大小又有方向的量叫向量.例：力、位移、加速度、速度等.数量与向量的区别：1.数量只有大小，是一个代数量，可
以比较大小.2.向量有方向、大小，双重属性，而
方向是不能比较大小的，因此向量
不能比较大小.定义：注意： 向量
不能比较大小. 下列各种量中，哪些是向量，哪些是标量(即数量)：(1)密度 (2)体积 (3)位移
(4)加速度 (5)重力 (6)功
(7)电阻 (8)风速 (9)比热向量标量(数量)(1)密度(2)体积(8)风速(6)功(9)比热(7)电阻(3)位移(4)加速度(5)重力 ★用有向线段表示向量，有向线段的起点为向量的起点，有向线段的终点为向量的终点.如图：向量的表示方法字母法：几何法： 叙述下图(单位正方形组成的网络)中向量的方向和大小： 表示大小为4个单位，方向由N 到M的向量向量的模 零向量向量的模： 写出图(单位正方形组成的网络)中向量的模：零向量： ※零向量
的方向是不确定的.单位向量：★模为1的向量相等的向量相等的向量：※零向量都是相等的. 如图(单位正方形组成的网络)可见：一个向量平行移动后，所得向量与原向量相等.向量的相反向量定义：※注意： 如图，表示平面上的六个平行四边形，试找出向量 的所有相反向量：平行的向量定义： ★如果向量 和 的方向相同或相反，那么这两个向量叫做平行的向量，记作 .(共线向量） 两个非零向量平行即是 这两个向量所在直线平行或重合.零向量可以看作与任意向量平行. 两平行的非零向量在其方向与模两个要素上可能出现哪几种情况？①方向相同，模相同；②方向相同，模不同；③方向相反，模相同；④方向相反，模不同. 例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行． （3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什
么向量？ （6）两个非零向量相等应满足什么条件？
（7）共线向量一定在同一直线上． ××零向量零向量平行向量（共线向量） 模相等且方向相同 ×解：
练习∶上题中11课堂
小结注意：(1)向量无大小，
但其模有大小；向量向量的定义向量的表示字母表示几何表示向量的模与零向量三种向量关系相等向量相反向量平行的向量(2)平行的向量与零向量、
与所在直线平行或重合.（1）下列各量中是向量的是（ ）
A．动能 B．重量
C．质量 D．长度练习： （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向
_________的共线向量 BD相等相反2、 下列情形中,向量终点构成什么图形?(1)把所有单位向量移到同一个起点;
(2)把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一起点;
(3)把平行于一直线的一切向量平移到同一起点;课件17张PPT。课题：
平面向量基本定理１．问题情景： ?问题１：回忆向量的三种线性运算以及
共线向量定理．２．学生活动：已知是同一平面内的两个是这一平面内的任一向量．不共线向量，２．学生活动：３．数学建构１）平面向量基本定理的内容存 在 性唯 一 性如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量一对实数，使存在有且只有３．数学建构２）平面向量基本定理的理解３．数学建构３）平面向量基本定理的拓展无数对可以相同,也可不同（1）平面向量的基底有多少对？（有无数对）EF４．数学应用例１（B）４．数学应用４．数学应用例３．如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.４．数学应用例３．如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.
５．数学应用例４．平行四边形ABCD中，E、F分别是DC和AB的 中点，试判断AE,CF是否平行？
e1e2５．课堂练习7．布置作业：创新课时训练６．回顾小结：１）平面向量基本定理内容定理的拓展性２）对定理的理解与拓展基底的不唯一性３）平面向量基本定理的应用课件17张PPT。平面向量的坐标运算(一)引入:1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?2.平面向量是否也有类似的表示呢?A(a,b)ab3.复习平面向量基本定理:什么叫平面的一组基底?平面的基底有多少组?无数组什么叫向量的正交分解?（一）平面向量坐标的概念xy(x，y)平面向量的坐标表示： 把 = (x, y)叫做向量的坐标表示以下三个特殊向量的坐标是： = = = (1,0)(0,1)(0,0)aOYX若两个向量相等则这两个向量的对应坐标也相等;反之对应坐标相等的两个向量一定是相等向量.那么起点不在原点的向量的坐标是什么呢？每个向量有几个坐标呢?每个向量都有唯一的坐标.每个向量都有唯一的坐标.xA（x,y）yOxy例1.用基底 i , j 分别表示向量a , b , c , d,并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4AB12-2-1xy453练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.看书本例1请同学们讨论回答：（二）平面向量的坐标运算：结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论2：实数与向量数乘积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.再来研究刚才的题目-4 -3 -2 -1 1 2 3 4AB12-2-1xy453(3)已知 ，求 的坐标. OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结论3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。从向量运算的角度例2：例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。xyOA(-2,1)B(-1,3))C(3,4)D(x,y)变式：已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1),
B(?1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成
平行四边形四个顶点。 OxyBACD1D2D3课堂总结:1.向量的坐标的概念:2.对向量坐标表示的理解:3.平面向量的坐标运算:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想作业:
（1）习题5.4 T1-T6
（2）创新设计练习: 已知点A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),以 为一组基底来表示课件8张PPT。平面向量共线的坐标表示问题情境:问1:向量的坐标的概念:问2.对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.问3.平面向量的坐标运算:问4:向量共线定理是什么？注意直线平行与向量平行的区别：例4 书本P74 例6练习:(4)已知A,B,C,D四点的坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),试证明:四边形ABCD是梯形.2m=-2小结:两向量平行的条件:这两种表示本质上是一样, 解题时根据具体情况适当选用.课件11张PPT。向量共线定理复习：一、向量的数乘定义练习：结论：复习：二、向量共线定理对于两个向量 如果有一个实数λ，使得 那么 与 是共线向量；反之，如果 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得 说明：利用向量共线定理可以解决点共线或线共点的问题。问题1：思考1：00例1例2变1：若点C为AB边上靠近B点的三等分点呢？变2：若点C为AB边上靠近B点的四等分点呢？变3：书P65 例4思考2：如果λ>0 ，点C在什么位置？ λ<0呢？ λ=0呢？λ>0 时，点C在AB之间λ<0 时，点C在AB或BA的延长线上λ=0时，C点与A点重合例3思考：若A、B、C三点共线，则 ； 反之，若s+t=1，则 。结论：练习：课件28张PPT。平面向量——复习一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.2、向量的表示AB2、坐标表示：二、向量的运算（一）向量的加法三角形法则：ABD平行四边形法则：2、坐标运算：1、作图（二）向量的减法2、坐标运算：1、作图平行四边形法则：（1）长度：（2）方向： （三）数乘向量5、平面向量基本定理1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABθB1(四) 数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算五、向量垂直的判定六、向量平行的判定(共线向量的判定)七、向量的长度八、向量的夹角向量表示坐标表示向量表示坐标表示C-3定比分点P的坐标中点坐标九、线段的定比分点十、平移公式知二求一重心坐标十一、正弦余弦定理（R为外接圆半径）2R两边一对角两角任一边两边一夹角三边1、正弦定理：2、余弦定理：c2=a2＋b2－2abcosCb2=c2＋a2－2cacosB;a2=b2＋c2－2bccosA;内角和定理： A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos =sin sin =cos 面积公式： S= absinC= bcsinA= casinB 3课件18张PPT。向量的数乘运算(1)1.向量加法的三角形法则作法:在平面中任取一点O,o回顾旧知:首尾相接首尾连2.向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,以OA,OB为边作
平行四边形共起点3.向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.b作法:在平面中任取一点O,共起点实际背景探索1:根据向量加法的法则可得 思考:相同向量相加以后，
和的长度与方向有什么变化？思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点?
那些不同点?探索2:特别的，我们有第一分配律第二分配律例1.计算：思考:向量共线定理 所以M.N.C三点共线课件18张PPT。向量的减法复习：向量的加法：1.定义：求两个向量和的运算．向量a与b的和记作a+b.2.向量和的作图方法:
三角形法则
平行四边形法则 bDa向量加法的运算律:向量减法的定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.讨论：如何作两个向量的差？B两向量相减=减向量的终点指向被减向量的终点。abbaOAOBb-b-bOABDC1.要注意共起点2.要注意差向量的方向 注意与作和向量的区别归纳:作两向量的差向量的步骤:(1)将两向量移到共同起点(2)连接两向量的终点方向是减向量指向被减向量ＯＢＡCD解:练习：例3:如图：平行四边形ABCD中, 用 表示向量 不可能，因为平行四边形的对角线总是方向不同的。O`练习:课件11张PPT。向量的加法复习注意：(1)向量无大小，
但其模有大小；向量向量的定义向量的表示字母表示几何表示向量的模与零向量三种向量关系相等向量相反向量平行的向量(2)平行的向量与零向量、
与所在直线平行或重合.1 向量加法法则：三角形法则平行四边形法则2 运算性质:ab例一：化简：首尾相接首尾连练习1、根据图形填空ABCDO练习2、根据图示填空 如图：点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点。求证：⑴⑵练习3答：船实际航行的速度为大小为4km／h，方向与流速间的夹角为600例四 : 试用向量方法证明：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB。求证 四边形ABCD是平行四边形证 如图，由向量加法法则，有练习4 一架飞机向西飞行 ,然后改变方向南飞行
,则飞机两次位移的和为 .450课件21张PPT。向量的加法一、复习提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？ 2、有向线段的三个要素是什么？ 3、什么叫相等向量？既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。三要素是：起点、方向和长度。长度相等且方向相同的向量叫
相等向量。向量与起点无关，只与大小、方向有关有向线段与起点有关 4、什么叫相反向量？长度相等且方向相反的向量叫
相反向量。 5、什么叫平行向量？方向相同或相反的向量叫平行向量。平行向量又称共线向量。 练习1．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行． （3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什
么向量？ （6）两个非零向量相等应满足什么条件？
（7）共线向量一定在同一直线上． ××零向量零向量平行向量（共线向量） 模相等且方向相同 ×解：
练习3∶上题中231. 引入
(1).某人从A到B,再从B按原来的方向到C,
则两次位移的和
(2).飞机从A到B,再改变方向从B到C,
则两次位移的和二. 向量加法的定义(3). 船的速度是 ,水流的速度是
则两个速度的和ABCABCCBA2、向量的加法：(1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。(2)、图示：这种作法叫做三角形法则(3)、作法(1)同向(2)反向ABCABC注：A（1）（2）（3）（4）3、平行四边形法则 （1）（2） 三、性质 例二：化简：首尾相接首尾连练习3、根据图形填空ABCDO练习4根据图示填空 如图：点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点。求证：⑴⑵练习5答：船实际航行的速度为大小为4km／h，方向与流速间的夹角为600例四 : 试用向量方法证明：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB。求证 四边形ABCD是平行四边形证 如图，由向量加法法则，有练习5一架飞机向西飞行 ,然后改变方向南飞行
,则飞机两次位移的和为 .450五、小结1 向量加法法则：三角形法则平行四边形法则2 运算性质:ab课件15张PPT。向量的加法南京九中问题情境想一想:向量可以运算吗?
你有对向量进行运算的经验吗?2km力的合成PDECOAB位移的合成OABPDECBA向量和的定义:FABCDEOO(a+b)+c=_____+____=______ABCOABCDE探索规律练习化简:试一试思考题(1)(2)3160例题 在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流, 渡船的速度为25km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?例题答 渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30o . 在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流, 渡船的速度为25km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?课堂小结:生活中的事例、
已有的经验抽象、概括向量和的定义、
向量加法的概念向量加法
的运算律解决问题与“数”类比学以致用课件14张PPT。高中数学必修 4 第二章 平面向量向量的概念及表示南京市第九中学
问题情境 请同学们到我家 来做客!如果要找一个物理量来刻画从学校到老师家的位置变化，应该用哪个量？
“位移”和“路程”这两个物理量一样吗？一．向量的相关概念建构数学路程位移只有大小没有方向既有大小又有方向矢量标量 在你学过的量中，哪些是数量，哪些是向量？（只需用一个实数就可以表示的量）数量向量１.向量的定义：既有大小又有方向的量。学生活动判断下列说法是否正确:
由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量.
错误,因为温度没有方向.
坐标平面上的x轴和y轴是向量.
错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.2、向量的表示建构数学3、向量的大小(模)建构数学这两个量仅从大小上刻画了向量． 建构数学单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量 .思考:单位向量唯一吗?
平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?学生活动（3）、请在上图中画出模为| |的2倍的向量。平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。共线向量： 平行向量也叫做共线向量。建构数学三、向量的关系相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作：规定:零向量与任一向量平行.思考：1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？
2、向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上吗？
3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？
４、若四边形ABCD是平行四边形，则有
＝ 吗?例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：巩固练习相等的有7个
长度相等的有15个（ 除外 ）课堂小结向量 向量最初被应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量。
大约公元前３５０年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量．向量一词来自力学、解析几何中的有向线段。
最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。课堂小结向量及向量符号的由来课件28张PPT。平面向量基本定理研究NM平面向量基本定理 a = + （1）平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EF思考（可以不同，也可以相同）θ=180°θ =90°θ=0°特殊情况:1、向量的夹角新课讲解:已知两个非零向量 和 ,作 = ， = ，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°）叫做向量 与 的夹角。O在这里画出二个图，让学生判断夹角。注意:两向量夹角定义,两向量必须是同一起点.已知向量 求做向量-2.5 +3 例1：OABC· 例2、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,
在图中确一组
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。解析： 评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表
示，再利用有关知识解决问题。思考此处可另解： 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结 本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。评析 2. 在实际问题中的指导意义在于找到表示一个平面所有向量的一组基底（不共线向量 与 ），从而将问题转化为关于 、 的相应运算。 总结：1、平面向量基本定理内容2、对基本定理的理解（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性（２）基底的不唯一性（３）定理的拓展性３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
思考 在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD
的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = (AD+BC) 谢谢同学们再见课件17张PPT。2.4.1 平面向量数量积的含义 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角引入:功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？1、向量的夹角的概念记作注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的（1）（2）（3）2、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、
性质不适合．练习２已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ，
求a ·b.3、向量数量积的性质练习3、判断下列命题是否正确(×)(×)(×)(×) 运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？
（不一定成立）4、向量数量积的运算律（3）即即四、小结： 本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状2、几何意义课件12张PPT。 平面向量数量积的坐标表示一、巩固旧知问题：回忆一下，如何用向量的长度、夹角反
映数量积？又如何用数量积、长度来反
映夹角？向量的运算律有哪些？参考答案：①1；②1；③0；④0.二、新课讲授问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量
平行和垂直的坐标表示式.说明：这里式子中向量都是非零向量三、例题分析例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证
△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。，，， ，． 四、演练反馈B 五、总结提炼 A、B两点间的距离公式. （1）课件9张PPT。数量积的应用例1 例6、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求证：
| a + b |= 2 | b |
例7、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。例1例6、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求证：
| a + b |= 2 | b |
解：∵ （a – b）⊥（a + 3 b）
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0
即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0
即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0
∴ (a + b)2 = 4 b2
即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴ | a + b | = 2 | b |例7、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b）
（a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ）
∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2，
代入其中任一式中得: a 2= b 2
课件12张PPT。正切函数的图像和性质【复习】1、定义：设P(a,b)为任意角 的终边与单
位圆 的交点,则：2、诱导公式3、正弦线、余弦线、正切线PMABO线段PM-----正弦线
线段OM-----余弦线
线段AB------正切线三角函数线利用正切线作正切函数的图像又由图像可知正切函数的值域是实数集R其中x的取值集合，即定义域为讨论正切函数的性质1．周期性2．奇偶性 故正切函数是奇函数3．单调性正切函数的性质例1：求下列函数的周期：亦可利用单位圆求解。 【巩固练习】2、观察你所画的正切曲线，写出满足以下条件
的x的取值范围.(1) tan x>0 (2) tan x=0 (3) tan x<03、求出 y＝tan3x 的定义域.4、不求值，比较下列各组中两个正切函数值的
大小.(1) tan 1800 与 tan 1430方法：转化为同一个单调增区间进行比较课件21张PPT。正弦函数、余弦函数的图象和性质1. sinα、cosα、tgα的几何意义.PMAT正弦线MP余弦线OM正切线AT想一想?三角问题几何问题正弦函数.余弦函数的图象和性质y简图作法
与x轴的交点图象的最高点图象的最低点五点作图法(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(2) 描点(定出五个关键点)(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)0- 10100五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点列表：描点：连线：余弦曲线利用变换法作余弦函数的图像与x轴的交点图象的最高点图象的最低点例1．画出下列函数的简图（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]列表描点作图（2）y=－cosx , x∈[0,2π]10-101-1010-113oy令2x=u,则y=sinu，其图像为sin2x2x0- 10100作函数y=sin2x，x∈[0， ]x0令u
=2xsinu练习:用五点法作出下列函数的简图观察正弦函数和余弦函数的图象y=sinxy=cosx正弦函数、余弦函数的性质1.定义域分别记作: 2.值域3.最大值与最小值4.周期性复习：周期函数定义:最小正周期定义:正弦函数、余弦函数都是周期函数，并且周期
都是2π。例1.求下列函数的周期:思考:你能从例1的解答过程中归纳一下函数的周期与解析式中哪些量有关?例2：求下列函数的定义域：例3.下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出去最大值、最小值时的自变量X的集合,并说出最大值、最小值分别是什么?例3：求下列函数的值域：三角函数的图像与性质小结：练习2：求下列函数的值域：练习1：求下列函数的定义域：