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分课时教学设计
第3课时《 26.1.2反比例函数的图像和性质（2） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过研究反比例函数中k的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进行“互译”并 “转换”成有效的解题信息链，培养学生建立合理合适的数学模型去解决实际问题的能力和方法．
学习者分析 学生已有对一次函数和反比例函数关系式和图象认识的基础，再通过研究反比例函数中k的几何意义，可以进一步唤醒学生数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进行互译转换并形成有效的解题信息链，并通过建立合理合适的数学模型，顺利解决问题的能力和方法．
教学目标 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质. 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题. 3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法.
教学重点 通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性．
教学难点 理解反比例函数性质，并能灵活应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 导入：议一议 反比例函数的性质 1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内； 2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内. 3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称. 上一节课，我们共同学习了反比例函数的图像及性质，今天，我们进一步探究反比例函数的图像和性质的应用。 学生活动1： 通过探究活动理解． 学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充． 理解k的符号作用：活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，掌握容易误将反比例函数的增减性的前提条件在每一个象限内．特别注意y随x的增大而增大或减小具体在各个象限内的情况，而不是笼统地概括． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 一、反比例函数中k的几何意义 已知反比例函数，点是图像上的任意一点. (1)过点P分别做x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，B,则 结论：任意一点横纵坐标的乘积是一个定值. （2）过点P分别做x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，B,连接OP,则 结论： 学生活动2： 学生相互交流． 感悟k值与反比例函数图象的一一对应关系，核心感悟：k值确定，图象确定，进而图形上从任意一点向坐标轴构造的特殊图象面积确定．活动意图说明： 通过可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识．进而把反比例函数的数、形、式之间内在联系建立图式。 引导学生建立模型，体会数形结合的思想，理解知识的本质联系，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例3：已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。 这个函数的图象分布在哪些象限？随的增大如何变化？ 点B（3,4）、C（）和D（2，5）和是否在这个函数图象上？ 教师巡视解答过程并给予指导。在此活动中教师应重点关注： ①是否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定。 ②点是否在图象上，只需将点的横纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。 解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. （2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 所以反比例函数的解析式y=12/x .因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 例4:图中 是反比例函数ｙ＝的图象的一支,根据图象回答下列问题： 图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 在这个函 数图象的某一支上任取点A（a，b）和点B(a`,b`).如果a>a`,那么b和b`有怎样的大小关系 解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。 ∵函数的图象在第一、第三象限 ∴ ｍ－５＞０,解得 ｍ＞５ （２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小， ∴当x1＞x2时y1＜y2 学生活动3： 理解反比例函数的意义． 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。活动意图说明： 培养学生归纳总结的能力，根据函数图象求函数解析式，应弄清函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，即图象上的点的坐标满足函数解析式．让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，在活动中逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数的图象过点A，则k=（ ） A.3 B. -1.5 C. -3 D. -6 C 选做题： 【综合拓展类作业】 4、如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 1.5，＞，＝
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O，AB∥x 轴，BC∥y 轴，反比例函数 与 的图象均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是______． 8 选做题： 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.(1) 求 A，B 两点的坐标； (2) 求△AOB的面积. （1）
（2）解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2. 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2.∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 【综合拓展类作业】 3.如图，在反比例函数y=2/x（x＞0）的图像上，有点P_1，P_2，P_3，P_4，…P_n，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于多少？（用n的代数式表示）
教学反思 1．反比例函数的性质 性质：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象，当k＞0时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_______；当k＜0时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_______．（减小，增大） k的符号作用：反比例函数中的k的符号决定函数图象所在象限，反之由图象所在象限也可确定函数中的k的符号． 2．运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题. 注意：(1)自变量不仅要使反比例函数自身有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件；(2)对于在自变量的取值范围内画函数图象，应注意图象的完整性；(3)一般有两种方法求自变量的取值范围：一种是利用函数的增减性，另一种是利用图解法．
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第26章
课标要求 1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式． 3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法．
内容分析 函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。应用反比例函数解决实际问题尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一． 反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的”变化和对应”思想有了深层的理解。在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法．
学情分析 让学生进一步体会反比例函数的意义，掌握反比例函数的表示方法，以及准确的求出反比例函数的未知项，能够根据图象的分布确定常数的取值范围，并能用反比例函数解决一些简单的实际问题。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，尽量让学生对反比例函数的概念、图象及性质的整合与巩固．
单元目标 （一）教学目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程． 2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识提高运用代数方法解决问题的能力． 3.通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力． 4.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题． 5.理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． （二）教学重点、难点 教学重点:反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用． 教学难点:反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 本章教学内容主要分为三大部分:第一部分:反比例函数的概念；第二分:反比例函数的图象及其性质；第三部分:反比例函数的应用． 第一部分:反比例函数的概念: （1）在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫． （2）利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说 明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象． （3）在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想一变化一对应． 第二部分:反比例函数的图象及其性质； 函数的性质蕴涵于概念中，对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识， 教学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通观察、分析函数的图象，自主地对反比例函数的图象及其性质作出直观描述． （1）学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。师生互动议论，画出反比例函数图象． （2）利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数 与形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征． （3）利用几何画板作出k>0和k<0时的多个反比例函数图象，数形结合，让学生归纳概括出反比例函数的性质． 第三部分：反比例函数的应用 （1）确定反比例函数解析式 （2） 实际问题与反比例函数 在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题，关键是数学建模。一般地建立函数模型有两种思路: (1) 通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可． (2)从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式． 实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段，教学中要重视．这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的． 2.本章教学中应注意的问题： 1、加强数学与现实的联系，加强数学与其他学科的联系． 2、利用反比例函数解决实际问题时，即要关注函数本身，又要考虑实际意义，特别是在画函数图象时，要考虑实际问题中自变量的取值范围。(画图时只画双曲线的一支) 3、例题中涉及体积、工程、杠杆、电压四个方面的问题，没有涉及函数图象，建议增加利用函数图象来解决实际问题的题型，更好的体现数形结合. 3.研究方法与研究过程 1、分析解析式自变量与函数值的取值范围(数) 2、结合解析式预测图象特点(形) 3、列表体验(注意点的代表性) 4、描点、连线、验证(加密) 5、归纳概括形成结论 4.本章教学建议： 1.注意做好与已学内容的衔接； 2.类比正比例函数、一次函数的研究方法，研究反比例函数，帮助学生体会研究一个函数的一般过程； 3.把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索； 4.加强反比例函数与正比例函数的对比； 5.关注反比例函数与现实世界的联系； 6.合理安排反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学. 5.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数26.1.1反比例函数126.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时126.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 126.2.1实际问题与反比例函数（1）126.2.2实际问题与反比例函数（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1.1反比例函数1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念． 2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系． 3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用． 1.经历抽象反比例函数概念的过程． 2.加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能．活动一：让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程． 活动二：学生自主探究，完成解答，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念.6.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时1．会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力． 3．在画反比例图像，并探究其性质的过程中，感悟“数形结合”、分类讨论及“从特殊到一般”的数学思想．1.会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2.加深对构建反比例函数模型的理解. 活动一：学生思考、交流，画图 ． 活动二：同学分别交流，找出图象的特征． 活动三：探究巩固例题． 26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题． 3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 1.理解k的符号作用． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．活动一：领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 活动二：理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 活动三：探究巩固例题．26.2实际问题与反比例函数（1）1．能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 1.会用反比例函数知识分析、解决实际问题． 2．分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式． 活动一：通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．26.2实际问题与反比例函数（2）1.利用物理学中相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 2.进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型. 1.运用反比例函数解决实际问题. 2.体会各学科间的内在联系及函数思想的广泛应用.活动一：学生思考、交流，写出阻力，阻力臂，动力，动力臂之间的关系. 活动二：探究运用反比例函数解决实际问题. 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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26.1.2反比例函数的图像和性质（2）
人教版 九年级 下册
教材分析
通过研究反比例函数 中k的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进行“互译”并 “转换”成有效的解题信息链，培养学生建立合理合适的数学模型去解决实际问题的能力和方法．
教学目标
教学目标：1.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
2.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐
标系中图形的面积计算.
3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，
进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力．
教学重点:通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性．
教学难点:理解反比例函数性质，并能灵活应用．
新知导入
情境引入
【提问一】回顾反比例函数的图象与性质？
比例系数 图象 图象形状 经过象限 增减性
k>0
k<0
双曲线
第一、三象限
第二、四象限
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
【提问二】k的正负决定了什么？
k的正负决定反比例函数所在的象限和增减性.
新知讲解
合作学习
思考1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系
P(2,2) Q(4,1)
4
4
S1=S2
S1=S2=k
2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写下面表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系
P(-2,2) Q(-4,1)
4
4
S1=S2
S1=S2=-k
提炼概念
反比例函数解析式中k的几何意义
对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______.
推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是S△PAO=S△PBO=______.
|k|
典例精讲
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，
所以这个函数的图象位于第一、第三象限，
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k=12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
(2) 点B(3，4)，C ( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
A(2，6)
反比例函数
满足解析式,在
各点坐标
分别代入
不满足解析式,不在
判断点是否在反比例函数图象上的两种方法
(1)将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值，看点的纵坐标是否与所求出的y值相等；
(2)看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数 的比例系数k.
解：(1)由图可知这个函数的图象一支位于第一象限，所以该函数的另一支位于第三象限
∵该函数位于第一、三象限
∴m-5>0，则m>5.
例4 如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
解：(2)∵m－5＞0
∴在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
∴当x1＞x2时，y1＜y2.
例4 如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
归纳概念
比较反比例函数值大小的方法
(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在
涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减
情况．
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例
系数 k 的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减
性，也可以推断出 k 的符号．
(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数
的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．
课堂练习
必做题
1.如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数的图象过点A，则k=（ ）
A.3 B. -1.5
C. -3 D. -6
C
C
选做题
综合拓展题
合作探究
4、如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
1.5
S1
S2
＞
＝
S3
作业布置
必做题
1.如图，边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O，AB∥x 轴，BC∥y 轴，反比例函数 与 的图象均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是______．
8
选做题
2. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.(1) 求 A，B 两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
综合拓展题
3.如图，在反比例函数（x＞0）的图像上，有点，，，，…，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，则+++…+（用n的代数式表示）
课堂总结
反比例函数
图象
性质
k 的几何意义
画法
形状
图象位置
增减性
列表、描点、连线
双曲线
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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