云南省昆明市2023-2024学年高二上学期12月教学测评卷（四）数学试题（含解析）

昆明市2023-2024学年高二上学期12月教学测评卷（四）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅲ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第4页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知，，则（ ）
A. B. C.9 D.19
4.已知在数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.3
5.已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图1甲、乙所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为4，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
图1
A. B. C. D.
7.设数列满足（且），是的前项和，且，，则（ ）
A.2024 B.2023 C.1012 D.1011
8.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图2甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（ ）
图2
A.2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B.2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C.2021年全国居民人均消费支出24100元
D.2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足
10.已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A.与的公切线恰有4条
B.与相交弦的方程为
C.与相交弦的弦长为
D.若，分别是圆，上的动点，则
11.已知数列的前项和为，且则下列判断正确的是（ ）
A. B.当为奇数时，
C.当为偶数时， D.数列的前项和等于
12.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（ ）
A.椭圆的“蒙日圆”的面积为
B.对直线上任意点，都有
C.椭圆的标准方程为
D.椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数的最小值为，则常数的值为________.
14.已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为________.
15.已知等比数列，记其前项乘积.若，，则的前5项和为________.
16.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，则双曲线的方程为________；设，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为________.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，，，分别为内角，，所对的边，.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
18.（本小题满分12分）
已知圆，直线.
（Ⅰ）求直线恒过定点的坐标；
（Ⅱ）求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图3，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为.
图3
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
（Ⅱ）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线经过点，交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的值.
2022级高二年级教学测评月考卷（四）
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C B D C A
【解析】
1.，，所以，故选B.
2.由“”为纯虚数，得解得，故“”是复数“为纯虚数”的充要条件，故选C.
3.因为，，所以，则，故选B.
4.由题意，可知，，，，，故数列是以3为最小正周期的周期数列，，，故选C.
5.显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，则，则直线的斜率为，直线的斜率为，所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，得的倾斜角的取值范围为，故选B.
6.设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，即，则焦点到渐近线的距离，，，，，，双曲线方程为：，故选D.
7.由题意得，，，则数列为等差数列，设公差为，，得；，则，，，所以，（常数），则也为等差数列.则数列的公差为，所以，所以，故选C.
8.由抛物线方程可知，因为直线过抛物线的焦点，当时，直线方程为，则不满足题意，即，联立消可得：，设，，则，，由抛物线的定义可得：，因为，所以，所以，故选A.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ACD BC ABC AD
【解析】
9.对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确；对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误；对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确；对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确，故选ACD.
10.由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；两圆方程相减可得与相交弦的方程为，所以到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故B，C正确；若，分别是圆，上的动点，则，故D错误，故选BC.
11.由可得，，当为奇数且时，，其中符合，所以当为奇数时，，故B正确；当为偶数时，，故A正确，C正确；又，，所以数列的前项和为，故D错误，故选ABC.
12.已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.对于A，C，因为点在蒙日圆上，所以方程为，因为，又，所以，，故C错误；蒙日圆方程为，面积为，故A正确；对于B，直线的方程为，椭圆方程，组成方程消去得，，所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误；由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，连接，如图1，，，设，，，又（当且仅当时取等号），
，即，，故D正确，故选AD.
图1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 11 ；8
【解析】
13.，由函数的最小值为，得，解得，可得.
14.如图2，过作抛物线的准线，垂足为，则，在中，，，即，在中，可得，则，，即.得为等腰直角三角形，可得.
图2
15.由题意，可知，设等比数列的公比为，则由可得两式相比，可得，即，将代入，可得，解得，则，等比数列的前5项和为.
16.椭圆的离心率，而，由条件知双曲线的离心率①，双曲线的半焦距②，又③，联立①②③，解得，，则双曲线的方程为；若，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，可得，即，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为8.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由条件及正弦定理得，
因为，
所以，
故，因为，所以，
故，因为，所以.
（Ⅱ）由余弦定理得，即，
故，
由基本不等式得，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故.
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）直线，
可化为，
联立解得故直线恒过定点.
（Ⅱ）由，配方得，
所以圆心，半径为，直线恒过定点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短.
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得.
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为.
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，由，得；
当时，因为，所以，
则，可得.
故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则，
两边都乘以，得，
以上两个式子相减，可得：
，故.
20.（本小题满分12分）
解：（壹壹）因为平面，，所以，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图3所示的空间直角坐标系，
因为点，分别是和的中点，，所以，
设，则，，，，，，
所以，
因为直线与直线所成的角为，所以，
即，解得，所以的长为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，
设平面的法向量为，则解得
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）易知抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点，易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，
联立消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
所以，
又，所以，，
因为，所以，
即，
可得，解得，
所以直线的方程为，即.
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，即①.
当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，所以，即②.
联立①②，得，，故的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，如图4，
由题意设直线，，.
联立得，
则，，，所以.
直线的方程为，
令，得，即.同理可得.
故
.
图4