2023-2024学年上海市曹杨二中高二年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.过点且与直线平行的直线的方程为______.
2.在正方体中，与平面所成角的大小为______.
3.以为直径端点的圆的标准方程为______.
4.若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为______.
5.在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则______.
6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的表面积为______.
7.已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是______.
8.过点且与直线的夹角大小为的直线的一般方程为______.
9.已知异面直线所成角的大小为，若过空间一点有且仅有两条直线与所成角的大小均为，则的取值范围是______.
10.已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值为______.
11.已知点，是直线上一点，单位向量是的一个法向量，设是平面上的动点，且满足。若，则实数的取值范围是______.
12.在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆，并将这两个圆内部涂成红色，过原点画一条斜率为的直线，沿着将该纸剪成两张纸，若两张纸上红色部分的面积相等，则的取值集合为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2023个 D.4046个
14.已知均为实数，且不同时为零，不同时为零，则“”是“关于的方程组有无数组解”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
15.若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
16.若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知常数，设直线，直线
（1）若，求的值
（2）若与平行，求与的距离
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点
（1）求证：的面积为定值
（2）设直线与圆交于两点。若，求圆的方程
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面，，是棱上一点，且
（1）求二面角的大小
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论。
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，在三棱锥中，为的中点，底面
（1）求证：平面
（2）若，求点到平面的距离
（3）若点在平面上的投影恰好是的重心，求线段的长。
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为。如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且
（1）求曲线的方程
（2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由。2023-2024学年上海市曹杨二中高二年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.过点且与直线平行的直线的方程为______.
【答案】
【解析】设直线方程为，将点代入，解得，
则所求直线方程为
2.在正方体中，与平面所成角的大小为______.
【答案】
【解析】由题意知与平面所成角为
3.以为直径端点的圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】由题意知圆心为，半径为
则标准方程为
4.若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为______.
【答案】
【解析】由法向量可知斜率为2，则直线的倾斜角为
5.在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则______.
【答案】
【解析】取的中点，则
6.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的表面积为______.
【答案】12
【解析】由题意知，侧面的斜高为
则该正四棱锥的表面积为
7.已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由圆的方程，可得圆心为，半径为2
若圆上恰有四个点到直线的距离等于1
则圆心到直线的距离小于2
直线的一般式方程为
则，解得
则的取值范围是
8.过点且与直线的夹角大小为的直线的一般方程为______.
【答案】或
【解析】若斜率不存在，则直线方程为，夹角的余弦值为，符合题意
若斜率存在， 设为，则直线方程为，
则夹角为
则一般式方程为或
9.已知异面直线所成角的大小为，若过空间一点有且仅有两条直线与所成角的大小均为，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】将直线平移交于点，设平移后的直线为，如图所示
过点作及其外角的角平分线
异面直线所成角为
所以
所以在方向，要使过空间一点的直线有两条，则有
在方向，要使过空间一点的直线不存在，则有
则的取值范围是
10.已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值为______.
【答案】
【解析】设直线与直线的倾斜角为
因为为正实数，所以均为锐角
因为直线，与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况
（1）时，，有，因为，解得
（2）时，，有，因为，解得
11.已知点，是直线上一点，单位向量是的一个法向量，设是平面上的动点，且满足。若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】设直线的一个法向量为，
则
设，满足且
所以
设，则
根据题意可得
12.在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆，并将这两个圆内部涂成红色，过原点画一条斜率为的直线，沿着将该纸剪成两张纸，若两张纸上红色部分的面积相等，则的取值集合为______.
【答案】
【解析】根据题意，直线为过原点且斜率为的直线，则直线的方程为，即
，其圆心为，其圆心为
两圆的圆心不会同时在直线上
若两张纸上阴影部分的面积相等，则有2种情况：
①两圆的圆心在直线的两侧且两圆圆心到直线的距离相等
则有，解得
②两圆的圆心在直线的两侧且直线与两圆都相离或相切
则有，解得
故的取值集合为
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2023个 D.4046个
【答案】B
【解析】设，则
所以满足条件的点的个数为1个
故选B
14.已知均为实数，且不同时为零，不同时为零，则“”是“关于的方程组有无数组解”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】若关于的方程组有无数组解，则
则是充分不必要条件
故选A
15.若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的底面圆半径为,高为,母线与轴所成角为，则,
所以圆锥的高为；所以圆锥的体积为,
半球的体积为，即，因为，解得,
所以；
即圆锥的轴截面顶角的余弦值是.故选：C.
16.若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】直线与直线的方程相减可得，把点代入可得
则线段的垂直平分线的方程是，
故选A
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知常数，设直线，直线
（1）若，求的值
（2）若与平行，求与的距离
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意知的法向量为，的法向量为
若，则
（2）若与平行，则
经检验
则直线，直线
则与的距离为
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点
（1）求证：的面积为定值
（2）设直线与圆交于两点。若，求圆的方程
【答案】（1）6；（2）
【解析】
（1）设圆心为
圆过原点，，圆方程为
令，得，令，得
为定值，证明完毕
（2）垂直平分线段
,直线的方程是
，解得或
则圆的方程为
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面，，是棱上一点，且
（1）求二面角的大小
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论。
【答案】（1）；（2）不存在
【解析】
（1）取的中点为，连接
在底面为菱形的四棱锥中，底面，
以为原点，为轴，建立空间直角坐标系
则
因为点在上，且
设平面的法向量为
则，取，得
平面的法向量为
设二面角的大小为
则
则二面角的大小为
（2）设在棱上存在点，且，使得平面
则，解得
因为平面的法向量，平面
解得
则在棱上不存在一点，使得平面
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，在三棱锥中，为的中点，底面
（1）求证：平面
（2）若，求点到平面的距离
（3）若点在平面上的投影恰好是的重心，求线段的长。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）1
【解析】
（1）连接，因为，点是的中点，所以
因为底面，平面，所以
因为，平面
（2），
为的中点，底面
取的中点，则
设点到平面的距离为，则
即
则，解得
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
则的重心为
则
则线段的长为1.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为。如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且
（1）求曲线的方程
（2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）设点，由得
化简得
则曲线的方程为
（2）由题意知，设
设直线的方程为
由，得
则
则
则直线方程为
（3）设直线方程为，设
联立方程，得
则直线始终经过此定点
