陕西省西安中学高2025届高二第二次综合评价
数学试题
（时间：120分钟 满分：120分 ）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D. 4
2.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
3.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是( )
A. 1 B. C. 2 D. 1或
5.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天入院治疗流感的人数为( )
A. 225 B. 255 C. 365 D. 465
6.圆与直线交于A，B两点，则最小值为( )
A. 2 B. C. 6 D.
7.如右图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.已知圆，直线，P为上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11.已知圆C：，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是( )
A. 圆C关于x轴的对称圆的方程为
B. 若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为
C. 若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则
D. 若Q是圆C上的任意一点，则的最大值为
12.在平面直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交C于不同的A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 若点，则的最小值是4
B.
C. 若，则直线AB的斜率为
D. 的最小值是9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分
13.已知数列的前项和，则为_________.
14.已知直线与椭圆相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则k的值为__________.
15.如图，椭圆的中心在坐标原点，F是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率__________.
16.已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是__________.
四、解答题：本小题共5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（8分）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线上.
求圆C的方程;
过点的动直线与圆C相交于M，N两点.当时，求直线的方程.
18.（10分）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线
求曲线E的方程;
点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求的最小值.
19.（10分）记是等差数列的前n项和，若，
求的通项公式，并求的最小值；
设，求数列的前n项和
20.（10分）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
求双曲线的方程;
如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值；
21.（10分）已知平面上的动点P到定点的距离比到直线：的距离小
求动点P的轨迹E的方程；
过点的直线交E于A、B两点，在轴上是否存在定点M，使得A、B变化时，直线AM与BM的斜率之和是0，若存在，求出定点M的坐标，若不存在，写出理由.陕西省西安中学高2025届高二第二次综合评价
数学答案和解析
单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
1-5 C B C B B 6-8 D B D
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AD 10.BC 11.AB 12.ABD
12.【解答】
解：对于A，由题意知，C的准线方程为，焦点，
如图，过点A作C的准线的垂线，垂足为，
则，
故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；
对于B，由题意易知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，，
由，得
所以，，
，，
所以，故B正确；
对于C，若，又，，
所以
，解得，
则直线AB的斜率为，故C错误；
对于D，，所以，
当且仅当，时，等号成立，故D正确，故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分
13.16 14. 15. 16.（0,4）
四、解答题：本小题共5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】解：设圆心，则，
圆经过点和，
，
解可得，，，即圆心，，
故圆C的方程为：；
圆C的方程为：，圆心，，
①当直线l的斜率不存在时，直线l方程为：，
此时，
符合题意，
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：，即，
圆心到直线l的距离，
，，
直线l的方程为：，
综上所求，直线l的方程为：或
18.【答案】解：设动圆圆心为，半径为R，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆M与圆外切时，，当动圆M与圆内切时，，
所以，所以点M的轨迹是焦点为，，且长轴长等于12的椭圆.
所以动圆圆心M轨迹方程为
由得，，设，
所以，
因为点P在椭圆上，所以，，
所以，
所以当时，，故的最小值为
19.【答案】解：设的公差为d，则，，
，，由得，
，2，3，4时，时，，的最小值为
由知，当时，
时，，
，
当时，
当时，，
20.【答案】解：因为，所以，
所以双曲线的方程为，即
因为点在双曲线上，所以，所以
所以所求双曲线的方程为即
由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
由 ，得，所以同理可得，，所以
21.【答案】解：设动点，且，则，化简得E：；
假设存在符合题意的定点M，
由题意，直线AB的斜率不为0，
设定点M的坐标，直线AB的方程为，
联立，可得，恒成立，设，，
则，
，，
即，
化简得，
代入韦达定理得，
解得故存在符合题意的定点M，且定点M的坐标为
