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11.1.3 三角形的稳定性
1.下列图形中,具有稳定性的是( )
2.如图所示,AD⊥BC于点D,GC⊥BC于点C,CF⊥AB于点F,图中是 △ABC的高的线段有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.(2022邵通期末)下列说法中正确的是( )
A.三角形的三条中线必交于一点
B.直角三角形只有一条高
C.三角形的中线可能在三角形的外部
D.三角形的高线都在三角形的内部
4.(2022唐山期末)在△ABC中,线段AP,AQ,AR分别是BC边上的高线,中线和角平分线,则( )
A.AP≤AQ B.AQ≤AR
C.AP>AR D.AP>AQ
5.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点之间 B.G,H两点之间
C.B,F两点之间 D.E,G两点之间
6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠BAE=30°, ∠DAC=20°,则∠BAC的度数为 ,∠EAD的度数为 .
第6题图
7.如图所示,已知△ABC是直角三角形,∠C=90°,CD是AB边上的高,若AC=4,BC=3,AB=5,则△ABC的面积为 ,CD的长为 .
第7题图
8.如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm,求AD的长.
9.如图所示,已知△ABC的周长为36 cm,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,BE,CF交于点O,AO的延长线交BC于点D,且AF=6 cm,AE=4 cm,求BD的长.
10. (2022惠州期末)如图所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.试求:
(1)AD的长;
(2)△ABE的面积;
(3)△ACE和△ABE的周长的差.
11.如图所示,小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条,首尾连接制作了一个五角星,他发现五角星的形状不稳定,稍微一动五角星就变形了.于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓,使它稳定不再变形,则他至少需要添加的螺栓个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第11题图
12.如图所示,在△ABC中,AD为中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= .
第12题图
13.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=8 cm2,求阴影部分的面积.
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G.求证:DE+DF=BG.
15.如图所示,在△ABC中(AB>BC),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
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11.1.3 三角形的稳定性
1.下列图形中,具有稳定性的是(B)
2.如图所示,AD⊥BC于点D,GC⊥BC于点C,CF⊥AB于点F,图中是 △ABC的高的线段有(B)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.(2022邵通期末)下列说法中正确的是(A)
A.三角形的三条中线必交于一点
B.直角三角形只有一条高
C.三角形的中线可能在三角形的外部
D.三角形的高线都在三角形的内部
4.(2022唐山期末)在△ABC中,线段AP,AQ,AR分别是BC边上的高线,中线和角平分线,则(A)
A.AP≤AQ B.AQ≤AR
C.AP>AR D.AP>AQ
5.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在(D)
A.A,C两点之间 B.G,H两点之间
C.B,F两点之间 D.E,G两点之间
6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠BAE=30°, ∠DAC=20°,则∠BAC的度数为 60° ,∠EAD的度数为 10° .
第6题图
7.如图所示,已知△ABC是直角三角形,∠C=90°,CD是AB边上的高,若AC=4,BC=3,AB=5,则△ABC的面积为 6 ,CD的长为 .
第7题图
8.如图所示,AD,CE是△ABC的两条高,AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm,求AD的长.
解:S△ABC=AB·CE=BC·AD.
∵AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm,
∴×4×6=×8·AD,解得AD=3 cm.
∴AD的长为3 cm.
9.如图所示,已知△ABC的周长为36 cm,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,BE,CF交于点O,AO的延长线交BC于点D,且AF=6 cm,AE=4 cm,求BD的长.
解:∵BE,CF分别为边AC,AB上的中线,且BE,CF交于点O,AF=6 cm,AE=4 cm,
∴AB=2AF=2×6=12(cm),
AC=2AE=2×4=8(cm).
由题意,得AD是△ABC的边BC上的中线.
∴BD=BC.
又∵△ABC的周长为36 cm,
∴BC=36-12-8=16(cm).
∴BD=×16=8(cm).
10. (2022惠州期末)如图所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.试求:
(1)AD的长;
(2)△ABE的面积;
(3)△ACE和△ABE的周长的差.
解:(1)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,
∴AB·AC=BC·AD.
∴AD===4.8(cm),即AD的长度为4.8 cm.
(2)由(1),知AD=4.8 cm,
∵AE是BC边上的中线,BC=10 cm,
∴BE=BC=5 cm.
∴S△ABE=BE·AD=×5×4.8=12(cm2).
∴△ABE的面积是12 cm2.
(3)∵AE为BC边上的中线,
∴BE=CE.
∴C△ACE-C△ABE=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm),即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.
11.如图所示,小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条,首尾连接制作了一个五角星,他发现五角星的形状不稳定,稍微一动五角星就变形了.于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓,使它稳定不再变形,则他至少需要添加的螺栓个数为(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
第11题图
12.如图所示,在△ABC中,AD为中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= 2 .
第12题图
13.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且 S△ABC=8 cm2,求阴影部分的面积.
解:∵点E为AD的中点,
∴S△ABC∶S△BCE=2∶1.
∵点F是CE的中点,
∴S△BCE∶S△BEF=2∶1.
∵S△ABC=8 cm2,
∴S△BEF=S△ABC=×8=2(cm2).
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G.求证:DE+DF=BG.
证明:如图所示,连接DA.
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,
∴AC·BG=AB·DE+
AC·DF,
即AC·BG=AB·DE+AC·DF.
又∵AB=AC,
∴DE+DF=BG.
15.如图所示,在△ABC中(AB>BC),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
解:∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD.
设BD=CD=x,AB=y,
则AC=2BC=2×2x=4x,
分为两种情况:
①AC+CD=60,AB+BD=40,
则4x+x=60,x+y=40,
解得x=12,y=28.
即AC=4x=48,AB=28;
②AC+CD=40,AB+BD=60,
则4x+x=40,x+y=60,
解得x=8,y=52.
即AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16,
此时不符合三角形三边关系.
综合上述,AC=48,AB=28.
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