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11.2.1 三角形的内角
1.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是(C)
A.80° B.90° C.100° D.110°
第1题图
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点O,∠A=60°,则∠BOC的大小为(B)
A.110° B.120° C.130° D.150°
第2题图
3.在下列条件①∠A+∠B=∠C,②∠B-∠C=90°,③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠B=72°,∠C= 38°,则∠DAE等于(C)
A.7° B.12° C.17° D.22°
第4题图
5.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠ABC= 25°39′11″,则∠ACD= 25°39′11″ .
第5题图
6.如图所示,DB是△ABC的高,AE是角平分线,∠BAE=26°,则∠BFE= 64° .
7.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC, ∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,求∠EAD+∠ACD的度数.
解:∵AD是BC边上的高,∠ABC=60°,
∴∠BAD=30°.
∵∠BAC=50°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=25°.
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=30°-25°=5°.
∵在△ABC中,∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°,
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.
8.(2022南通期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B= 30°,CD⊥AB于点D,CE是△ABC的角平分线.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若∠CEF∶∠ACE=3∶1,求证:EF∥BC.
(1)解:∵∠B=30°,CD⊥AB于点D,
∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠ACB=45°.
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.
(2)证明:∵∠ACB=90°,CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°.
∵∠CEF∶∠ACE=3∶1,
∴∠CEF=135°.
∴∠CEF+∠ECB=180°.
∴EF∥BC.
9.(2022温州期中)如图所示,已知AB∥CD,AC⊥AB,点P是AB上的一点,连接CP,将△ACP沿CP所在直线折叠,点A落在点M处,连接MB,MD.若∠B=∠D,∠CMD=∠PMB+12°,则∠ACP等于(D)
A.24° B.24.5° C.25° D.25.5°
第9题图
10.将两张三角形纸片按如图所示方式摆放,量得∠1+∠2+∠3+ ∠4=220°,则∠5= 40° .
第10题图
11.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,点E是AB上一点,连接CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE.
(1)求证:△AEM是直角三角形.
(2)[一题多变]将(1)中的结论“△AEM是直角三角形”和条件 “∠DCM=∠MAE”互换,你会证明吗
证明:(1)∵AD是BC边上的高,
∴∠DMC+∠DCM=90°.
又∵∠DMC=∠AME,∠DCM=∠MAE,
∴∠AME+∠MAE=90°,即∠AEM=90°.
∴△AEM是直角三角形.
(2)∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°.
∴∠B+∠BAD=90°.
又∵△AEM是直角三角形,
∴∠AEM=90°.
∴∠BEC=90°.
∴∠B+∠ECD=90°.
∴∠ECD=∠BAD,即∠DCM=∠MAE.
12.如图所示,MN表示某引水工程的一段设计路线,从点M到点N的走向是南偏东30°,在点M的南偏东60°方向上有一点A,某测量员在MN上取一点B,测得BA方向为南偏东75°,求从点A处观测点M,B两处时的视角∠MAB的度数.
解:∵MN方向是南偏东30°,MA方向是南偏东60°,
∴∠AMB=60°-30°=30°.
∵BA方向为南偏东75°,
∴∠ABN=75°-30°=45°.
∴∠MBA=180°-45°=135°.
∴在△MAB中,
∠MAB=180°-30°-135°=15°.
13.(2022宁波期中)如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD交AD于点E, ∠DBC=∠BCD.
(1)如图(1)所示,若∠BCD=α,则用α表示∠CDB= ;
(2)如图(1)所示,若AD⊥BD于点D,∠DAB=40°,则∠BCD的度数为 °;
(3)如图(2)所示,∠BAD与∠BDF的平分线交于点P,若∠ADB=70°,求∠P的度数.
解:(1)180°-2α
(2)25
(3)∵AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADF=180°.
∵∠ADB=70°,
∴∠BAD+∠BDF=180°-∠ADB=110°.
∵∠BAD与∠BDF的平分线交于点P,
∴∠DAP=∠BAD,∠BDP=∠BDF.
∴∠DAP+∠BDP=(∠BAD+∠BDF)=55°.
∴∠P=180°-∠ADB-(∠DAP+∠BDP)=180°-70°-55°=55°.
14. (推理能力)如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O.
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC= .
(2)若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC= .
(3)若∠A=76°,则∠BOC= .
(4)若∠A=m°,则∠BOC= .
(5)若∠BOC=120°,则∠A= .
(6)试探究:∠A与∠BOC之间具有怎样的数量关系 为什么
解:(1)130° (2)122° (3)128° (4)90°+m°
(5)60°
(6)∠BOC=90°+∠A.理由如下:
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=180°-90°+∠A
=90°+∠A.
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11.2.1 三角形的内角
1.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
第1题图
2.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点O,∠A=60°,则∠BOC的大小为( )
A.110° B.120° C.130° D.150°
第2题图
3.在下列条件①∠A+∠B=∠C,②∠B-∠C=90°,③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠B=72°,∠C= 38°,则∠DAE等于( )
A.7° B.12° C.17° D.22°
第4题图
5.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠ABC= 25°39′11″,则∠ACD= .
第5题图
如图所示,DB是△ABC的高,AE是角平分线,∠BAE=26°,则
∠BFE= .
7.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC, ∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,求∠EAD+∠ACD的度数.
8.(2022南通期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B= 30°,CD⊥AB于点D,CE是△ABC的角平分线.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若∠CEF∶∠ACE=3∶1,求证:EF∥BC.
9.(2022温州期中)如图所示,已知AB∥CD,AC⊥AB,点P是AB上的一点,连接CP,将△ACP沿CP所在直线折叠,点A落在点M处,连接MB,MD.若∠B=∠D,∠CMD=∠PMB+12°,则∠ACP等于( )
A.24° B.24.5° C.25° D.25.5°
第9题图
10.将两张三角形纸片按如图所示方式摆放,量得∠1+∠2+∠3+ ∠4=220°,则∠5= .
第10题图
11.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,点E是AB上一点,连接CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE.
(1)求证:△AEM是直角三角形.
(2)[一题多变]将(1)中的结论“△AEM是直角三角形”和条件 “∠DCM=∠MAE”互换,你会证明吗
12.如图所示,MN表示某引水工程的一段设计路线,从点M到点N的走向是南偏东30°,在点M的南偏东60°方向上有一点A,某测量员在MN上取一点B,测得BA方向为南偏东75°,求从点A处观测点M,B两处时的视角∠MAB的度数.
13.(2022宁波期中)如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD交AD于点E, ∠DBC=∠BCD.
(1)如图(1)所示,若∠BCD=α,则用α表示∠CDB= ;
(2)如图(1)所示,若AD⊥BD于点D,∠DAB=40°,则∠BCD的度数为 °;
(3)如图(2)所示,∠BAD与∠BDF的平分线交于点P,若∠ADB=70°,求∠P的度数.
14. (推理能力)如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O.
(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC= .
(2)若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC= .
(3)若∠A=76°,则∠BOC= .
(4)若∠A=m°,则∠BOC= .
(5)若∠BOC=120°,则∠A= .
(6)试探究:∠A与∠BOC之间具有怎样的数量关系 为什么
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