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11.2.2 三角形的外角
1.若△ABC有一个外角是锐角,则△ABC一定是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.(2022邯郸期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的三个外角度数的比为4∶5∶6,则∠A的度数为( )
A.96° B.84° C.48° D.24°
3.如图所示,在△ABC中,∠C=80°,∠ADB=100°,AD平分∠BAC,则 ∠B的度数为( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
4.如图所示,∠1,∠2,∠3,∠4一定满足关系( )
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4-∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2-∠3
第4题图
5.如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )
A.180° B.360°
C.540° D.720°
第5题图
6.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,若∠A=44°,∠1=57°,则∠2= .
第6题图
7.如图所示,已知a∥b,∠1+∠2=75°,则∠3+∠4= .
第7题图
8.如图所示,将分别含有30°,45°角的一副三角板重叠,使直角顶点重合,若两直角重叠形成的角为65°,则图中∠α的度数为 .
9. (2022河池期末)将一副学生三角板△OCD,△ODE按如图所示位置摆放,OC放置在直线AB上,求∠AOE的度数.
10.如图所示,在△ABC中,∠ADB=100°,∠C=80°,∠BAD=∠DAC,BP平分∠ABC,求∠BPD的度数.
11.如图所示,在△ABC中,O是三个内角的平分线的交点,过点O作 ∠ODC=∠AOC,交边BC于点D.若∠ABC=n°,则∠BOD的度数为( )
A.90°+n° B.45°+n°
C.90°-n° D.90°
12.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线BE与△ABC的外角∠ACD的平分线CE相交于点E,∠A=80°,则∠E= .
13.我们知道,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.请利用这条定理解决下列问题:如图所示,∠1=∠2=∠3.
(1)求证:∠BAC=∠DEF;
(2)若∠BAC=70°,∠DFE=50°,求∠ABC的度数.
14.如图所示,已知∠B=35°,∠BAC=85°,∠C=30°,求∠BDC的度数(要求至少用两种不同的方法求解).
15.(运算能力、推理能力)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如下探究:
(1)[习题回顾]如图(1)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)[变式思考]如图(2)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)[探究延伸]如图(3)所示,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得 ∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.
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11.2.2 三角形的外角
1.若△ABC有一个外角是锐角,则△ABC一定是(A)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.(2022邯郸期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的三个外角度数的比为4∶5∶6,则∠A的度数为(B)
A.96° B.84° C.48° D.24°
3.如图所示,在△ABC中,∠C=80°,∠ADB=100°,AD平分∠BAC,则 ∠B的度数为(B)
A.50° B.60°
C.70° D.80°
4.如图所示,∠1,∠2,∠3,∠4一定满足关系(D)
A.∠1+∠2=∠3+∠4
B.∠1+∠2=∠4-∠3
C.∠1+∠4=∠2+∠3
D.∠1+∠4=∠2-∠3
第4题图
5.如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为(B)
A.180° B.360°
C.540° D.720°
第5题图
6.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,若∠A=44°,∠1=57°,则∠2= 101° .
第6题图
7.如图所示,已知a∥b,∠1+∠2=75°,则∠3+∠4= 105° .
第7题图
8.如图所示,将分别含有30°,45°角的一副三角板重叠,使直角顶点重合,若两直角重叠形成的角为65°,则图中∠α的度数为 140° .
9. (2022河池期末)将一副学生三角板△OCD,△ODE按如图所示位置摆放,OC放置在直线AB上,求∠AOE的度数.
解:由题意,得∠CDO=45°,∠DOE=30°,
∠OCD=90°,
∴∠AOD=∠CDO+∠OCD=135°.
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=165°.
10.如图所示,在△ABC中,∠ADB=100°,∠C=80°,∠BAD=∠DAC,BP平分∠ABC,求∠BPD的度数.
解:∵∠ADB=100°,∠C=80°,
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°.
∵∠BAD=∠DAC,∴∠BAD=10°.
∴∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠ABC=35°.
∴∠BPD=∠BAD+∠ABP=10°+35°=45°.
11.如图所示,在△ABC中,O是三个内角的平分线的交点,过点O作 ∠ODC=∠AOC,交边BC于点D.若∠ABC=n°,则∠BOD的度数为(D)
A.90°+n° B.45°+n°
C.90°-n° D.90°
12.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线BE与△ABC的外角∠ACD的平分线CE相交于点E,∠A=80°,则∠E= 40° .
13.我们知道,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.请利用这条定理解决下列问题:如图所示,∠1=∠2=∠3.
(1)求证:∠BAC=∠DEF;
(2)若∠BAC=70°,∠DFE=50°,求∠ABC的度数.
(1)证明:∵∠DEF=∠3+∠CAE,∠1=∠3,
∴∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC,
即∠BAC=∠DEF.
(2)解:∵∠DFE=∠2+∠BCF,∠2=∠3,
∴∠DFE=∠3+∠BCF=∠ACB=50°.
∵∠BAC=70°,
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-50°=60°.
14.如图所示,已知∠B=35°,∠BAC=85°,∠C=30°,求∠BDC的度数(要求至少用两种不同的方法求解).
解:法一 如图①所示,延长BD,交AC于点E.
图①
∵∠1=∠B+∠A,
∠BDC=∠1+∠C,
∴∠BDC=∠B+∠A+∠C=35°+85°+30°=150°.
法二 如图②所示,连接AD并延长,
图②
∵∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4,
∴∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4.
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC=35°+30°+85°=150°.
法三 如图③所示,连接BC,
图③
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°.
∵∠1+∠3+∠D=180°,
∴∠D=∠2+∠4+∠A=35°+30°+85°=150°.
15.(运算能力、推理能力)小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做如下探究:
(1)[习题回顾]如图(1)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)[变式思考]如图(2)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=40°,求∠CEF和∠CFE的度数;
(3)[探究延伸]如图(3)所示,在△ABC中,在AB上存在一点D,使得 ∠ACD=∠B,角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M,若∠M=35°,求∠CFE的度数.
(1)证明:∵∠ACB=90°,CD是高,
∴∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°.
∴∠B=∠ACD.
∵AE是角平分线,
∴∠CAF=∠DAF.
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B,
∴∠CEF=∠CFE.
(2)解:∵∠B=40°,∠ACB=90°,
∴∠GAD=∠B+∠ACB=40°+90°=130°.
∵AF为∠BAG的平分线,
∴∠GAF=∠DAF=×130°=65°.
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADF=90°.
∴∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°.
又∵∠CAE=∠GAF=65°,∠ACB=90°,
∴∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°.
(3)解:∵C,A,G三点共线,AE,AN为角平分线,
∴∠EAN=90°,∠EBA=∠EAC,
∴∠MAE=∠CAM+∠CAE=90°.
∴∠M+∠CEF=90°.
∵∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE.
∴∠M+∠CFE=90°.
∴∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°.
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