高二数学2023.12
注意事项：
1.本试题满分150分、考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上，
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答
题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求
*1.抛物线y=4r的焦点到准线的距离是（).
A启
B
C.2
D.4
2足知动点P在然圆C苦号1上，点P到定点F40)的距商定为4，到定直线r5
的距离记为d.
1,
B.
c.5
0:4
3.设，F是双曲线C:25=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且1OP2,则△PF5的面积为C
B.3
c
D.2
4已知双曲线C广6>0)的-条新近线方程为2x+=0,F、5分别是双猫线C的左，右焦点。P
为双曲线C上一点.若PF=6,则PF=()
A.2
B.25
C.2或10
D.10
5记知椭号+-，过点
的直线与椭圆相交于A,B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的
方程为()
A+8}-0
B.8x-y号-0c8+y-}-0
D.-8+号0
6已为F为痛图c节-6>0的右击忘，P为C上的动点，过F且康直于：装的直线与C文于从
N两点，若MM等于PF的最小值的3倍，则C的离心率为()
A.3
B.
3
7抛物成有-条食要性质：从焦点发出的先线轻过抛物线上的一古反时后。反时无线子行于抛物位的销。.已
知地物我G:了=2，从点P心，2m>2)发出的一条平行于：轴的光线，经过C上的点4反射后，与C
交于另一点B,则点B的纵坐标为()
A月
B.-
C.-2
D,-4
&已知双曲线C:其_号=l(a>0,b>0)的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N,若
MFN=60,且FM=2FM外，则C的渐近线方程为()
B.y=3x
C.
D.y=tx
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
*9.已知椭圆C:
二+上1的-一个焦点为F,P为C上一动点则（
t79
A.C的短轴长为2V万
B.PF的最大值为V万+2
C.C的长轴长为6
D、C的离心率为
10.已知曲线C:m+心y=l,则(）
51
A.若m=n>0,则C是圆，其半径为万
B.若m>n>9,则C是椭圆，其焦点在y轴上
c若c过点》（台小
则C是双曲线
D.若mn=0,则C不表示任何图形
Il.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，过点F的直线与抛物线交于P(x,y)Q()两点，点P
在1上的射影为R,则下列说法正确的是()
A.过点M(0,)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
B.以P2为直径的圆与x=0相切
C.设M(0,),则PM+lPP2V2
D,若1Pg=8,则△0P2的面积为2N2高二数学答案
1 1 1
1B 2由抛物线方程知： x 2py y ，即 p ，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是 p .故选：B
4 8 8
2.C设点 P(m,n) d
25
，则 m， d (m 4)2 (n 0)2 m2 8m 16 n22 4 1
4 4 25
m2 16 4 4 d 5 m
m
m2 8m 16 (1 ) 9 m2 8m 25 ( m 5)2 5 m 1 5 5
4
，得 425 25 .故选：C.25 25 5 5 d2 m m 5
4 4
3.B由已知，不妨设 F1( 2,0),F2 (2,0) ，则 a 1,c 2，因为 OP 2
1
F1F2 ，所以点 P在以 F2 1
F2为直径的圆上，即 F1F2P
是以 P为直角顶点的直角三角形，故 | PF |21 | PF |22 | F1F |2
2
2 ，即 |PF1 | |PF |
2
2 16，又 | PF1 | | PF2 | 2a 2，
所以4 | PF1 | | PF |
2
2 | PF1 |
2 | PF 22 | 2 | PF1 || PF2 | 16 2 | PF1 || PF2 |，解得 | PF1 || PF2 | 6 ，所以
S 1△F F P | PF1 || PF | 31 2 2 故选：B2
b b
4.D双曲线C的渐近线方程为 y x，由题意可得 2，则b 4，因为a 2，则
2 2 c a
2 b2 2 5，所以，
F2 2 5,0 ，设点 P x, y ，其中 x 2或 x 2，则
PF2
2
x 2 5 y 2 x 2 4 5x 20 4x 2 16 5x 2 4 5x 4 5x 2 ，若点 P在双曲线的右支上，则 x 2，
则 PF2 5x 2 2 5 2，当点 P在双曲线的左支上，则 x 2，则 PF2 2 5x 2 2 5 .由双曲线的定义可知
PF1 PF2 6 PF2 2a 4 ，解得 PF1 2（舍）或10 .故选：D.
2 2
5.A解：设 A x1, y1 ， B x2 , y
x1 2 x
2 ，则 y1 1，
2 y22 1， x1 + x2 1， y1 y2 1，8 8
x2 2 y1 x2 x xy2 x x 1
y2 x1 x2 1 1
所以 1 y
2 0，即 1 2 1 22 y1 y2 y1 y2 0，所以 k 8 8 8 x1 x2 8 y1 y2 8
，即 AB 所8
1 1 1 9
以弦 AB所在直线方程为 y x ，即 x 8y 0 .故选：A2 8 2 2
x26 y
2
．B F 为椭圆 C： 2 2 1 a b 0 的右焦点，P为 C上的动点，由椭圆的性质，可得 PF a c a b min
. 过 F且
x C M N MN 2b
2 2b2
垂直于 轴的直线与 交于 ， 两点， . MN 等于 PF 的最小值的 3倍， 3 a c . 椭圆中
a a
2 2
a2 2 2 b2 c2， 2 a c 3a2 3ac 2c 3ac a c 1，即 2c2 3ac a2 0，则 0 . e ， 2e2 3e 1 0 ，解得 e
a2 a2 a2 a 2
或 e 1（舍）.故选：B.
1
7．A抛物线 C： y2 2x的焦点坐标为 F ,0
，设 A(xA, 2)， B(xB , y )
4
B ，因为点A在抛物线上，所以 xA 2， 2 2
k 2 0 4A,B,F AF 1 4 1由题意可知， 三点在一条直线上，直线 AB的斜率为 2 y (x ) 3，即直线 AB的方程为 ，联
2 3 2
{#{QQABYYKQogAgQBJAARgCQQGKCACQkACAAAoGhAAIMAAAwQFABAA=}#}
4 1
y (x ) 2
立 3 2 ，可得 2y2 3y 2 0，因为 2yB 1, y
1
B .故选：A
y
2 2x 2 2
8．D如图所示，不妨设M 在左支，设右焦点为 F2，连接MF2，NF2 ，由对称性知四边形
MF1NF2 为平行四边形，由 F1N 2 F1M 得 F2M 2 F1M ，由双曲线定义知 F2M F1M 2a
所以 F1M 2a, F2M F N 4a ，因为 MF N 60 1 1 ，所以 F1MF2 120
在△MF1F2 中，由余弦定理得
F F 2 FM 2 F M 2 2FM F M cos120 4c21 2 1 2 1 2 ，即 4a
2 16a2 2 2a 4a 1 ，整理得2 c
2 7a2，即
a2 b2
b b
7a2，所以 6，则 C的渐近线方程为 y x 6x .故选：D
a a
9.ACD x
2 y2
由标准方程 1可知，a2 9，b2 7，所以 a 3，b 7，c a2 b2 2．所以短轴长为2b 2 7，7 9
长轴长为 2a 6，即选项 AC c 2正确；离心率 e ，即 D正确；由椭圆性质得 PF a c 3 2
a 3 max
， 故选项
B错误.故选：ACD
1 1
10.BC 2 2对于 A，m n 0时，曲线C可化为 x y ，其半径为 ，故 A错误；对于 B，m n 0时，曲线C可
n n
x2 y2
1 1 15 16
化为 1 1 1，而0 ，所以其焦点在 y轴上，故 B正确；对于 C，将点 3, ， ,5 代入曲线C：
m n 4 3
m n
9m 225n 1 m 1
2 2 mx ny 1 16 16，有 256m ，
mn 0
1 ，所以曲线C是双曲线是双曲线，故 C正确；对于 D，若 25n 1 n
9 9
m 1,n 0，满足条件，此时曲线C： x2 1，表示两条直线，故 D错误.故选：BC
11CD解：A，显然直线 x 0， y 1与抛物线只有一个公共点，当所求直线斜率存在时，设过M 的直线方程为
y kx 1,y kx 1 k 0 2 2，联立 2 可得 k x 2k 4 x 1 0，令Δ 0y 4x, ，解得 k 1，所以直
线 y x 1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故 A错误对于选项 B，
根据抛物线的性质 PP1 PF ， QQ1 QF ， NN1为梯形的中位线，故
NN 11 PP 11 QQ1 PQ ，以 PQ为直径的圆与准线 l相切，故 B选项错误；对于选项 C，2 2
因为 F 1,0 ，所以 PM PP1 PM PF MF 2，故 C正确；对于 D选项，设直线 PQ的方程为 y x b，
y x b
x2联立 2 ，可得 2b 4 x b2 0， 4 b 2
2 4b2 0
y 4x ，解得b 1，由韦达定理可得
x1 x2 4 2b，
b
x1x b
2 2
2 ， 2 ，解得b = -1，点O到直线 l的距离为 d ，故PQ 2 x1 x2 4x1x2 2 4 1 b 8 2 2
{#{QQABYYKQogAgQBJAARgCQQGKCACQkACAAAoGhAAIMAAAwQFABAA=}#}
1 1 2 ，D对；S△OPQ PQ d 8 2 22 2 2
c 3 3c 3c
12．ABD因为 OPF2为正三角形，所以 P , c 所以 PF1 , ， PF
c , 3c2
2 2 2 2 2 2
3c c PF PF 3c
3c 2 2
所以 1 2
0
c 3c
故 A正确将 P点坐标代入双曲线方程可得
2 1
即
2 2 2 2 2 4a 4b
b2c2 3a2c2 4a2b2 c2 a2 c2 3a2c2即 4a2 c2 a2 即 c4 8a2c2 4a4 0即 e4 8e2 4 0设 t e2（ t 1），则
2
t 2 8t 4 0解之得： t 4 2 3或 t 4 2 3 1（舍）所以e2 4 2 3 1 3 ，所以 e 1 3故 B正确
3 c 0 3 c 0 3 c 2
k 2 2 4 3c
2 3e2
1k2 c c 2 2 2 2 3 2 3 故 C e
c 3 1
错误 1 3 a c 设△PF1F2的内切
a a c a2 c 4a e 4 a 22 2 4
1 1
圆半径为 r，则 S1 r PF1 ， S2 r PF2 ，2 2
S 1 r F F S S 1 r PF PF 1 r 2a ra 3 1 1 13 1 2 rc S3 r F1F2 r 2c rc2 1 2 2 1 2 2 2 2 2
S S 3 1所以 1 2 S
3 1
3 ，即 S1 S2 S3，故 D正确故选：ABD2 2
5 b b 4
13. （答案不唯一）当双曲线C的焦点在 x轴时，其渐近线为 y x，则 ，所以离心率
3 a a 3
c b2 2e 1 1 4 5
a a 4 b 3
2 ，当双曲线C的焦点在 y轴时，其渐近线为 y x，则 ，即 = ，a a 3 3 b b 3 a 4
2 2 5 5
所以离心率 e c b 3 5 1 1 ，综上，可得双曲线的离心率为 或 . 14..16a a2 4 4 3 4
15．y2 2x因为动圆圆心在 x轴上移动，且该动圆始终经过点 A 2,0 和 B x,0 ，所以，
AB为该动圆的直径,又因为点C 0, y 在该动圆上，所以，CA CB 0，即 2x y2 0，
所以，点M x, y 的轨迹方程为 y2 2x .故答案为： y2 2x
2 2
16.3 x y如图所示，设双曲线的标准方程为 2 2 1(a 0,b 0)，因为最小直径为 24cm，a b
2 2
可得 a 12 x y，即 1，又因为尊高63cm，上口直径为 40cm，底部直径为 26cm2 ， 设点144 b
2 2 2 2 2 2
A(20, t),B(13, t 63), (t 0) 20 t 13 (t 63) x y，所以 2 1且 1，解得b 36, t 48，即 1，144 b 144 b2 144 1296
b
可得双曲线的渐近线为 y x 3x，所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为3 .故答案为：3 .
a
x2 y2 x2 y217 . 1； 1
16 9 10 6
18 2（1）抛物线C : y 2px p p 0 的焦点为 F ,0
p 2
，准线方程为 x ，由抛物线C : y 2px p 0 经过点 P a,a ，
2 2
{#{QQABYYKQogAgQBJAARgCQQGKCACQkACAAAoGhAAIMAAAwQFABAA=}#}
a 0 ，可得a2 2 pa，即 a 2 p，又 PF 5，可得a p 5，解得 p 2，a 4，故抛物线C的标准方程为 y2 4x .
2
y2 4x
（2）当直线 AB的斜率不存在时，直线方程为 x 4，由 ，解得 y 4，此时 AB 8，所以 ABO的面积
x 4
S 1 8 4 16．当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 y k x 4 k 0 ．
2
y k x 4 2 4由 2 得 ky 4y 16k 0，y 4x 16 64k
2 0．设 A x1, y1 ， B x 2
, y2 ，由根与系数的关系得 y1 y2 ，
k
y1y2 16
1
，所以 S△ABO S△AOM S△BOM OM y1 y
1 2
2 OM y y 4y y
16
2 2 1 2 1 2
2
k 2
64 16，
综上所述， ABO面积的最小值为16．
19（1）解： 动点 P满足 | PG | | PH | 2 |GH |， 点 P的轨迹曲线W为双曲线的一支，由双曲线的定义有 a 1，c 2，
y2
b 3， 曲线W的方程为 x2 1(x 1)；
3
（2）解：由（1）可知曲线W的顶点 F (1,0)
p
， 1， p 2，所以抛物线 Z的方程为 y2 4x．
2
由题意，直线 l的倾斜角不能为 0，设直线 l的方程为 x my 1，设M (x1， y1)， N (x2， y2 )，
代入到 y2 4x消去 x得： y2 4my 4 0， 16m2 16 0，
y1 y2 4m， y y 4， |MN | (x x 2 2 2 21 2 1 2 ) (y1 y2 ) m 1 (y1 y2 ) 4y1y2
m2 1 16m2 16 4m2 4 8， m 1或m 1，
直线 l的方程为 x y 1 0或 x y 1 0．
20（1）设 P x, y 3 y y 3，因为直线 PA与直线 PB的斜率乘积为 ，所以 ，
4 x 2 x 2 4
x2 y2
整理得点 P的轨迹为M 为 1( y 0) .........................5分
4 3
（2）设直线CD为： y k1 x 1 ① 设直线 EF 为： y k2 x 1 ②将①与曲线M 联立得：
2 2
3 4k 21 x2 8k 21 x 4k 2 12 0 C x , y D x , y x x 8k1 x x 4k1 121 ，设 1 1 ， 2 2 ， 1 2 2 ， 1 2 ，3 4k1 3 4k 21
2 2 2 12 1 k 2
所以 CD 1 k 2
1 x1 x2
2 8k 4k 12 1
4x1x
2 1 1
2 1 k1 2 4 ，2
3 4k1 3 4k1 3 4k
2
1
2 2
M 3 4k 2 2 2将②与曲线 联立得： 2 x 8k2 x 4k 22 12 0 ，设 E x3 , y3 ，F x , y x x 8k 4k 124 4 ， 3 4 2 23 4k 2 ，x3x4 2 ，2 3 4k2
2 2 2 12 1 k 2
所以 | EF | 1 k 22 x3 x4
2 4x x 1 k 2 8k2 4 4k2 12 23 4 2 ，
3 4k
2 2
2 3 4k2 3 4k
2
2
2 2 8k 2 21 1 3 4k 3 4k 1 k2 7 k 2 21 k2 61 2 7 2 2所以 k k 1
CD EF 12 1 k 2 12 1 k 2 2 2 2 2 ，解得 k1 k2 1，所 1 2 .......................12分1 2 12 1 k1 k2 k1 k2 12
{#{QQABYYKQogAgQBJAARgCQQGKCACQkACAAAoGhAAIMAAAwQFABAA=}#}
b2 2
21（. 1）由题意可知点M的坐标为 c, ，因为 AB∥MO
b b
，所以 k k ，即 ，得b c．因为 2 2
a OM AB a b c
2，
ac a
2 2
所以 a 2c．因为 F1A 2 2 2 a c
x y
，所以 a 2 2,b c 2，故椭圆 C的标准方程为 1．
8 4
（2）假设 x轴上存在点T (t, 0)，使得 OTP OTQ，则 kTP kTQ 0．设直线 l的方程为
x my 2,
x my 2(m 0),P x1, y1 ,Q x , y
2 2
2 2 ，联立方程组 x2 y2 消去 x整理得 m 2 y 4my 4 0，
1,
8 4
4m 4 y y y y 2my y (2 t) y y
则 y1 y2 2 , y1y2 k k
1 2
， TP TQ
1 2 1 2 1 2 0
m 2 m2 2 x1 t x2 t my1 2 t my2 2 t my
，
1 2 t my2 2 t
即 2my1y2 (2 t) y1 y2 0
8m 4m(2 t)
．由
m2
2 0(m 0)，解得 t 4， 2 m 2
故存在T (4,0)，使得 OTP OTQ．
b
22.（1）选①因为 C的渐近线方程为 y x，所以 1，故可设 C的方程为 x2 y2 ，代入点 P的坐标得
a
2 2
22 ( 2)2 ，可得 2 C x y，故 的标准方程为 1．
2 2
b 2
选②．因为 C的离心率为 2，所以 1 2 ，得 a b，故可设 C的方程为 x
2 y2 ，
a
2 2
代入点 P的坐标得 22 ( 2)2 ，可得 2 x y，故 C的标准方程为 1．
2 2
（2）由（1）可知 F的坐标为 2,0 ，由双曲线的对称性，可知点 Q的坐标为 2, 2 ．设点M，N的坐标分别为
M (x1 , y1 ),N (x2 , y2 )，直线 l y k x 2 k 2 1 x2 2 2的方程为 ，联立直线和双曲线方程得 4k x 4k 2 0，
2
x x 4k x x 4k
2 2 k x 2 2 2 2 2
所以 1 2 2 ， 1 2 2 ，直线 PM：y
1 (x 2) 2，即 y k x 2k 2 ，
k 1 k 1 x 2 1 x1 2 x1 2
k
y x2 2 2
y k 2
x 2k 2 2直线 QN： ( x 2) 2，即 2，消去 y，得x2 2 x2 2 x2 2
1 1 1 1 2 x1x2 x x x 2
1 ，整理得 x1 x 4 x 2 x x x x ，则 x
1 2
．因为
x1 2 x2 2 x1 2 x 2
2 1 2 1 2
2 x1 x2 4
4k 2 2 4k 2
x1x2 x x 2
k 1 k 21 2 1 2 1 x 1
4k 2 ，所以 A的横坐标为 1．故 A在定直线 上．x1 x2 4 4 4 2
k 2 1
{#{QQABYYKQogAgQBJAARgCQQGKCACQkACAAAoGhAAIMAAAwQFABAA=}#}
