山东省德州市夏津重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（PDF版含答案）

高一 12 月月考数学试题
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题 5 分，8 题共 40 分）
1．下列函数中，既是奇函数且在区间 (0,+ )上又是增函数的为（ ）
A． f (x) = x2 f ( x) = 2x B． C． f (x) = log2x
3
D． f ( x) = x
3
2．若cos = ，且 在第四象限，则 tan =（ ）
5
3 3 4 4
A． B． C． D．
4 4 3 3
3. 在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，若角
3sin + 2cos
的终边经过点P ( m, 2m)(m 0)，则 的值为（ ）
2sin cos
4 4
A. B. 5 C. 5 D.
5 5
2x 2 x
4．函数 f (x) = 的图像大致是（ ）
1 x2
A． B．
C． D．
5．函数 f (x) =12 2x 3x 零点所在的区间是（ ）
A． (1, 2) B． (2,3) C． (3,4) D． (4,5)
1
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
2 17π
1
6．已知 = ln ， = sin ， = 33，则 ， ， 的大小关系是（ ）
3
A． > > B． > > C． > > D． > >
7．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量
不得超过 0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升
到 0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少 25%，
那么此人在开车前至少要休息（参考数据： lg 2 0.301， lg3 0.477）（ ）
A．4.1 小时 B．4.2 小时 C．4.3 小时 D．4.4 小时
2 x x x
8. 已知函数 f (x) = 2x + ln ( 1+ x + x)，若不等式 f (3 9 )+ f (m 3 3) 0 对任
意 x R 均成立，则 m的取值范围为（ ）
A. ( , 2 3 1) B. ( , 2 3 +1)
C. ( 2 3 +1,2 3 1) D. ( 2 3 +1,+ )
二、多选题（共 4 小题，满分 20 分，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分）
9. 已知 log3 a log3 b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A. 0 B. log3 (a b) 0
a b
a b
1 1
C. 3a b 1 D.
3 2
10．给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
23
A． tan 4 cos 2 sin( ) 的符号为正；
4
B．若 = 3，则sin cos ；
3 1 3
C．若 (0, )， sin + cos = ,则 tan = 3 或 tan = ；
2 3
cos( )
D． sin( ) cos( + ) = cos
2 .
sin( ) 2 2
2
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
11. 奇函数 f ( x)与偶函数 g (x)的定义域均为R ，且满足 f (x) g (x) = 2x ，则下列判断正
确的是（ ）
A． f (x)+ g (x) 0
2x 2 x
B． f (x) =
2
C． f ( x)在R 上单调递增
D． g (x)的值域为 ( , 1
x + 2, x 0
12．已知函数 f (x) = ，若 f (x) = a有三个不等实根x1，x ，x3 ，且 x1 x2 x3，
log2 x , x 0
2
则（ ）
A． f ( x)的单调递增区间为 ( ,0 1,+ )
B．a的取值范围是 (0, 2)
C． x1x2x3的取值范围是 ( 2,0
D．函数 g (x) = f ( f (x))有 4 个零点
三、填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
1 x
13．函数 f (x) = a 2（a 0，且a 1）的图像恒过的定点的坐标为 ．
π 2π
14. 已知扇形的圆心角为 ,弧长为 ,则该扇形的面积为__________.
4 3
15．函数 y = 3 log (x22 2x)的定义域为 ．
√10
16．已知sin + cos = ，则sin4 + cos4 = ，若 ∈ ( π, 0)，则
5
tan = .
四、解答题(共 70分）
2
17. 计算（1） log 7 0 8
3
6 6 + 2lg5 (sin1) + lg4+
27
3
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
4
（2）(log 3 + log 3)(log 2 + log 2) + log √27 2log25． 4 8 3 9 3
1 3
18．已知tan = ，且 是第三象限角．
tan 2
(1)求tan 的值；
2 π 3π(2)求2sin (3π ) 3cos ( + ) sin ( ) + 2的值．
2 2
2
19．已知幂函数 ( ) = 4 （ ∈ ）的图像关于 轴对称，且 (2) < (3).
（1）求 的值及函数 ( )的解析式；
（2）若 ( + 2) < (1 2 )，求实数 的取值范围.
π
20．已知sin 、cos 是方程5 2 = 0的两个实数根，其中 ∈ ( ,π)．
2
(1)求 的值；
1 1
(2)求 π + 的值．
sin( ) sin(π+ )
2
1
21．已知函数 = (2log4 2) (log4 + ). 2
(1)当 ∈ [1,16]时，求该函数的值域；
1
(2)若(log4 + 2) (log4 + ) < log4 ，对于 ∈ [4,16]恒成立，求实数 m 的取值范围. 2
x x
22. 设函数 fk (x) = 2 + (k 1) 2 (x R,k Z ) .
（1）若 fk ( x)是偶函数，求 k 的值；
（2）若存在 x 1, 2 ，使得 f0 ( x)+mf1 ( x) 4成立，求实数 m的取值范围；
（3）设函数 g (x) = f0 ( x) f2 (2x)+ 4，若 g (x)在 x 1,+ )有零点，求实数 的
取值范围.
4
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
高一 12 月月考数学答案
1-4. DDAC 5-8. BCBA
9.AD 10.BD 11.BCD 12.CD
8π 41 1
13. (1, - 1) 14. 15. 2,0) (2,4 16. /0.82 50 3 9
2
3 2
3 2
2 4 7617.解：（1）原式= 7 + 2lg5 1+ 2lg2+ = 6+ 2(lg5+ lg2)+ = 8+ = ；
3 3 9 9
4
（2）(log 3 + log 3)(log 2 + log 2) + log 27 2log25
4 8 3 9 3 √
4
=(log 23 + log 33)(log 2 + log 3 log22) + log √3 2 25 2 2 3 3 3
1 1 1 3
=( log 3 + log 3) (log 2 + log 2) + 5
2 2 3 2 3 2 3 4
5 3 3
= × log 3 × log 2 + 5
6 2 2 3 4
5 3
= + 5
4 4
= 3
1 3
18.解：（1）由于tan = ，2tan2 3tan 2 = 0，(2tan + 1)(tan 2) = 0，
tan 2
1
且 是第三象限角，解得tan = （舍）或tan = 2．
2
（ ）2 2
π 3π
2 sin (3π ) 3cos ( + ) sin ( ) + 2
2 2
= 2 2sin 3sin cos + 2
2 2sin 3sin cos
= 2 + 2
sin + cos2
2tan2 3tan
= + 2
tan2 + 1
12
当tan = 2时，原式= ．
5
2
19. 解：（1）由题意，函数 ( ) = 4 （ ∈ ）的图像关于 轴对称，且 (2) < (3)，
所以在区间(0, +∞)为单调递增函数，
所以 2 4 < 0，解得0 < < 4，
5
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
由 ∈ ， = 1,2,3。
2
又函数 ( ) = 4 的图像关于 轴对称，
所以4 2为偶数，
所以 = 2，
所以 ( ) = 4.
（2）因为函数 ( ) = 4图象关于 轴对称，且在区间(0, +∞)为单调递增函数，
所以不等式 ( + 2) < (1 2 )，等价于| + 2| < |1 2 |，
1
解得 > 3或 < ，
3
1
所以实数 的取值范围是( ∞, ) ∪ (3, +∞).
3
20.解：（1）因为sin 、cos 是方程5 2 = 0的两个实数根，
Δ = 1 + 20 ≥ 0
1
所以，{ sin + cos = ,
1
5 可得 ≥ ，
20
sin cos =
5
又因为(sin + cos )2 = 1 + 2sin cos ，
1 2 12 12
即 = 1 ，解得 = ，合乎题意．因此， = ．
25 5 5 5
12 1
（2）由（1）知sin cos = ，sin + cos = ，
25 5
因为 ∈ (π ,π)，则sin > 0，cos < 0，
2
所以，sin cos > 0，
12 49
所以(sin cos )2 = 1 2sin cos = 1 2 × ( ) = ，
25 25
7
则sin cos = ，
5
1 1 1 1 sin cos 7 25 35
因此， + = = = × ( ) =
sin(π ) sin(π+ ) cos sin sin cos 5 12 12
．
2
21. 解：（1）令 = log4 ， ∈ [1,16]，则 ∈ [0,2]，
1
函数转化为 = (2 2) ( + )， ∈ [0,2]，
2
6
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
2
则二次函数 1 1 9 = (2 2) ( + ) = 2 ( ) ， ∈ [0,2]，
2 4 8
1 9
当 = 时， min = ，当 = 2时， 4 8 max = 5，
9
故当 ∈ [1,16]时，函数的值域为[ , 5]．
8
1
（2）由于(log4 + 2) (log4 + ) < log4 对于 ∈ [4,16]上恒成立， 2
令 = log4 ， ∈ [4,16]，则 ∈ [1,2]
1 1 5
即( + 2) ( + ) < 在 ∈ [1,2]上恒成立，所以 > + + 在 ∈ [1,2]上恒成立，
2 2
1 5
由对勾函数的性质知 ( ) = + + 在[1,2]上单调递增，
2
所以当 = 2时， ( )max = 5，
故 > 5时，原不等式对于 ∈ [4,16]恒成立．
22.解：（1）若 fk ( x)是偶函数，则 fk ( x) = fk (x)，即
2 x + (k 1) 2x = 2x + (k 1) 2 x ，
2 x即 2
x = (k 1) 2 x (k 1) 2x = (k 1)(2 x 2x )，
则 k 1=1，即 k = 2；
（2）存在 x [1，2]，使得 f0 ( x)+mf1 ( x) 4成立，即m2x 4 2x + 2 x，
4 2x + 2 x 2
则m = 4 2 x + (2 xx ) 1， 2
设 t = 2 x ，∵1 x 2，
1 1
∴ t ，
4 2
2 2
设 4 2 x + (2 x ) 1= t2 + 4t 1，则 y = t2 + 4t 1= (t + 2) 5，
1 1 1 1 5
∵ t ，∴当 t = 时，函数取得最大值 y = + 2 1= ，
4 2 2 4 4
7
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}
5
则m .
4
x x x x
（3） f0 ( x) = 2 2 ， f2 ( x) = 2 + 2 ，
2
则 f (2x) = 22x + 2 2x = (2x2 2 x ) + 2 ，
2
则 g (x) = f0 (x) f2 (2x)+ 4 = (2x 2 x ) (2x 2 x ) + 2，
设 t = 2x 2 x ，当 x 1时，函数 t = 2x 2 x 为增函数，
1 3
则 t 2 = ，
2 2
若 g (x)在 x 1,+ )有零点，
2 3
即 g (x) = (2x 2 x ) (2x 2 x ) + 2 = t t2 + 2 = 0在 t 上有解，
2
2
即 t = t2 2，即 = t ，
t
2 3 3 4 1
∵ t 在 ,+ 递增，∴ = ， t 2 2 3 6
1
即 的取值范围是 ,+ .
6
8
{#{QQABBYCEggAoAAJAARhCQQXKCEIQkBAACAoORBAIoAABQBNABAA=}#}