4．1 数列的概念
1．数列－2，4，－，20，…的一个通项公式可以是 ( )
A．an＝(－1)n·2n B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n·
2．(2023年云南期末)已知数列－1，，－，，…，则该数列的第211项为 ( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是 ( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4．(多选)下列命题中正确的是 ( )
A．已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项
B．数列，，2，，…的一个通项公式是an＝
C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31
D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列
5．(2023年海南期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a5＝ ( )
A． B． C．30 D．
6．(2022年黑龙江三模)已知数列{an}，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 022＝ ( )
A． B． C．－3 D．
7．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 ( )
A．an＝3n-1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n-1＋2n－3
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
9．(2021年长春期末)已知数列的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________.
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
B级——能力提升练
11．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为 ( )
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
A．－99 B．－97 C．97 D．99
12．(多选)(2022年聊城期末)数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”(又称“冰雹猜想”)就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.记正整数a0按照上述规则实施第n(n∈N)次运算的结果为an，若a5＝1，则a0可能为 ( )
A．32 B．16 C．5 D．4
13．(2023年黑龙江月考)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝，则{an}的前2 022项之积为 ( )
A． B． C．－2 D．－3
14．(2022年邵阳期末)如图，将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向排列，并依次在2，3，5，7，10，13，…处的位置拐弯．如图，数2作为第一次拐弯，则第33次拐弯处的数是________，超过2 021的第一个拐弯处的数是________．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝5n－1.
4．1 数列的概念
1．数列－2，4，－，20，…的一个通项公式可以是 ( )
A．an＝(－1)n·2n B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n·
【答案】D 【解析】选项A：a3＝(－1)3×23＝－8，不符合题意；选项B：a2＝(－1)2×＝，不符合题意；选项C：a2＝(－1)2×＝3，不符合题意；选项D中的通项公式满足数列－2，4，－，20.故选D.
2．(2023年云南期末)已知数列－1，，－，，…，则该数列的第211项为 ( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】A 【解析】由题意，该数列可表示为－，，－，，…，故该数列的一个通项公式为an＝(－1)n，所以a211＝(－1)211＝－.故选A.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是 ( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】A 【解析】an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．
4．(多选)下列命题中正确的是 ( )
A．已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项
B．数列，，2，，…的一个通项公式是an＝
C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31
D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列
【答案】ABD 【解析】令an＝＝ n＝10，易知最大项为第1项，A正确；数列，，2，，…变为，，，，… ，，，，… an＝，B正确；an＝kn－5，且a8＝11 k＝2 an＝2n－5 a17＝29，C错误；由an＋1－an＝3＞0，易知D正确．
5．(2023年海南期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a5＝ ( )
A． B． C．30 D．
【答案】D 【解析】∵Sn＝，∴a5＝S5－S4＝－＝＝.故选D.
6．(2022年黑龙江三模)已知数列{an}，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 022＝ ( )
A． B． C．－3 D．
【答案】D 【解析】因为a1＝，所以a2＝1－＝－3，a3＝1－＝，a4＝1－＝，a5＝1－＝－3，故该数列是周期为3的数列．因为2 022＝674×3，故a2 022＝a3＝.
7．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 ( )
A．an＝3n-1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n-1＋2n－3
【答案】A 【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n-1.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．
【答案】4 【解析】令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．
9．(2021年长春期末)已知数列的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________.
【答案】100 【解析】∵Sn＝n2＋n＋1，∴当n≥2时，a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝122＋12＋1－(72＋7＋1)＝100.
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
解：由已知，得a1＝4，an＋1＝an＋3，
∴a2＝a1＋3＝4＋3＝7，
a3＝a2＋3＝7＋3＝10，
a4＝a3＋3＝10＋3＝13，
a5＝a4＋3＝13＋3＝16，
a6＝a5＋3＝16＋3＝19.
由以上各项猜测数列的通项公式是an＝3n＋1.
B级——能力提升练
11．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为 ( )
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
A．－99 B．－97 C．97 D．99
【答案】C 【解析】由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.
12．(多选)(2022年聊城期末)数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”(又称“冰雹猜想”)就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.记正整数a0按照上述规则实施第n(n∈N)次运算的结果为an，若a5＝1，则a0可能为 ( )
A．32 B．16 C．5 D．4
【答案】ACD 【解析】第一步，若3a4＋1＝1 a4＝0，不合题意，则＝1 a4＝2；第二步，若3a3＋1＝2 a3＝，不合题意，则＝2 a3＝4；第三步，若3a2＋1＝4 a2＝1，若＝4 a2＝8；第四步，若3a1＋1＝1 a1＝0，不合题意，若＝1 a1＝2；若3a1＋1＝8 a1＝，不合题意，若＝8 a1＝16；第五步，若3a0＋1＝2 a0＝，不合题意，若＝2 a0＝4；若3a0＋1＝16 a0＝5，若＝16 a0＝32.故选ACD.
13．(2023年黑龙江月考)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝，则{an}的前2 022项之积为 ( )
A． B． C．－2 D．－3
【答案】A 【解析】∵an＋1＝，且a1＝，∴a2＝＝2，a3＝－3，a4＝－，a5＝，…，∴an＋4＝an.∴a1·a2·a3·a4＝×2×(－3)×＝1.故{an}的前2 022项之积为×2×1505＝.故选A.
14．(2022年邵阳期末)如图，将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向排列，并依次在2，3，5，7，10，13，…处的位置拐弯．如图，数2作为第一次拐弯，则第33次拐弯处的数是________，超过2 021的第一个拐弯处的数是________．
【答案】290 2 026 【解析】由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表．
拐弯处 的序数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
拐弯处 的数 1 2 3 5 7 10 13 17 21 …
观察拐弯处的数字的规律：第1个数2＝＋1；第3个数5＝＋1；第5个数10＝＋1；第7个数17＝＋1；….所以当n为奇数时，第n次拐弯处的数为＋1.同理可得，当n为偶数时，第n次拐弯处的数为×＋1.所以第33次拐弯处的数是＋1＝290.当n＝88时，可得×＋1＝1 981，当n＝89时，可得＋1＝2 026，所以超过2 021的第一个拐弯处的数是2 026.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝5n－1.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.
当n＝1时，a1＝4×1＋1＝5成立，
所以an＝4n＋1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝51－1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝5n－1－(5n-1－1)＝4·5n-1.
当n＝1时，a1＝4×51-1＝4成立，
所以an＝4·5n-1.(共50张PPT)
第四章 数列
4.1 数列的概念
学习目标 素养要求
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法 逻辑推理
2.掌握数列的分类 数学抽象
3.理解数列的函数特征，掌握判断数列增减性的方法 逻辑推理
4.掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 数学运算
5.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项 逻辑推理
6.掌握数列的前n项和，能够求得数列an和Sn的关系 逻辑推理
自学导引
1．定义：按照确定的__________排列的一列数称为数列．
2．项：数列中的____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为__________)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
3．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为__________．
数列的概念
顺序
每一个数
首项
{an}
【预习自测】
(2022年南阳月考)(多选)下列有关数列的说法错误的是 ( )
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D．数列中的每一项都与它的序号有关
【答案】ABC
【解析】同一个数在数列中可以重复出现，故A错误；数列是有序的，故数列－1，0，1与数列1，0，－1是不同的数列，故B错误；{1，3，5，7}为集合不是数列，故C错误；由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故D正确．故选ABC．
数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第________项起，每一项都________它的前一项的数列
有限
无限
2
大于
分类标准 名称 含义
按项的变化趋势 递减数列 从第________项起，每一项都________它的前一项的数列
常数列 ______________的数列
摆动数列 从第________项起，有些项________它的前一项，有些项________它的前一项的数列
2
小于
各项都相等
2
大于
小于
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
【答案】(1) (2)(3)(4) (3) (4) (1) (2)
如果数列{an}的第n项an与____________之间的对应关系可以用______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
它的序号n
数列的通项公式
一个式子
【预习自测】
1．是不是所有数列都有通项公式？如果有，是否唯一？
【答案】D
如果一个数列的____________或___________的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
相邻两项
数列的递推公式
多项之间
【预习自测】
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.
【答案】21
【解析】由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
数列{an}的前n项和
数列{an}的前n项和
Sn＝a1＋a2＋…＋an
S1
Sn－Sn－1
Sn
n
一个式子
【预习自测】
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
课堂互动
分别写出下列数列(数列的前4项已给出)的一个通项公式：
题型1 探求数列的通项公式
【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据．
已知数列的前几项求通项公式的一般规律
此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：
①先统一项的结构，如都化成分数、根式等；
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；
③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；
④对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
已知数列{an}的通项公式an＝5＋3n.
(1)求a7的值；
(2)试判断81是否为数列{an}中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由．
解：(1)因为数列{an}的通项公式an＝5＋3n，
所以a7＝5＋3×7＝26.
题型2 数列通项公式的应用
通项公式的应用主要包括的两个方面
(1)由通项公式写出数列的前几项．主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；
(2)判断一个数是否为该数列中的项．可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否为数列中的项．
【解题探究】将已知等式进行变形，利用“累乘求积”得到通项公式．
题型3 由递推公式求数列中的项或通项
3．已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)．根据数列的首项和递推公式，写出它的前五项并猜想出该数列的一个通项公式．
解：由条件得a1＝0，a2＝0＋1＝1＝12，a3＝1＋(2×2－1)＝4＝22，a4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，a5＝9＋(2×4－1)＝16＝42，由以上各项猜想出数列的一个通项公式为an＝(n－1)2.
题型4 由前n项和Sn求通项公式
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n(n为正整数)，则an＝________.
已知Sn，求an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1；
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
4．已知数列的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋n2－1，则{an}的通项公式为an＝________．
【答案】2n＋1
【解析】当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1，也即an＝2n＋1(n≥1)，又∵S2＝a2＋22－1＝a2＋3，∴a1＋a2＝a2＋3，∴a1＝3＝2×1＋1，∴{an}的通项公式为an＝2n＋1.
已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，求an.
易错警示 对递推公式变形时忽略n取值的变化而致误
素养训练
1．数列的有关概念：
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式
前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
1．(题型1)(2022年东莞期末)数列－3，－1，1，3，5，…的一个通项公式为 ( )
A．an＝－2n－5 B．an＝－2n－1
C．an＝2n－5 D．an＝2n－1
【答案】C
【解析】－3，－1，1，3，5，…，由分析可得a1＝2×1－5＝－3，a2＝2×2－5＝－1，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×4－5＝3，故an＝2n－5.故选C．
【答案】C
【答案】ABCD
【解析】可以验证，当n为奇数时，A，B，C，D对应的项均为1；当n为偶数时，A，B，C，D对应的项均为0.
【答案】B
5．(题型4)(2022年黄冈期末)数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－n(n∈N*)，求an.
