4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
A级——基础过关练
1．－2与11的等差中项为 ( )
A．－ B．－ C． D．
2．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 022，则该数列的首项为 ( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
3．等差数列{an}中，若a1＝－1，a3＝3，am＝9，则m＝ ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．(2021年嘉兴期末)若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则＝ ( )
A． B． C． D．
5．已知数列{an}为等差数列且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝ ( )
A．45 B．43 C．42 D．40
6．(2022年成都模拟)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气日影长依次成等差数列，雨水、惊蛰、春分、清明日影长之和为32尺，前七个节气日影长之和为73.5尺，则立夏日影长为 ( )
A．7.5尺 B．6.5尺
C．5.5尺 D．4.5尺
7．(多选)(2022年福州期末改编)已知等差数列{an}的公差为d，a3＝16，a5＝12，则 ( )
A．d＝－2
B．a1＝20
C．a4＋a6＝28
D．{2an＋3}是以－1为公差的等差数列
8．(2021年哈尔滨期末)用火柴棒按如图的方法搭三角形．
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为________．
9．等差数列{an}的首项为a，公差为d；等差数列{bn}的首项为b，公差为e.若cn＝an＋bn，且c1＝4，c2＝8，则cn＝__________．
10．在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．
(2)求an的通项公式．
B级——能力提升练
11．(多选)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中正确的是 ( )
A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列
C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列
12．(2022年山东模拟)设{an}是等差数列且公差不为0，下列结论中正确的是 ( )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
D．若0
13．已知等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的所有奇数项按原顺序排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________．
14．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．
15．(2022年柳州月考)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值．
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
A级——基础过关练
1．－2与11的等差中项为 ( )
A．－ B．－ C． D．
【答案】C 【解析】－2与11的等差中项为＝.
2．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 022，则该数列的首项为 ( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】B 【解析】由等差中项的定义知a1＋2 022＝2×1 010，∴a1＝－2.
3．等差数列{an}中，若a1＝－1，a3＝3，am＝9，则m＝ ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A 【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a3＝a1＋(3－1)d＝－1＋2d＝3，解得d＝2，∴am＝a1＋(m－1)d，即9＝－1＋2(m－1)，解得m＝6.故选A.
4．(2021年嘉兴期末)若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】因为d1＝＝，d2＝＝，所以＝.
5．已知数列{an}为等差数列且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝ ( )
A．45 B．43 C．42 D．40
【答案】C 【解析】在等差数列{an}中，∵a1＝2，a2＋a3＝13，∴(a1＋d)＋(a1＋2d)＝13，解得d＝3.又∵a4，a5，a6为等差数列，且a5为a4和a6的等差中项，∴2a5＝a4＋a6，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋3×4)＝42.
6．(2022年成都模拟)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气日影长依次成等差数列，雨水、惊蛰、春分、清明日影长之和为32尺，前七个节气日影长之和为73.5尺，则立夏日影长为 ( )
A．7.5尺 B．6.5尺
C．5.5尺 D．4.5尺
【答案】D 【解析】设从冬至日起，日影长构成等差数列{an}，且a5＋a6＋a7＋a8＝32，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝73.5，所以解得a1＝13.5，d＝－1.故a10＝13.5－9×1＝4.5.
7．(多选)(2022年福州期末改编)已知等差数列{an}的公差为d，a3＝16，a5＝12，则 ( )
A．d＝－2
B．a1＝20
C．a4＋a6＝28
D．{2an＋3}是以－1为公差的等差数列
【答案】AB 【解析】因为a3＝16，a5＝12，所以 解得故选项A，B正确；由于an＝a1＋(n－1)d＝22－2n，a4＋a6＝14＋10＝24，故C错误；因为2(an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d＝－4，所以{2an＋3}是以－4为公差的等差数列，故D错误．故选AB.
8．(2021年哈尔滨期末)用火柴棒按如图的方法搭三角形．
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为________．
【答案】201 【解析】由图形可知，第一个图形用3根火柴棒，以后每一个比前一个多两根火柴棒，构成等差数列，数列的首项为3，公差为2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数为a100＝2×100＋1＝201.
9．等差数列{an}的首项为a，公差为d；等差数列{bn}的首项为b，公差为e.若cn＝an＋bn，且c1＝4，c2＝8，则cn＝__________．
【答案】4n 【解析】因为cn－cn－1＝an＋bn－(an－1＋bn－1)＝an－an－1＋bn－bn－1＝d＋e，所以数列{cn}是以a＋b为首项，d＋e为公差的等差数列．因为c1＝4，c2＝8，所以d＋e＝c2－c1＝8－4＝4，所以cn＝4＋(n－1)×4＝4n.
10．在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．
(2)求an的通项公式．
解：(1)因为an＋1－＝an＋，
所以an＋1－an＝＋，
所以(＋)(－)＝＋.
因为{an}是正项数列，所以＋≠0，
所以－＝1，
所以{}是等差数列，公差为1.
(2)由(1)知，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)×1＝n，
所以an＝n2.
B级——能力提升练
11．(多选)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中正确的是 ( )
A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列
C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列
【答案】ABC 【解析】因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2，所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；因为bn＝n2－n，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，易知cn＋1－cn＝4n＋3，不是常数，故D错误．
12．(2022年山东模拟)设{an}是等差数列且公差不为0，下列结论中正确的是 ( )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
D．若0
【答案】D 【解析】∵a1＋a2>0，∴a2＋a3＝(a1＋a2)＋2d，∵d的正负无法判断，∴a2＋a3的正负无法判断，故A错误；∵a1＋a3<0，∴(a1＋a2)＋d<0，a1＋a2的正负无法判断，故B错误；(a2－a1)(a2－a3)＝－d2<0，故C错误；∵00，则a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，即a2>，故D正确．
13．已知等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的所有奇数项按原顺序排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________．
【答案】4n－3 【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由a4＝7，a8＝15，可得解得则an＝2n－1.由题意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，…，则{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，故bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.
14．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．
【答案】3 【解析】设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3.因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝.
15．(2022年柳州月考)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值．
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3，
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).
若存在λ使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，与{an}为等差数列矛盾，
所以不存在λ使{an}是等差数列．(共36张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
学习目标 素养要求
1.理解等差数列的概念 数学抽象
2.掌握等差数列的通项公式及应用 数学运算
3.掌握等差数列的判定方法 逻辑推理
自学导引
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母________表示．
同一个
等差数列的定义
公差
d
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． ( )
【答案】(1)× (2)√
【解析】(1)若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)当d>0时，为递增数列；d＝0时，为常数列；d<0时，为递减数列．
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，________叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是______________．
A
等差中项
2A＝a＋b
【预习自测】
1．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为 ( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
【答案】D
【解析】由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.
2．(2022年北京期末)－2与－8的等差中项是 ( )
A．－5 B．－4
C．4 D．5
【答案】A
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝__________．
特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．
(2)等差数列的通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d(n≥m，m，n∈N*)．由此可得已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．
a1＋(n－1)d
等差数列的通项公式
【预习自测】
1．(2021年成都月考)已知数列{an}为等差数列，其中a5＝1，公差d＝2，则a7＝ ( )
A．1 B．3
C．5 D．7
【答案】C
【解析】数列{an}为等差数列，a5＝1，公差d＝2，则a7＝a5＋2d＝1＋4＝5.
2．(2022年南阳期末)已知数列{an}是公差为－2的等差数列，a3＝5，则a1＝ ( )
A．1 B．3
C．6 D．9
【答案】D
【解析】在等差数列{an}中，公差d＝－2，a3＝5，则a1＝a3－2d＝5－2×(－2)＝9.故选D．
【答案】A
4．(2022年扬州期中)在等差数列{an}中，a3＝7，a7＝3，则通项为 ( )
A．an＝n＋4 B．an＝10－n
C．an＝2n＋1 D．an＝3n－2
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝7①，a7＝a1＋6d＝3②，由①②，解得a1＝9，d＝－1，所以通项公式为an＝9－(n－1)＝10－n.故选B．
课堂互动
判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
题型1 等差数列的定义及判定
判定数列{an}是否为等差数列的步骤
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
1．记数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－7，a2＝－6，an＋1＝kan＋1.求证：数列{an}为等差数列．
证明：因为a1＝－7，a2＝－6，an＋1＝kan＋1，则a2＝ka1＋1，即－6＝－7k＋1，解得k＝1，
所以an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1(n∈N*).
所以数列{an}是以－7为首项，1为公差的等差数列．
【解题探究】运用等差数列的通项公式求解．
题型2 等差数列的通项公式
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 023＝________.
【答案】2 023
【解析】因为a1＝1，且an＋1－an＝1，所以数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列．所以a2 023＝1＋(2 023－1)×1＝2 023.
【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．
题型3 等差数列的证明
证明数列{an}是等差数列的方法
证明一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法，即证an＋1－an＝常数；②利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)．
思想方法 构造法解题
素养训练
1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第2项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第1项”也满足条件．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．(题型2)(2023年广西开学考试)在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝ ( )
A．12 B．10
C．6 D．4
【答案】C
【解析】在等差数列{an}中，2a6＝a4＋a8＝20，得a6＝10，公差d＝a7－a6＝2，所以a4＝a6－2d＝10－2×2＝6.
2．(题型1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是 ( )
A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列
【答案】C
【解析】令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，∴bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.故选C．
3．(题型2)－401是等差数列－5，－9，－13，…的第________项．
【答案】100
【解析】等差数列－5，－9，－13，…中，首项a1＝－5，公差d＝(－9)－(－5)＝－4，∴an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.令－4n－1＝－401，解得n＝100.故－401是等差数列－5，－9，－13，…的第100项．
4．(题型3)已知在数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则通项公式an＝____________．
5．(题型1，2)(2022年盐城期中)设等差数列{an}，n∈N*，且满足a1＋a3＋a5＝9.
(1)求a3；
(2)若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求通项公式an.
解：(1)因为等差数列{an}，满足a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＝3.
(2)设等差数列{an}的公差为d，
若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，
则3a2，3a5，3a8是公差为18的等差数列，
所以a8－a5＝3d＝6，所以d＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3.4．2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质
A级——基础过关练
1．(2022年河北模拟)在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝ ( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 ( )
A．10 B．20
C．30 D．40
3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
4．(2023年河南联考)在等差数列{an}中，a2＋a9＝11，a4＋a10＝14，则a6＋a11＝ ( )
A．15 B．16
C．17 D．25
5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于 ( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
6．(多选)(2023年佛山期末)下列命题中错误的是 ( )
A．若a，b，c成等差数列，则a－3，b－3，c－3成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
7．(2022年浙江模拟)已知数列是等差数列，则 ( )
A．a3＋a6＝2a4 B．a3＋a6＝a4＋a5
C．＋＝ D．＋＝＋
8．若正项等差数列{an}满足a3a5＝4，则a4的最小值为________．
9．(2023年甘肃开学考试)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是________升．
10．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
B级——能力提升练
11．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝ ( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
12．(多选)(2022年山东二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是 ( )
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
13．(2022年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列，且sin A＝3sin C，则角B的值为________，tan C的值为________．
15．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
4．2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质
A级——基础过关练
1．(2022年河北模拟)在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝ ( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
【答案】B 【解析】由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13.
2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 ( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【答案】A 【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知，偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.
3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
【答案】D 【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
4．(2023年河南联考)在等差数列{an}中，a2＋a9＝11，a4＋a10＝14，则a6＋a11＝ ( )
A．15 B．16
C．17 D．25
【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得a2＋a9＋a6＋a11＝(a2＋a6)＋(a9＋a11)＝2a4＋2a10＝2(a4＋a10)，∴11＋a6＋a11＝2×14，即a6＋a11＝17.
5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于 ( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
【答案】C 【解析】设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.
6．(多选)(2023年佛山期末)下列命题中错误的是 ( )
A．若a，b，c成等差数列，则a－3，b－3，c－3成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
【答案】BCD 【解析】若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，由b＝得b－3＝－3＝(a－3＋c－3)，所以a－3，b－3，c－3成等差数列，故A正确；由b＝得b2＝＝(a2＋2ac＋c2)≠(a2＋c2)，故B错误；由b＝得2b＝2≠，故C错误；由b＝得log2b＝log2(a＋c)－1≠(log2a＋log2c)，故D错误．故选BCD.
7．(2022年浙江模拟)已知数列是等差数列，则 ( )
A．a3＋a6＝2a4 B．a3＋a6＝a4＋a5
C．＋＝ D．＋＝＋
【答案】C 【解析】设的公差为d，由题意得＝＋d，＝＋2d，＝＋3d，所以＋＝＋＝×＝，C正确；a6＝，a4＝，不满足a3＋a6＝2a4，A错误；a5＝，a3＋a6≠a4＋a5，B错误；＋＝＋d，＋＝＋，故D错误．故选C.
8．若正项等差数列{an}满足a3a5＝4，则a4的最小值为________．
【答案】2 【解析】∵an>0，∴a3a5≤＝a42(当且仅当a3＝a5＝2时取等号)，即a42≥4，解得a4≥2，即a4的最小值为2.
9．(2023年甘肃开学考试)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是________升．
【答案】 【解析】设所构成的等差数列为{an}，其公差为d，由题意可得所以解得所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝，即第5节竹子的容积为升．
10．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则
整理得解得
故所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
B级——能力提升练
11．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝ ( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
【答案】B 【解析】∵在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.
12．(多选)(2022年山东二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是 ( )
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】ABC 【解析】设从冬至到夏至的晷长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，解得d＝－10，∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确；春分的晷长为a7＝75，由题意及等差数列的性质知，秋分的晷长为75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；立冬和立春的晷长相同，为a4＝105，即为一丈五寸，故C正确；立春的晷长为a4＝105，立秋的晷长和立夏的相等，即为a10＝45，故D不正确．
13．(2022年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．
【答案】19 【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又因为{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列，且sin A＝3sin C，则角B的值为________，tan C的值为________．
【答案】 【解析】因为角A，B，C成等差数列，可知A＋C＝2B，由A＋B＋C＝π得B＝.因为B＝，所以A＋C＝.因为sin A＝3sin C，故sin ＝3sin C，即·cos C＋sin C＝3sin C，即cos C＝sin C，得tan C＝.
15．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
∴
即解得a＝1，d＝±.
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，5个数分别为－，，1，，或，，1，，－.(共37张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质
学习目标 素养要求
1.掌握等差数列的有关性质 数学运算
2.能灵活运用等差数列的性质解决问题 数学建模、数学运算
自学导引
1．对于任意正整数n，m都有an－am＝________．
2．对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq____ar＋as.
特别地，对任意正整数p，q，r，若p＋q＝2r，则ap＋aq＝________．
3．对于任意非零常数b，若数列{an}成等差数列，公差为d，则{ban}也成等差数列且公差为________．
(n－m)d
等差数列{an}的一些简单性质
＝
2ar
bd
4．若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}，{dn}都是__________．
5．等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．
等差数列
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． ( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． ( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2. ( )
(4)若数列{an}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√
【解析】(1)如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)由等差数列的性质易知正确．
等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列；当d＜0时，等差数列{an}是单调递减数列；当d＞0时，等差数列{an}是单调递增数列．
等差数列的单调性
【预习自测】
1．(2021年吉安期末)在数列{an}中，若an＝1＋2020n(n∈N*)，则数列{an}是 ( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都不是
【答案】A
【解析】由题意可得，an＋1－an＝1＋2020(n＋1)－1－2020n＝2020＞0，所以数列{an}是递增数列．
【答案】C
【答案】D
课堂互动
(2023年陕西期末)已知数列{an}是等差数列，a6＝5，a3＋a8＝15，则a5的值为 ( )
A．15 B．－15
C．10 D．－10
【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用．
【答案】C
【解析】由于a6＋a5＝a3＋a8＝15，且a6＝5，故可得a5＝10.
题型1 利用等差数列的通项公式或性质解题
等差数列的性质
对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．
1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝ ( )
A．45 B．50
C．75 D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50，∴a4＋a10＝a2＋a12＝50.
(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
【解题探究】根据等差数列常见的设元技巧设未知数，列方程(组)求解．
题型2 灵活设元求解等差数列
等差数列的设项方法与技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列；
(2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d；
(3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
2．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解题探究】将实际问题转化为数列问题，用数列知识求解，注意分清首项、项数等关键量．
题型3 等差数列的实际应用
解：由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
当an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
数列应用题的解题策略
在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
3．《九章算术》是我国古代的数学著作，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为 ( )
【答案】D
【解析】因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱．故选D.
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a11＝－26，a51＝54，则该数列从第几项开始为正数？
易错警示 忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致错
【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，a24＝0.
素养训练
1．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，那么可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
2．数列{an}是公差为d的等差数列
(1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d(m≥n，m，n∈N*)，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质经常使用．
(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.
特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.
②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….
3．下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列．
4．若{an}为等差数列，则a1＋a2＋a3＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m，…仍为等差数列，且公差为m2d.
1．(题型1)等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝ ( )
A．64 B．30
C．31 D．15
【答案】D
【解析】∵a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝16－a4＝16－1＝15.
【答案】BCD
3．(题型2)已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，则数列{an}的通项公式为________.
【答案】an＝4n－1
【答案】4
5．(题型3)某林区由于各种原因林地面积以每年0.2万公顷的速度不断减少，已知2020年年底的林地面积为100万公顷，从2021年起该林区决定进行开荒造林，每年开荒造林面积为0.3万公顷，按照这样一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？
解：由题意可知，设2020年年底该林区原有林地面积为a1，第n年年底有林地面积为an，则an－an－1＝0.3－0.2＝0.1(n≥2，n∈N*)，{an}是以100为首项，0.1为公差的等差数列，故100＋(n－1)×0.1≥102，解得n≥21，∴2040年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．4．2.2 等差数列的前n项和公式
A级——基础过关练
1．(2022年成都月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝9，S6＝21，则数列{an}的公差是 ( )
A．－1 B．2 C．1 D．－2
2．(2022年哈尔滨六中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2＋a5＝a6＋a3，则S7＝
( )
A．28 B．14 C．7 D．2
3．(2022年昆明模拟)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝ ( )
A．12 B．13 C．14 D．15
4．(2022年武汉模拟)已知数列{an}满足an＋1＝an－且a1＝4，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的n的值为 ( )
A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
5．(多选)(2021年苏州期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是 ( )
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6>S7，则必有S7>S8
D．若S6>S7，则必有S5>S6
6．(2022年洛阳阶段)已知数列{an}，an＝2n＋1，Sn为其前n项和，则下列函数图象中，点(n，Sn)在图象上的是 ( )
7．(2023年江门月考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝45，a2＋a4＋a6＝33，则S10等于 ( )
A．250 B．410 C．50 D．62
8．(2023年甘肃开学考试)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则公差d＝________．
9．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110，则a＝________，k＝________．
10．已知等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，试问当n为何值时，Sn最大？
B级——能力提升练
11．(2022年石家庄模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项和为 ( )
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
12．(多选)(2021年南通期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则 ( )
A．a6＜0
B．－C．当Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
13．(2023年汕头月考)已知等差数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－2，将数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则{cn}的前n项和为________．
14．(2022年青岛开学考试)设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝n(n－29)，则数列{an}的通项公式为________；若|ak|＋|ak＋1|＋|ak＋2|＋…＋|ak＋20|＝110，则k的值是________.
15．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)求当Sn最大时n的值；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
4．2.2 等差数列的前n项和公式
A级——基础过关练
1．(2022年成都月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝9，S6＝21，则数列{an}的公差是 ( )
A．－1 B．2 C．1 D．－2
【答案】C 【解析】由已知条件a3＋a6＝9，S6＝21，可得解得a1＝1，d＝1，∴数列{an}的公差是1.
2．(2022年哈尔滨六中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2＋a5＝a6＋a3，则S7＝
( )
A．28 B．14 C．7 D．2
【答案】B 【解析】由2＋a5＝a6＋a3，得(a6－a5)＋a3＝2，即d＋a3＝2，a4＝2，则S7＝7a4＝7×2＝14.
3．(2022年昆明模拟)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝ ( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得＝1＋d，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15.
4．(2022年武汉模拟)已知数列{an}满足an＋1＝an－且a1＝4，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的n的值为 ( )
A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
【答案】C 【解析】由an＋1＝an－，得an＋1－an＝－.又∵a1＝4，∴数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列，∴Sn＝4n＋×＝－n2＋n，易知对称轴为n＝，又∵n∈N*，∴使得Sn取得最大值的n的值为5或6.
5．(多选)(2021年苏州期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是 ( )
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6>S7，则必有S7>S8
D．若S6>S7，则必有S5>S6
【答案】ABC 【解析】若S5＝S9，则5a1＋10d＝9a1＋36d，得a1＝－.∵a1>0，∴d<0.S14＝＝7(a1＋a14)＝7(a1＋a1＋13d)＝7(2a1＋13d)＝0，故A对．Sn＝na1＋＝－＋＝，由二次函数的性质知S7是Sn中最大的项，故B对．若S6>S7，则a7＝a1＋6d<0，∴a1<－6d，∵a1>0，∴d<0，∴a6＝a1＋5d<－6d＋5d＝－d>0，a8＝a7＋dS8＝S7＋a8，C对，D错．
6．(2022年洛阳阶段)已知数列{an}，an＝2n＋1，Sn为其前n项和，则下列函数图象中，点(n，Sn)在图象上的是 ( )
【答案】C 【解析】因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，故数列{an}为等差数列，则Sn＝＝＝n2＋2n.故选C.
7．(2023年江门月考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝45，a2＋a4＋a6＝33，则S10等于 ( )
A．250 B．410 C．50 D．62
【答案】C 【解析】由题意，得a1＋a3＋a5＝3a3＝45，a2＋a4＋a6＝3a4＝33，∴a3＝15，a4＝11，公差d＝a4－a3＝－4，a1＝a3－2d＝15＋8＝23，∴S10＝10a1＋45d＝230－45×4＝50.故选C.
8．(2023年甘肃开学考试)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则公差d＝________．
【答案】2 【解析】{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51(n>3)可得an－2＋an－1＋an＝51，即3an－1＝51，解得an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以Sn＝＝10n＝100，解得n＝10，所以解得d＝2.
9．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110，则a＝________，k＝________．
【答案】2 10 【解析】设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a.由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
10．已知等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，试问当n为何值时，Sn最大？
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意，a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，
解得a1＝6，d＝－2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8.
(2)Sn＝6n＋·(－2)＝－n2＋7n＝－＋，
∴当n＝3或4时，Sn最大．
B级——能力提升练
11．(2022年石家庄模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项和为 ( )
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
【答案】B 【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调．又因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100.
12．(多选)(2021年南通期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则 ( )
A．a6＜0
B．－C．当Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
13．(2023年汕头月考)已知等差数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－2，将数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则{cn}的前n项和为________．
14．(2022年青岛开学考试)设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝n(n－29)，则数列{an}的通项公式为________；若|ak|＋|ak＋1|＋|ak＋2|＋…＋|ak＋20|＝110，则k的值是________.
15．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求证：{an}是等差数列；
(2)求当Sn最大时n的值；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.(共41张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
学习目标 素养要求
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程 数学运算
2.掌握等差数列前n项和公式及其应用 数学建模、数学运算
3.会求等差数列前n项和的最值 数学运算、逻辑推理
自学导引
等差数列前n项和公式是用____________推导的．
倒序相加法
等差数列前n项和公式的推导
【预习自测】
1．如图1，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管，如图2所示，则这样共有________根钢管，原来有________根钢管．
【答案】78 39
2．能否利用前面的问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an
等差数列{an}的前n项和公式
【答案】B
【答案】C
【答案】A
1．若a1<0，d>0，则等差数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最______值．
2．若a1>0，d<0，则等差数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最______值．
特别地，若a1>0，d>0，则______是Sn的最小值；若a1<0，d<0，则______是Sn的最大值．
小
等差数列前n项和Sn的最值
大
S1
S1
【预习自测】
1．设Sn是公差小于零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝ ( )
A．6 B．10
C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，S5＝S9，所以对称轴为n＝7，又因为开口向下，所以当n＝7时，Sn有最大值．
2．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当Sn取最大值时n的值为 ( )
A．7 B．8
C．9 D．16
【答案】B
【答案】8
课堂互动
已知数列{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，d为{an}的公差．
题型1 有关等差数列的前n项和的基本运算
【解题探究】合理地使用等差数列的前n项和公式，注意其变形及应用方程的思想．
等差数列基本运算的解题方法
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
1．数列{an}和{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝4，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和等于________.
【答案】5 250
题型2 等差数列前n项和性质的应用
等差数列的前n项和的常用性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2．(1)在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为 ( )
A．9 B．12
C．16 D．18
(2)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则{an}的前13项和S13＝________．
【答案】(1)A (2)104
(2023年重庆开学考试)在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知a1＋a3＝22，S5＝45.
(1)求an；
(2)求数列Sn的最大值．
题型3 等差数列前n项和的最值
3．(2023年湖南期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－8，S3＝－18.
(1)求公差d及数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
已知等差数列{an}的通项公式为an＝5n－95，求当n为何值时Sn取最小值．
【错解】由题意得，an＝5n－95＜0，解得n＜19，∴n＝18时，Sn有最小值．
【错因】错解的原因是忽略了a19＝0，所以S18＝S19，即n＝18或n＝19时前n项和相等且最小．
【正解】由题意得，an＝5n－95≤0，解得n≤19，∴等差数列{an}的前18项为负数，第19项为0，从第20项开始为正数，∴Sn取最小值时，n的值为18或19.
易错警示 忽略等差数列中为零的项
素养训练
2．等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an；
③当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，S奇∶S偶＝an∶an＋1；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
1．(题型1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25且a2＝3，则a7＝ ( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】B
【解析】由S5＝5a3＝25，得a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
2．(题型2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝ ( )
A．27 B．36
C．45 D．63
【答案】C
【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
3．(题型3)(2022年长春月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为 ( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
【答案】C
4．(题型3)(2021年成都期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝22，S7＝S16，则Sn取最大值时n的值为________．
【答案】11或12
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由S7＝S16，得7a1＋21d＝16a1＋120d，即a1＋11d＝0，又因为a1＝22，所以d＝－2，所以an＝22－2(n－1)＝24－2n，令an＝0，可得n＝12，所以数列{an}满足当n≤11时，an＞0；当n＝12时，an＝0；当n≥13时，an＜0，所以Sn取得最大值时，n的取值为11或12.
5．(题型1，2)(2021年菏泽模拟)已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且Sk＝66，求k的值．