4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
A级——基础过关练
1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝ ( )
A． B．－ C．2 D．－2
2．(2023年陕西期末)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项为 ( )
A．±4 B．±8
C．± D．±
3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
4．(2021年成都期末)已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为
( )
A．3 B．－3
C．－ D．
5．(2022年哈尔滨四模)在等比数列{an}中，a1＝1，a3－a2＝2，则a5＝ ( )
A．16 B．－1
C．－16或－1 D．16或1
6．(多选)设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是 ( )
A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2
B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0
C．若a2>a1，则a3>a2
D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2
7．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是 ( )
A．8 B．－4 C．2 B．－1
8．已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a3＝5，则a5的值为________．
9．(2023年南宁期末)在数列{an}中，a1＝3，且对任意正整数n，an－5an＋1＝0，则an＝________.
10．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年漳州期末)在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝，则 ( )
A．等比数列{an}的公比为
B．a1＝－
C．an＝－
D．－是这个等比数列中的第6项
12．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是 ( )
A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
13．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于________．
14．若x1，x2是函数f(x)＝x3－mx2＋nx(m>0，n>0)的两个不同的零点，且x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m＝________，n＝________．
15．(2021年上海期末)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*).
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
A级——基础过关练
1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝ ( )
A． B．－ C．2 D．－2
【答案】C 【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴解得q＝2.
2．(2023年陕西期末)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项为 ( )
A．±4 B．±8
C．± D．±
【答案】A 【解析】依题意，a4·a8＝(a1q3)·(a1q7)＝(a1q5)2＝＝42，故a4与a8的等比中项为±4.
3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
【答案】D 【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1.
4．(2021年成都期末)已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为
( )
A．3 B．－3
C．－ D．
【答案】D 【解析】因为在等比数列{an}中，a2·a6＝9a4，a2＝1，所以由于q>0，所以解方程组得
5．(2022年哈尔滨四模)在等比数列{an}中，a1＝1，a3－a2＝2，则a5＝ ( )
A．16 B．－1
C．－16或－1 D．16或1
【答案】D 【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a3－a2＝2，则有q2－q＝2，解得q＝2或q＝－1.若q＝2，则a5＝a1q4＝16；若q＝－1，则a5＝a1q4＝1.故a5＝16或a5＝1.
6．(多选)设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是 ( )
A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2
B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0
C．若a2>a1，则a3>a2
D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2
【答案】AD 【解析】由a5＝a1q4，得4＝1×q4，得q2＝2，所以a3＝a1q2＝1×2＝2，因此A正确；若a1＋a3>0，则a2＋a4＝q(a1＋a3)，其正负由q确定，因此B不正确；若a2>a1，则a1(q－1)>0，于是a3－a2＝a1q(q－1)，其正负由q确定，因此C不正确；若a2>a1>0，则a1q>a1>0，可得a1>0，q>1，所以1＋q2>2q，则a1(1＋q2)>2a1q，即a1＋a3>2a2，因此D正确．故选AD.
7．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是 ( )
A．8 B．－4 C．2 B．－1
【答案】B 【解析】由题意，得解得
8．已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a3＝5，则a5的值为________．
【答案】16 【解析】设等比数列的公比为q，由题意可得a1＋a3＝＋2q＝5，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.因为等比数列{an}为递增数列，则q>1，所以q＝2，a1＝1.因此a5＝a1q4＝16.
9．(2023年南宁期末)在数列{an}中，a1＝3，且对任意正整数n，an－5an＋1＝0，则an＝________.
【答案】3× 【解析】因为an－5an＋1＝0，所以＝，所以{an}是以为公比的等比数列．又因为a1＝3，所以an＝3×.
10．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，
所以＝＝＝q＝，
故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1＋a1＝36，
解得a1＝27，故an＝27×＝28-n.
令28-n＝＝2-1，解得n＝9.
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年漳州期末)在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝，则 ( )
A．等比数列{an}的公比为
B．a1＝－
C．an＝－
D．－是这个等比数列中的第6项
【答案】ACD 【解析】因为2an＝3an＋1，所以＝，故等比数列{an}的公比为，A正确；由a2·a5＝，得a1q·a1q4＝，即a12·＝，由于数列各项均为负数，则a1＝－，B错误；an＝－×＝－，C正确；设an＝－，由等比数列的通项公式，得－＝－，即＝，解得n＝6，因此－是这个等比数列中的第6项，D正确．
12．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是 ( )
A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
【答案】D 【解析】对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列，故A错误；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列，故B错误；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列，故C错误；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故D正确．
13．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于________．
【答案】(－2)n-1 【解析】设公比为q，则a1q4＝－8a1q.因为a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2.又因为a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n-1.
14．若x1，x2是函数f(x)＝x3－mx2＋nx(m>0，n>0)的两个不同的零点，且x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m＝________，n＝________．
【答案】 9 【解析】由题意，x1，x2为方程x2－mx＋n＝0的两根，x1＋x2＝m，x1x2＝n，由m>0，n>0，得x1>0，x2>0，不妨设x1
15．(2021年上海期末)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*).
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：∵an＋1＝an＋(n∈N*)，
∴＝＝＝＝，因此数列是等比数列．
(2)解：由于a1－＝－＝，
∴数列是以为首项、为公比的等比数列.
∴an－＝×＝，因此an＝＋.(共40张PPT)
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
学习目标 素养要求
1.理解等比数列的概念，理解等比中项的概念 数学抽象
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题，体会它和指数函数的关系 数学运算
3.掌握等比数列的判断与证明方法 逻辑推理
自学导引
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(显然q≠0)．
同一个常数
等比数列的概念
公比
q
【预习自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列1，－1，1，－1，…是等比数列． ( )
(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列． ( )
(3)等比数列至少有3项． ( )
【答案】(1)√ (2)× (3)√
【解析】(1)数列1，－1，1，－1，…从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于－1，由等比数列的概念知该数列是等比数列．
(2)这个常数必须是同一个常数且不为零才是等比数列．
(3)由等比数列的概念易知正确．
【答案】①②
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成___________，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
等比数列
等比中项
【预习自测】
1．(2022年北京期末)设m＝－8，n＝－2，则m与n的等比中项为 ( )
A．4 B．－4
C．±4 D．－5
【答案】C
【解析】设－8与－2的等比中项为x，则x2＝(－8)×(－2)＝16，解得x＝±4.故选C．
2．(2022年辽源期末)若1与11的等差中项是4与m的等比中项，则m＝ ( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】D
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝________．
a1qn－1
等比数列的通项公式
【预习自测】
1．(2022年合肥期末)若{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＝1，a5＝16，则a6－a5＝ ( )
A．32 B．－48
C．16 D．－48或16
【答案】C
2．(2022年张家界期末)在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝12，则a5＝ ( )
A．27 B．64
C．81 D．256
【答案】C
【解析】设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由a2＋a3＝12，得a1q＋a1q2＝12，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)，所以a5＝a1q4＝1×34＝81.故选C．
课堂互动
题型1 等比数列的定义及判定
【答案】(1)0
1．在数列{an}中，已知an＝3an－1＋2·5n(n∈N*，n≥2)，其中a1≠25，求证：数列{an－5n+1}是等比数列．
等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 ( )
A．90 B．100
C．145 D．190
【答案】B
题型2 等比中项的应用
【答案】D
在等比数列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，求a5.
题型3 等比数列的通项公式
等比数列通项公式的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
3．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4＝________.
【答案】27
【解析】设{an}公比为q(q≠0).由2a2为3a1和a3的等差中项，可得4a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2.因为a1≠0，所以q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.当q＝1时，a2＝a1，这与a2－a1＝2矛盾，舍去；当q＝3时，a2＝3a1.又因为a2－a1＝2，所以a1＝1，所以an＝a1qn-1＝3n-1.所以a4＝33＝27.
【分析】根据{an}的递推公式求an，可考虑由递推公式构造新数列，使新数列成等比数列，再由新数列求an.
思想方法 构造等比数列的技巧
素养训练
2．等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列．
1．(题型1)(2023年上海期末)若a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a2，b2，c2，d2；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－d.其中必成等比数列的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
2．(题型3)(2022年重庆模拟)若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则a6＝ ( )
A．16 B．32
C．64 D．128
【答案】B
3．(题型2)等比数列{an}(an＞0)满足a1－a5＝90，a2－a4＝36，则a5，a7的等比中项为________.
【答案】±3
4．(题型3)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则a1＝________，公比q＝________．
【答案】1 2
5．(题型3)在等比数列{an}中，
(1)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质
A级——基础过关练
1．(多选)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列中，是等比数列的是 ( )
A．{an2}
B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1}
D．{an＋an＋1}
2．已知等比数列{an}中，公比q＝，a3a5a7＝64，则a4＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
3．(2022年广西模拟)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为 ( )
A．2 B．4 C．8 D．16
4．(2021年驻马店期末)若数列{an}满足－＝0(n∈N*)，则称{an}为“梦想数列”．已知数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝ ( )
A．18 B．16 C．32 D．36
5．(2023年福建模拟)已知等比数列{an}中各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝ ( )
A．8 B．4 C．2 D．1
6．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．－9
7．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，下列说法正确的有 ( )
①数列{3an＋an＋1}是等比数列；②数列{an＋1－an}是等差数列；③数列{anan＋1}是等比数列；④数列{log3|an|}是等差数列．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
8．(2023年湖北模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为________．
9．(2023年湖北期末)已知数列{an}为正项等比数列，且a7＝，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a13＝________．
10．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．
B级——能力提升练
11．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则 ( )
A．a5＋a7＞a4＋a8
B．a5＋a7＜a4＋a8
C．a5＋a7＝a4＋a8
D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|
12．(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＋a5＝＋＝，则下列结论正确的是 ( )
A．a2a4＝1 B．a2＋a4＝
C．q＝2或 D．a1＝2或
13．(2022年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________．
14．已知四个实数－9，a1，a2，－1成等差数列，五个实数－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b1b3＝________，b2(a2－a1)＝________．
15．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质
A级——基础过关练
1．(多选)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列中，是等比数列的是 ( )
A．{an2}
B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1}
D．{an＋an＋1}
【答案】ABCD 【解析】A中，∵＝＝q2，∴{an2}是等比数列；B中，∵＝＝q，∴{pan}是等比数列；C中，∵＝＝q2，∴{an·an＋1}是等比数列；D中，∵＝＝q，∴{an＋an＋1}是等比数列．
2．已知等比数列{an}中，公比q＝，a3a5a7＝64，则a4＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D 【解析】由a3a5a7＝a53＝64，得a5＝4.又∵q＝，∴a4＝＝8.
3．(2022年广西模拟)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为 ( )
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A 【解析】由分数的性质得＋＋…＋＝＋＋…＋.∵a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，∴原式＝＝.又∵a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.
4．(2021年驻马店期末)若数列{an}满足－＝0(n∈N*)，则称{an}为“梦想数列”．已知数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝ ( )
A．18 B．16 C．32 D．36
【答案】A 【解析】由－＝0，得an＝3an＋1，即“梦想数列”是公比为的等比数列．若数列为“梦想数列”，则＝·，即bn＋1＝3bn，即数列{bn}是公比为3的等比数列．若b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝9(b1＋b2＋b3)＝18.
5．(2023年福建模拟)已知等比数列{an}中各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝ ( )
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C 【解析】因为a2a6＝16，由等比数列的性质可得a42＝a2a6＝16.又因为数列{an}各项均为正数，所以a4＝4.因为公比q＝2，所以a3＝＝2.故选C.
6．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．－9
【答案】A 【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a62＋a6a10＝a42＋2a4a8＋a82＝(a4＋a8)2.∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
7．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，下列说法正确的有 ( )
①数列{3an＋an＋1}是等比数列；②数列{an＋1－an}是等差数列；③数列{anan＋1}是等比数列；④数列{log3|an|}是等差数列．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D 【解析】等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－3，3an＋an＋1＝3[(－3)n-1]＋(－3)n＝[(－1)n-1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，故①错误；an＋1－an＝(－3)n－(－3)n-1＝·(－3)n，是等比数列，故②错误；anan＋1＝(－3)n-1·(－3)n＝(－3)2n-1，是等比数列，故③正确；log3|an|＝log3|(－3)n-1|＝n－1，是等差数列，故④正确．故选D.
8．(2023年湖北模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为________．
【答案】3 【解析】a9＋a11＋a13＋a15＝(a5＋a7)q4＋(a5＋a7)q8＝(a5＋a7)(q4＋q8).又因为＝＝q4＝＝，故q8＝(q4)2＝＝.故a9＋a11＋a13＋a15＝(a5＋a7)(q4＋q8)＝4×＝3.
9．(2023年湖北期末)已知数列{an}为正项等比数列，且a7＝，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a13＝________．
【答案】 【解析】数列{an}为正项等比数列，a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a72.log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a13＝log2(a1a2…a13)＝log2a713＝13log2a7＝.
10．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．
解：设这四个数为，a，aq，2aq－a，
则
由①，得a3＝216，a＝6③，
将②变形得3aq＝36，将③代入此式得q＝2，
所以这四个数为3，6，12，18.
B级——能力提升练
11．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则 ( )
A．a5＋a7＞a4＋a8
B．a5＋a7＜a4＋a8
C．a5＋a7＝a4＋a8
D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|
【答案】A 【解析】∵a6＜0，q＞0，∴a5，a7，a4，a8都是负数，∴a5＋a7－a4－a8＝a4(q－1)＋a7(1－q)＝(q－1)·(a4－a7).若0＜q＜1，则q－1＜0，a4－a7＜0，则有a5＋a7－a4－a8＞0；若q＞1，则q－1＞0，a4－a7＞0，则有a5＋a7－a4－a8＞0，∴a5＋a7＞a4＋a8.
12．(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1＋a5＝＋＝，则下列结论正确的是 ( )
A．a2a4＝1 B．a2＋a4＝
C．q＝2或 D．a1＝2或
【答案】ABD 【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a5＝＋＝，所以所以或即2×q4＝或×q4＝2，所以解得或所以选项C错误，选项D正确；因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a2a4＝a1a5＝1，选项A正确；a2＋a4＝a1q＋a1q3＝，选项B正确．故选ABD.
13．(2022年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________．
【答案】 【解析】由题意利用等比数列的性质知，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝a62＋2a6a8＋a82＝(a6＋a8)2＝25.又因为an＞0，所以a6＋a8＝5，所以a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号．
14．已知四个实数－9，a1，a2，－1成等差数列，五个实数－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b1b3＝________，b2(a2－a1)＝________．
【答案】9 －8 【解析】∵－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，∴∴b1b3＝9，b2＝－3.∵－9，a1，a2，－1成等差数列，∴a2－a1＝＝，∴b2(a2－a1)＝－3×＝－8.
15．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%
解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－.
设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an，
∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列，
∴an＝a1qn-1＝，
即第n次操作后酒精的浓度是.
当a＝2时，由an＝<(n∈N*)，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.(共32张PPT)
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质
学习目标 素养要求
1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质 数学运算、逻辑推理
2.掌握等比数列的性质及其应用 数学运算
3.掌握等比数列的实际应用问题 数学建模
自学导引
等比数列的性质
qn－m
am·an
【预习自测】
1．(2021年哈尔滨四模)等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，则a9＋a10＝ ( )
A．28 B．29
C．210 D．211
【答案】B
2．(2021年绵阳期中)已知等比数列{an}中，a2·a4·a6·a8＝16，则a3·a7＝ ( )
A．±4 B．4
C．8 D．±8
【答案】B
3．已知{an}为等比数列，则下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
课堂互动
在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124且公比为整数，求a10.
题型1 等比数列性质的应用
【解题探究】利用若m＋n＝k＋l，则aman＝akal解题．
1．(2023年北京期末)在等比数列{an}中，若a2＋a4＝4，a5＋a7＝16，则a8＋a10的值为________________.
【答案】64
【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝4，a5＋a7＝16，所以a5＋a7＝q3(a2＋a4)＝16，可得q3＝4，所以a8＋a10＝q3(a5＋a7)＝4×16＝64.
已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为－128，求这四个数．
题型2 灵活设项求解等比数列
【解题探究】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．
2．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这三个数．
(2023年福建期末)某牧场2022年年初牛的存栏数为1 000，计划以后每年存栏数的增长率为40%，且每年年底卖出100头牛，按照该计划，预计多少年后存栏数首次超过7 750？(结果保留成整数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 7≈0.845 1)
【解题探究】将实际问题转化为等比数列模型，利用等比数列的知识解决．
题型3 等比数列的实际应用
【解题探究】将实际问题转化为等比数列模型，利用等比数列的知识解决．
解决数列实际应用题的方法
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
3．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210KB)．
【答案】45
【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45(分)．
在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
易错警示 利用等比中项性质时忽视符号判断
【错因】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择．
【警示】在等比数列中，隔项的符号是一致的，故本题中a3＝2.
素养训练
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知①②③正确．
2．(题型1)(2023年山西开学考试)在正项等比数列{an}中，若a3a5＝9，则(a1a7)2－a4＝ ( )
A．6 B．12
C．56 D．78
【答案】D
3．(题型2)一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列共有 ( )
A．6项 B．8项
C．10项 D．12项
【答案】D
4．(题型2)(2022年抚州月考)在1和100之间插入n个正数，使这(n＋2)个数成等比数列，则插入的这n个正数的积为________．
【答案】10n
5．(题型3)画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，…，这样一共画了10个正方形，求第10个正方形的面积．4．3.2 等比数列的前n项和公式
A级——基础过关练
1．数列{2n-1}的前10项和为 ( )
A．211－1 B．1－211
C．210－1 D．1－210
2．(2023年河北月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝
( )
A．2n－1 B．2－21-n
C．2－2n-1 D．21-n－1
3．(2021年衡水模拟)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为 ( )
A．35 B．75
C．155 D．315
4．(2022年临汾期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝3，则S6＝ ( )
A．6 B．7
C．8 D．9
5．(2022年安徽开学考试)已知正项数列{an}满足： m，n∈N*，am·an＝am＋n，若a4＝4，则数列{a2n}的前2 022项和为 ( )
A．22 022－2 B．22 023－2
C．21 011－2 D．21 012－2
6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5a10＝8a9，且a3＝1，则S5＝ ( )
A．96 B．
C．72 D．－72
7．(多选)(2022年海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则 ( )
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋18．(2022年重庆期末)在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝128，若数列{bn}满足bn＝log2an，则数列{bn}的前20项和为________．
9．在等比数列{an}中，8a2＋a5＝0，Sn为{an}的前n项和，则＝________．
10．(2022年合肥模拟)设{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且a2＝2，S2－3a1＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Sn＋an＞48，求n的最小值．
B级——能力提升练
11．(2021年厦门期中)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝ ( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
12．(多选)(2022年济宁模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是：“有个人要去某关口，路程为三百七十八里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．”则下列说法正确的是 ( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路
13．(2022年郑州一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________．
14．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128且前n项和Sn＝126，则该数列的项数n＝________，公比q＝________．
15．(2022年重庆预测)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足2Sn＝3an－n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋…＋<.
4．3.2 等比数列的前n项和公式
A级——基础过关练
1．数列{2n-1}的前10项和为 ( )
A．211－1 B．1－211
C．210－1 D．1－210
【答案】C 【解析】数列{2n-1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前10项和为S10＝＝210－1.
2．(2023年河北月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝
( )
A．2n－1 B．2－21-n
C．2－2n-1 D．21-n－1
【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24，可得解得所以an＝a1qn-1＝2n-1，Sn＝＝＝2n－1，因此＝＝2－21-n.故选B.
3．(2021年衡水模拟)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为 ( )
A．35 B．75
C．155 D．315
【答案】C 【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的总两数为S5＝＝＝155.
4．(2022年临汾期末)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝3，则S6＝ ( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B 【解析】根据题意，在等比数列{an}中，有(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，即(3－1)2＝(S6－3)×1，解得S6＝7.故选B.
5．(2022年安徽开学考试)已知正项数列{an}满足： m，n∈N*，am·an＝am＋n，若a4＝4，则数列{a2n}的前2 022项和为 ( )
A．22 022－2 B．22 023－2
C．21 011－2 D．21 012－2
【答案】B 【解析】由题意得，a2·a2＝a4，∵an>0，∴a2＝2.令m＝2，则由am·an＝am＋n可得2an＝an＋2，2a2n＝a2n＋2＝a2(n＋1)，故数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则数列{a2n}的前2 022项和为＝22 023－2.故选B.
6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a5a10＝8a9，且a3＝1，则S5＝ ( )
A．96 B．
C．72 D．－72
【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a5a10＝a6a9＝8a9，且由题意可知a9≠0，所以a6＝8.因为q3＝＝8，解得q＝2，所以a1＝＝，故S5＝＝.故选B.
7．(多选)(2022年海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则 ( )
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋1【答案】ABD 【解析】由a4＝2a2＋a3，a1＝2，得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，A正确；an＝2×2n-1＝2n，B正确；S10＝＝2 046，C错误；根据B可知an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n+1＝3×2n，而an＋2＝2n+2＝4×2n，故an＋2>an＋an＋1，D正确．
8．(2022年重庆期末)在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝128，若数列{bn}满足bn＝log2an，则数列{bn}的前20项和为________．
【答案】400 【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝4，an＝a1qn-1＝2×4n-1＝22n-1，故bn＝log2an＝2n－1，bn＋1－bn＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2，数列{bn}为等差数列，故数列{bn}的前20项和为S20＝20×＝400.
9．在等比数列{an}中，8a2＋a5＝0，Sn为{an}的前n项和，则＝________．
【答案】－11 【解析】设{an}公比为q，由8a2＋a5＝0可得8a1q＋a1q4＝0.易知a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，解得q＝－2.所以S5＝＝11a1，S2＝＝－a1，所以＝＝－11.
10．(2022年合肥模拟)设{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且a2＝2，S2－3a1＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Sn＋an＞48，求n的最小值．
解：(1)根据题意，设{an}的公比为q，
因为S2－3a1＝0，即(a1＋a2)－3a1＝0，即a2－2a1＝0，
则有q＝＝2.又因为a2＝2，则a1＝1，
则有an＝a1qn-1＝2n-1.
(2)由(1)知a1＝1，q＝2，得Sn＝＝2n－1，
则有Sn＋an＝2n－1＋2n-1＝3×2n-1－1.
若Sn＋an＞48，则有3×2n-1－1＞48，即2n-1＞.
由n∈N*，得n≥6，所以n的最小值为6.
B级——能力提升练
11．(2021年厦门期中)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝ ( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】C 【解析】∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，∴a1＝S1＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a2＝S2－S1＝2λ＋(λ－3)·22－(4λ－6)＝2λ－6，a3＝S3－S2＝2λ＋(λ－3)·23－[2λ＋(λ－3)·22]＝4λ－12.∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22＝a1a2，即(2λ－6)2＝(4λ－6)(4λ－12)，解得λ＝1或λ＝3.∵当λ＝3时，Sn＝6是常数，不成立，故λ＝1.
12．(多选)(2022年济宁模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是：“有个人要去某关口，路程为三百七十八里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．”则下列说法正确的是 ( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路
【答案】ABD 【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是公比为的等比数列．由S6＝＝378，解得a1＝192.a2＝192×＝96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确.378－192＝186，192－186＝6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确．a3＝192×＝48，>，故C错误．a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．
13．(2022年郑州一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________．
【答案】 【解析】∵在等比数列{an}中，＝，显然q≠1，∴＝·，得1＋q3＝，∴q＝，＝＝＝.
14．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128且前n项和Sn＝126，则该数列的项数n＝________，公比q＝________．
【答案】6 2或 【解析】根据等比数列的性质，a1·an＝a2·an－1＝128.又因为a1＋an＝66，所以不妨将a1，an看作一元二次方程x2－66x＋128＝0的两实数根，解得x1＝2，x2＝64，即a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.若a1＝2，an＝64，由＝126，得2－64q＝126－126q，解得q＝2.由an＝a1qn-1，得2n-1＝32.所以n＝6.若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6.综上，n的值为6，公比为2或.
15．(2022年重庆预测)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足2Sn＝3an－n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋…＋<.
(1)解：∵2Sn＝3an－n，∴2Sn＋1＝3an＋1－n－1，
∴a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*，
∴an＋1＋＝3an＋1＋＝3，
则是首项为a1＋＝，公比为3的等比数列，
∴an＋＝，即an＝.
(2)证明：要证明＋＋…＋＜，
即证明＋＋…＋<，
∵＝·＝·≤·＝，
∴＋＋…＋≤1＋＋＋…＋＝＜.(共53张PPT)
第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
学习目标 素养要求
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用 数学运算、逻辑推理
2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题 数学建模、数学抽象
3.掌握等比数列前n项和的性质及其应用 数学运算、逻辑推理
4.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题 数学运算
自学导引
na1
等比数列前n项和公式及基本方法
【答案】C
【解析】注意对公比a是否为1进行分类讨论，易知选C．
2．在等比数列{an}中，a1＝2，a6＝64，则数列{an}前7项的和S7＝ ( )
A．253 B．254
C．255 D．256
【答案】B
3．(2021年哈尔滨一模)设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a1a5＝16，则S6的值为 ( )
A．63 B．64
C．127 D．128
【答案】A
公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，关于Sn的性质常考的有以下四类：
(1)数列Sm，S2m－Sm，__________…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
(2)当n是偶数时，S偶＝________；
当n是奇数时，S奇＝a1＋________．
S3m－S2m
等比数列前n项和的性质
qS奇
qS偶
(3)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm.
(4)数列{an}为公比不为1的等比数列 Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0，且A＋B＝0)．
【预习自测】
1．(2022年清远期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S4＝45，则qa1＝ ( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】B
2．等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
【答案】2
课堂互动
【答案】C
题型1 等比数列前n项和的基本运算
在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解．
1．(2023年湖北期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝4，且S3＝4a2＋a1，则S5＝ ( )
A．40 B．120
C．121 D．363
【答案】C
(1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式；
(2)在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30.
题型2 等比数列前n项和的性质
等比数列前n项和性质的应用
等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
解：由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
题型3 等比数列求和公式的实际应用
解：方法一：设每个月还贷a元，第1个月欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…，
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推公式的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
3．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，每年年底应支付多少元(1.16≈1.77)
题型4 前n项和公式的综合应用
等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用．
设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
易错警示 忽视等比数列求和公式的特征易错
【错因】忽视q＝1这一情况，从而得出错解．
素养训练
1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
【答案】BD
2．(题型2)(2022年安庆模拟)已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为 ( )
A．5 B．7
C．9 D．11
【答案】A
【答案】B
4．(题型3)(2022年驻马店期中)某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%.从今年起10年内这家超市的总销售额为________万元．
【答案】11a(1.110－1)
【解析】设今后10年每年的销售额为ai(i＝1，2，3，…，10)，因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%，所以今年的销售额为a1＝1.1a，
5．(题型4)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.