4．4* 数学归纳法
A级——基础过关练
1．(2022年上海期末)用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，n∈N*”，设f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，从n＝k到n＝k＋1时＝ ( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(0
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y 整除”的第二步是 ( )
A．假使n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假使n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假使n＝k(∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假使n≤k(k≥1，k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确
4．(2022年山南一模)某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立．现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得 ( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝8时该命题不成立
D．当n＝8时该命题成立
5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则 ( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
6．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为 ( )
A．18 B．36 C．48 D．54
7．(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N*)都成立，则以下满足条件的k的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________．
9．(2022年陕西模拟)用数学归纳法证明“＋＋…＋＝(n∈N*)”，推证当n＝k＋1等式也成立时，只需证明等式__________成立即可．
10．已知1＝1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，….
(1)猜想1＋3＋5＋…＋(2n－1)的值；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
B级——能力提升练
11．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开 ( )
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
12．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是 ( )
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
13．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________．
14．已知数列{an}满足an>0，前n项和为Sn，若a3＝3，且对任意的k∈N*，均有a2k2＝2a2k－1＋1，a2k＋1＝2log2a2k＋1，则a1＝________，S20＝________．
15．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋12－an2＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．
4．4* 数学归纳法
A级——基础过关练
1．(2022年上海期末)用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，n∈N*”，设f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，从n＝k到n＝k＋1时＝ ( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
【答案】B 【解析】因为f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，则f(k＋1)＝(k＋2)…2k·(2k＋1)(2k＋2)＝·f(k)＝2(2k＋1)f(k)，即＝2(2k＋1).故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(0A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
【答案】C
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y 整除”的第二步是 ( )
A．假使n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假使n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假使n＝k(∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假使n≤k(k≥1，k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确
【答案】B
4．(2022年山南一模)某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立．现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得 ( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝8时该命题不成立
D．当n＝8时该命题成立
【答案】A 【解析】由题意可知，某个命题对n＝7不成立，则该命题对n＝6也不成立，否则当n＝6时该命题成立，由已知推得n＝7也成立，与当n＝7时该命题不成立矛盾．
5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k 时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则 ( )
A．该命题对于n＞2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
【答案】B 【解析】由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又因为n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立．故选B.
6．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为 ( )
A．18 B．36 C．48 D．54
【答案】B 【解析】因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可作如下简要证明：f(n＋1)＝[2(n＋1)＋7]·3n+1＋9，所以f(n＋1)－f(n)＝(4n＋20)·3n.当n＝1时，该式的值为72，可被36整除；当n≥2时，4n＋20可被4整除，3n可被9整除，则(4n＋20)·3n可被36整除，即证．
7．(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N*)都成立，则以下满足条件的k的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD 【解析】取n＝1，则＝，＝，>不成立；取n＝2，则＝，＝，>不成立；取n＝3，则＝，＝，>成立；取n＝4，则＝，＝，>成立．下证：当n≥3时，>成立．当n＝3时，＝，＝，>成立；设当n＝k(k≥3)时，有>成立，则当n＝k＋1时，有＝，令t＝，则＝＝3－.因为t>，所以>3－＝.因为－＝>0，所以>＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立．故选CD.
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有______________．
【答案】f(2n)＞
9．(2022年陕西模拟)用数学归纳法证明“＋＋…＋＝(n∈N*)”，推证当n＝k＋1等式也成立时，只需证明等式__________成立即可．
【答案】＋＝
【解析】假设n＝k时成立，即＋＋…＋＝成立，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋，故只需证明“＋＝”成立即可．
10．已知1＝1，1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，….
(1)猜想1＋3＋5＋…＋(2n－1)的值；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
(1)解：猜想1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边12＝1，
∴左边＝右边．
②假设当n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
则当n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.
综上①②，可知1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2对于任意的正整数恒成立．
B级——能力提升练
11．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开 ( )
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
【答案】A 【解析】当n＝k时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，左边式子为(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3(k∈N*)，显然只需展开(k＋3)3.
12．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是 ( )
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
【答案】BC 【解析】由于n∈N*，当n＝1时，左边＝＜，当n＝2时，左边＝＋＝＞成立，故使不等式成立的第一个自然数n0＝2；当n＝k时，左边为＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋＝＋＋＋…＋＋，故左边增加的式子是＋－＝－＝.故选BC.
13．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________．
【答案】29 【解析】观察发现，1＋3＝4，3＋4＝7，4＋7＝11，又因为7＋11＝18，11＋18＝29，所以a7＋b7＝29.
14．已知数列{an}满足an>0，前n项和为Sn，若a3＝3，且对任意的k∈N*，均有a2k2＝2a2k－1＋1，a2k＋1＝2log2a2k＋1，则a1＝________，S20＝________．
【答案】1 2 146 【解析】因为an>0，n∈N*，由已知a3＝3＝2log2a2＋1，a2＝2，2a1＋1＝a22＝4，a1＝1，a42＝2a3＋1＝24＝16，a4＝4，a5＝2log2a4＋1＝5，a62＝2a5＋1＝26，a6＝8，归纳结论a2n－1＝2n－1，a2n＝2n.证明：(1)n＝1，由上面已知成立；假设n＝k时，假设成立，即a2k－1＝2k－1，a2k＝2k，则a2k＋1＝2log2a2k＋1＝2log22k＋1＝2k＋1，a2k＋22＝2a2k＋1＋1＝22k+2，a2k＋2＝2k+1，由数学归纳法知a2n－1＝2n－1，a2n＝2n，对一切n∈N*成立．S20＝(1＋3＋…＋19)＋(2＋22＋…＋210)＝102＋＝2 146.
15．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋12－an2＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．
(1)解：∵an＋12－an2＝2，a12＝12＝1，∴数列{an2}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an2＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
又∵an＞0，∴an＝.
(2)证明：由(1)知，只需证1＋＋…＋≤.
①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，不等式成立；
当n＝2时，左边＜右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，
即1＋＋…＋≤.
当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋＋≤＋＜＋＝＋＝＝，
∴当n＝k＋1时不等式成立．
由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．(共48张PPT)
第四章 数列
4.4* 数学归纳法
学习目标 素养要求
1.了解数学归纳法的原理 数学抽象
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 逻辑推理
自学导引
一般地，证明一个与______________有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)________________________________；
(2)(归纳递推)______________________________________________ _____________________________；
结论：由(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
正整数n
数学归纳法的定义
证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立
以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推
出“当n＝k＋1时命题也成立”
【答案】n＝n0 n＝k(k≥n0) n＝k＋1 从n0开始的所有正整数n
数学归纳法的框图表示
【预习自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． ( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. ( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，那么用数学归纳法证明时须先证n＝________成立．
【答案】2
3．用数学归纳法证1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增加的代数式是________．
【答案】4k＋3
课堂互动
题型1 用数学归纳法证明等式
【解题探究】按照数学归纳法的步骤进行证明．
用数学归纳法证明等式的注意点
用数学归纳法证明恒等式时，(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向证明目标n＝k＋1的表达式变形．
1．用数学归纳法证明：当n∈N*时，(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．
证明：(1)当n＝1时，左式＝1×22－2×32＝－14，
右式＝－1×2×7＝－14.等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即
(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，
则当n＝k＋1(k∈N*)时，
(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]
＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]
＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)(6k＋7)
＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)
＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)
＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．
说明当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)，可知等式对一切n∈N*都成立．
题型2 用数学归纳法证明不等式
【解题探究】利用数学归纳法证明，从“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
用数学归纳法证明不等式的关键
(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式的第二步，应注意灵活运用证明不等式的一般方法，如比较法、分析法、综合法．
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
用数学归纳法证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y 整除．
证明：(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．
那么当n＝k＋1时，
x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1
＝x2k＋1＋y2k＋1
题型3 证明整除问题
＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．
∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．
由(1)(2)，可知原命题成立．
【解题探究】利用数学归纳法证明时，要注意“n＝k”与“n＝k＋1”之间项的关系．
用数学归纳法证明整除问题的注意点
用数学归纳法证明整除问题时，要注意将式子拆成几部分的和、差或乘积形式，然后分析每一个部分能否被整除．
3．用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．
证明：(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，
62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)(2)，可知原命题成立．
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
解：(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，
将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4；
将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8；
将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.
题型4 归纳、猜想、证明
(2)由a2，a3，a4对{an}的通项公式作出猜想：
an＝(n－1)λn＋2n.
下面用数学归纳法证明，
当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．
假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，
ak＝(k－1)λk＋2k，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝(k－1)λk＋1＋2kλ＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.
由此可知，当n＝k＋1时，
ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．
综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都成立．
【解题探究】根据条件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式，然后用数学归纳法证明．
“归纳—猜想—证明”的一般环节
“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
易错警示 缺少归纳递推致误
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．
【警示】利用数学归纳法解决数学问题时，一定要利用n＝k与n＝k＋1之间的关系，不能直接使用结论．
素养训练
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步获得递推的基础，但这不能说明结论的普遍性，第二步获得递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础，只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．因此，完成了一、二步以后，还要做出一个结论．
2．用数学归纳法证明不等式的命题，远比证明恒等式困难得多．证明时，一般先假设使不等式的一边满足“n＝k＋1”的形式，另一边要结合不等式的性质，配合不等式的其他证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法等)，使之符合“n＝k＋1”时的形式．总之，用好假设，抓住关键，理清思路，变换出符合形式的不等式．
A．k2＋(k＋1)2 B．k2＋(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2 D．2k＋1
【答案】A
【解析】等式左边需增加的代数式是[12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12]－(12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12)＝k2＋(k＋1)2.故选A.
【答案】D
3．(题型1，2)(多选)下列说法，正确的是 ( )
A．用数学归纳法证明问题时，第一步不一定是验证当n＝1时结论成立
B．所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明
C．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项
D．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23
【答案】AD
【解析】数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立，故A正确；数学归纳法证明只是证明的一种方法，故B错误，项数都增加了多少项与等式和不等式的表达式有关，故C错误；验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23，故D正确．故选AD．
4．(题型3)(2021年连云港期中)用数学归纳法证明“当n∈N*时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除”时，第二步“假设当n＝k(k∈N*)时，f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除，证明当n＝k＋1时f(k＋1)也能被8整除”的过程中，得到f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝f(k)＋A，则A的表达式为________．
【答案】A＝4(5k＋3k－1)
【解析】“假设当n＝k(k∈N*)时，f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除，证明当n＝k＋1时f(k＋1)也能被8整除”的过程中，得到f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝f(k)＋A，得A＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1－5k－2×3k－1－1＝4(5k＋3k－1)．
5．(题型4)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－an.
(1)计算a1，a2，a3，a4，并猜{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解：(1)根据题意，Sn＝2n－an.
当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，