(共51张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第3课时 导数在解决实际问题中的应用
学习目标 素养要求
1.通过解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在实际问题中的作用 数学建模
2.会用导数解决面积(体积)最大问题 数学建模
自学导引
生活中经常遇到求面积(体积)最大、利润最大、用料最省等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道__________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________可以解决一些生活中的__________．
优化问题
生活中的优化问题
导数
导数
优化问题
【答案】C
【答案】A
解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成______________，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由__________和__________的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有__________的极值，则它就是函数的最值．
函数关系
优化问题中最值的确定
极值
端点
唯一
【预习自测】
1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为 ( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
【答案】B
【解析】用y表示银行的收益，根据题意可知存款量是kx2，银行应付的利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0，0.048 6)．所以银行的收益y＝0.048 6kx2－kx3(0
则y′＝0.097 2kx－3kx2，令y′＝0，解得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4∴当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率定为0.032 4时，银行可获得最大利益．
【答案】B
数学建模
解决优化问题的基本思路
【预习自测】
1．从长32 cm，宽20 cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为 ( )
A．4 cm B．2 cm
C．1 cm D．3 cm
【答案】A
【答案】40
课堂互动
有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
题型1 几何中的最值问题
【解题探究】求出无盖容器的体积(容积)表达式，用导数知识求解．
利用导数求实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数表达式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论．
【答案】A
现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
题型2 用料、费用最少问题
【解题探究】根据题目的条件，写出相应关系式，然后运用导数求最值．
解决用料、费用最少问题时，需要正确表达出费用y关于自变量x的函数关系，然后根据导数来求得极值点，比较极值与端点处取值的大小，从而判定最小值．在实际问题中还要注意自变量的取值范围．
2．(2022年南京模拟)某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是____________．
【答案】16 m，8 m
题型3 利润最大问题
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本).
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【解题探究】建立目标函数，然后利用导数等知识求最值．
关于利润问题常用的两个等量关系：
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
【答案】D
已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8易错警示 忽略实际问题中的定义域致误
【错解】设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，
当v＝12时，y1＝720，
所以720＝k·122，得k＝5.
【错因】本题常出错的地方为对题意理解不正确，找不到正确的解题思路，尤其是实际问题中的定义域，往往容易疏忽或遗忘．本题中v＝16不一定满足8＜v≤v0.
【警示】在解决实际问题的最值问题时，一定要注意模型中的自变量取值范围符合实际情况，切勿忘记对端点值与极值大小的比较．
素养训练
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
第一步：建立实际问题的数学模型；
第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点；
第三步：比较函数在区间端点和极值点处的取值大小，确定其最大值或最小值；
第四步：将数学模型的答案还原为实际问题的答案．
2．解决生活中的优化问题时应当注意的问题
(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义．
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．
1．(题型1)(2022年云南一模)某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3 cm，高为3 cm，则该正四棱柱体积(单位：cm3)的最大值为 ( )
【答案】B
2．(题型3)某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产 ( )
A．9千台 B．8千台
C．7千台 D．6千台
【答案】D
【解析】由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6或x＝0(舍去).又因为x＞0，所以当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0.所以函数在(0，6)上单调递增，在(6，＋∞)上单调递减，则当x＝6(千台)时，y有最大值．
【答案】C
【答案】25．3.2 函数的极值与最大(小)值
第3课时 导数在解决实际问题中的应用
A级——基础过关练
1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为 ( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(140－x)件，要使利润最大每件定价为 ( )
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 ( )
A．V B． C．2 D．
4．(2022年四川期中)某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且C(x)＝1 200＋x3.已知产品单价(单位：元)的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y(单位：元)最大，产量应定为 ( )
A．23万件 B．25万件
C．50万件 D．75万件
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
6．现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 ( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
7．(多选)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是y＝x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L(x)，则下列说法正确的是 ( )
A．L(x)＝x2＋＋100(x＞0)
B．L(x)＝x2＋＋100(x＞0)
C．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时
D．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时
8．(2023年广州期末)用总长11 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多1，则最大容积为______m3，此时容器的高为________m.
9．(2023年河南期末)剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH的面积最大，则菱形的边长EF＝________cm.
10．已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C(x)＝25 000＋200x＋x2.
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
B级——能力提升练
11．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为 ( )
A． m B．1 m C． m D．2 m
12．(多选)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V(x)，则下列结论正确的是 ( )
A．V(x)＝(a－2x)2x，x∈
B．V′(x)＝12x2－8ax＋a2
C．V(x)在区间上单调递增
D．V(x)在x＝时取得最大值
13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．
14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12 cm，则当圆柱的底面半径r＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．
15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝
(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i－1(2)求一年内该水库的最大蓄水量(e≈2.7).
5．3.2 函数的极值与最大(小)值
第3课时 导数在解决实际问题中的应用
A级——基础过关练
1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为 ( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
【答案】B
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(140－x)件，要使利润最大每件定价为 ( )
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
【答案】B
3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 ( )
A．V B． C．2 D．
【答案】D 【解析】设底面边长为x，则高为h＝，S表＝3×·x＋2×x2＝＋x2，所以S′表＝－＋x，令S′表＝0，得x＝，经检验得，当x＝时，S表取得最小值．
4．(2022年四川期中)某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且C(x)＝1 200＋x3.已知产品单价(单位：元)的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y(单位：元)最大，产量应定为 ( )
A．23万件 B．25万件
C．50万件 D．75万件
【答案】B 【解析】设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2＝(其中k为非零常数).又因为生产100万件这样的产品单价为50元，所以502＝，故k＝250 000，所以m＝.记生产x万件产品时，总利润为f(x)，所以f(x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x3(x>0)，则f′(x)＝－x2，令f′(x)＝0，得x＝25，且f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，且由f′(x)>0，得025，故函数f(x)在(0，25)上单调递增，在(25，＋∞)上单调递减，因此当x＝25时，f(x)取最大值，即产量定为25万件时，总利润最大．故选B.
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出) ( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【答案】D 【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．L(30)＝(8 300－170×30－302)×(30－20)＝23 000.故选D.
6．现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 ( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
【答案】C 【解析】设底边长为x(x＞0)，由题意可得，高h＝，用料y＝x2＋4xh＝x2＋＝x2＋.故y′＝2x－，令y′＝0，得x＝8.当在x＝8附近左侧时，y′<0，在x＝8附近右侧时，y′>0，故当x＝8时，y取极小值也是最小值．故它的底边长为8 m，高为4 m时最省材料．故选C.
7．(多选)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是y＝x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L(x)，则下列说法正确的是 ( )
A．L(x)＝x2＋＋100(x＞0)
B．L(x)＝x2＋＋100(x＞0)
C．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时
D．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时
【答案】BD 【解析】由题意可得，航行的总费用L(x)＝＝x2＋＋100(x＞0)，故A错误，B正确；L′(x)＝2x－，令L′(x)＝0，得x＝30，当0＜x＜30时，L′(x)＜0，L(x)单调递减，当x＞30时，L′(x)＞0，L(x)单调递增，所以当x＝30时，L(x)取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C错误，D正确．故选BD.
8．(2023年广州期末)用总长11 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多1，则最大容积为______m3，此时容器的高为________m.
【答案】 【解析】由题意，设容器底面的两边分别为x，x＋1，则x>0，容器的高为＝－2x.记容器的体积为V(x)，则V(x)＝x(x＋1)＝－2x3－x2＋x.∴V′(x)＝－6x2－x＋＝－(2x－1)(12x＋7).当V′(x)＝0时，解得x＝.当V′(x)<0，即0，即09．(2023年河南期末)剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH的面积最大，则菱形的边长EF＝________cm.
【答案】 【解析】设圆心为O，由圆的性质可知，A，E，O，G，B共线，C，F，O，H，D共线，由菱形性质可知，EG⊥FH，不妨令0F＝m，OE＝n，且半径为10，则EF＝＝CF＝10－m，即2m＝10－n2，00 010．已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C(x)＝25 000＋200x＋x2.
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：(1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋(x＞0)，
所以y′＝＋.
令y′＝0，得x＝1 000(x＝－1 000舍去).
当在x＝1 000附近左侧时，y′<0，
在x＝1 000附近右侧时y′>0，
故当x＝1 000时，y取极小值，也是最小值，
所以要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数为
S＝500x－＝300x－25 000－.
令S′＝300－＝0，得x＝6 000.
当在x＝6 000附近左侧时，S′>0，
在x＝6 000附近右侧时S′<0，
故当x＝6 000时，S取极大值，也是最大值，
所以要使利润最大，应生产6 000件产品．
B级——能力提升练
11．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为 ( )
A． m B．1 m C． m D．2 m
【答案】D 【解析】设OO1为x m(112．(多选)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V(x)，则下列结论正确的是 ( )
A．V(x)＝(a－2x)2x，x∈
B．V′(x)＝12x2－8ax＋a2
C．V(x)在区间上单调递增
D．V(x)在x＝时取得最大值
【答案】ABD 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，则V(x)＝(a－2x)2x，选项A正确；由V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，得V′(x)＝12x2－8ax＋a2，选项B正确；令V′(x)＞0，解得0＜x＜，令V′(x)＜0，解得＜x＜，故V(x)在上单调递增，在上单调递减，故V(x)在x＝处取得最大值，选项C错误，选项D正确．故选ABD.
13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．
【答案】175 【解析】设订购x件商品，则单件商品的收益为P(x)＝故公司的收益R(x)＝当0≤x≤150时，x＝150，R(x)取得最大值30 000；当x＞150时，x＝175，R(x)取得最大值30 625.故订购175件的合同会使公司的收益最大．
14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12 cm，则当圆柱的底面半径r＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．
【答案】 cm cm3 【解析】设圆柱的底面半径为r cm，圆柱的高为h cm，则由题意可得πr＋2h＋2r＝12，∴h＝＝6－r，由h＞0，得r＜，故容器的容积V＝πr2h＝πr2＝6πr2－·r3，其中0＜r＜，V′(r)＝12πr－·r2，令V′(r)＝0，得r＝0(舍去)或r＝，当r∈时，V′(r)＞0，函数单调递增，当r∈时，V′(r)＜0，函数单调递减，∴当r＝时，V有最大值为 cm3.
15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝
(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i－1(2)求一年内该水库的最大蓄水量(e≈2.7).
解：(1)根据t的范围分段求解．
①当0化简得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10.
又∵0②当10化简得(t－10)(3t－41)<0，解得10又∵10综上，0∴枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月．
(2)由(1)知V(t)的最大值只能在(4，10)内达到．
V′(t)＝et＝－et(t＋2)(t－8).
令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).
当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表，
t (4，8) 8 (8，10)
V′(t) ＋ 0 －
V(t) ?↗ 极大值 ?↘
∴V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50≈108.32(亿立方米).
∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．(共51张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 素养要求
1.理解函数极值与最值的关系 逻辑推理
2.会利用导数求函数的最值 数学运算
自学导引
(1)如果x0是某个区间上函数y＝f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y＝f(x)在此区间上的所有函数值．
如图，函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值是______，最大值是________．
f(x3)
最大(小)值
f(a)
(2)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有________________．函数的最值必在极值点或___________取得．
最大值和最小值
区间端点处
【预习自测】
1．函数的极值与最值的区别与联系？
解：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个；
(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，指出函数的极值和最值．
解：显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)，分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)，在x＝x4处取得．
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的____________；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中__________的一个是最大值，__________的一个是最小值．
极值
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
端点处的函数值f(a)，f(b)
最大
最小
【答案】A
2．(2021年哈尔滨期末)函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m＝ ( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
【答案】C
【解析】f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)>0，解得x>2或x<0；令f′(x)<0，解得03．(2022年南通期末)函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为 ( )
A．e B．1
C．－e D．－1
【答案】D
课堂互动
题型1 求函数的最值
(2)f′(x)＝－4x3＋4x，
由f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x －3 (－3，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 －
f(x) －60 ? 极大 值4 ? 极小 值3 ? 极大 值4 ? －5
所以当x＝－3时，f(x)有最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)有最大值4.
【解题探究】先求函数在(a，b)上的极值，然后与端点处函数值进行比较．
极值与最值是不一样的概念，在求闭区间上的最值时，切勿忘记端点的函数值．
1．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
(1)f(x)＝x－x3，x∈[0，2]；
(2)f(x)＝x3＋x2－x，x∈[－2，1].
题型2 利用最值求参数
解：f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝a，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表如下．
【解题探究】含有参数的函数最值求法与一般函数求法相同．
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
题型3 与最值有关的综合问题
∴f(x)∈[0，2e2]．
又∵f(x)>m恒成立，∴f(x)min＞m，
∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
【解题探究】(1)解f′(x)＞0，f′(x)＜0即可；(2)首先求出f(x)在区间[－2，2]内的值域，再令f(x)min＞m即可．
在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．
3．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1，2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．
题型4 用导数证明不等式
证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；
(3)若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上单调递增，只需保证F(a)＞0；
(4)若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上单调递减，只需保证F(b)＞0.
求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
【错解】因为f(－2)＝57，f(2)＝－23，所以最大值为57，最小值为－23.
【错因】一定注意不要只求区间端点处的函数值，这是较易出现错误的地方．
易错警示 求最值易错
【警示】最值是指函数在自变量指定的取值范围内或隐含定义域内的最大值和最小值，要求出极值和区间端点处的函数值再比较．
素养训练
1．函数的最值是一个整体性概念，最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值)．函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能有多个，也可能没有．
2．极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能是最值，最值只要不在端点处则一定是极值．
3．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好单调，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上单调递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上单调递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．
【答案】A
【答案】C
【答案】D
4．(题型2，4)(2021年北京期末)已知函数f(x)＝ex＋a－ax(a>0)的定义域为(1，＋∞)，若f(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为__________．
【答案】(0，e2)5．3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
A级——基础过关练
1．函数y＝的最大值为 ( )
A．e-1 B．e C．e2 D．
2．(2023年陕西期末)函数f(x)＝ln x＋＋3的最小值是 ( )
A． B．4 C． D．3
3．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为 ( )
A．0 B． C． D．
4．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为 ( )
A． B．1
C．0 D．不存在
5．已知函数f(x)＝x2－ln x，则函数f(x)在[1，2]上的最小值为 ( )
A．1 B．
C．＋ln 2 D．＋ln 2
6．(2022年广西月考)已知函数f(x)＝ln x＋ax存在最大值0，则a的值为 ( )
A．－2 B．－ C．1 D．e
7．(2022年重庆期末)已知函数f(x)＝－x3＋x2在[－1，m]上的最小值为0，则m的取值范围是 ( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
8．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数且f′(x)>g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的最小值为________.
9．函数f(x)＝，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________.
10．已知函数f(x)＝mx3＋nx，y＝f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为.
(1)求m，n的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值和最小值．
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年长沙月考)已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．若f(x)的最小值为－1，则a＝2
B．当a≥0时，f(x)≥0恒成立
C．当a≤0时，存在x0∈R且x0≠0，使得f(x0)＝f(－x0)
D．存在a∈R，使得对任意x∈R，f(x)＞1－a恒成立
12．已知函数f(x)＝x4cos x＋mx2＋2x(m∈R)，若导函数f′(x)在区间[－4，4]上有最大值16，则导函数f′(x)在区间[－4，4]上的最小值为 ( )
A．－16 B．－12 C．12 D．16
13．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1，且对任意x∈(0，1]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
14．(2022年漳州一模)已知函数y＝|x2－2x－1|的图象与直线y＝m(m∈R)有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a，b，c，d(a15．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)若对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求证：e≥.
5．3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
A级——基础过关练
1．函数y＝的最大值为 ( )
A．e-1 B．e C．e2 D．
【答案】A
2．(2023年陕西期末)函数f(x)＝ln x＋＋3的最小值是 ( )
A． B．4 C． D．3
【答案】C 【解析】由题意可得f′(x)＝－＝，令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得03．函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为 ( )
A．0 B． C． D．
【答案】B 【解析】f′(x)＝1－2sin x，令f′(x)>0，解得0≤x<；令f′(x)<0，解得4．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为 ( )
A． B．1
C．0 D．不存在
【答案】A 【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得05．已知函数f(x)＝x2－ln x，则函数f(x)在[1，2]上的最小值为 ( )
A．1 B．
C．＋ln 2 D．＋ln 2
【答案】A 【解析】f′(x)＝2x－＝，当x∈[1，2]时，f′(x)＝>0，则f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝1.故选A.
6．(2022年广西月考)已知函数f(x)＝ln x＋ax存在最大值0，则a的值为 ( )
A．－2 B．－ C．1 D．e
【答案】B 【解析】因为f′(x)＝＋a，x>0，所以当a≥0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；当a<0时，令f′(x)＝0，得出x＝－，所以当x∈时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈时，f′(x)<0，函数单调递减，所以f(x)max＝f＝ln －1＝0，解得a＝－.故选B.
7．(2022年重庆期末)已知函数f(x)＝－x3＋x2在[－1，m]上的最小值为0，则m的取值范围是 ( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】B 【解析】因为函数f(x)＝－x3＋x2，所以f′(x)＝－3x2＋2x＝－3x，所以令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.令f′(x)＞0，得0＜x＜，令f′(x)＜0，得x＜0或x＞，所以f(x)在上单调递增，在(－∞，0)和上单调递减，所以f(x)的极小值为f(0)＝0，极大值为f＝.又因为函数f(x)＝－x3＋x2在[－1，m]上的最小值为0，而令f(x)＝0，得x＝0或x＝1.由三次函数的图象可得0≤m≤1.故选B.
8．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数且f′(x)>g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的最小值为________.
【答案】f(a)－g(a) 【解析】F′(x)＝f′(x)－g′(x)＞0，所以函数F(x)在定义域内单调递增，所以F(x)min＝F(a)＝f(a)－g(a).
9．函数f(x)＝，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________.
【答案】2 －2 【解析】f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得x＝±1.当－2≤x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当1＜x≤2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又因为f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，所以函数的最大值是2，最小值是－2.
10．已知函数f(x)＝mx3＋nx，y＝f(x)的图象以点P为切点的切线的倾斜角为.
(1)求m，n的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值和最小值．
解：(1)易得f′(x)＝3mx2＋n，
由题意有解得m＝，n＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，f′(x)＝2x2－1.
令f′(x)>0，得x<－或x>；
令f′(x)<0，得－所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
计算得f(－2)＝－，f＝，f＝－，f(1)＝－，
所以f(x)的最大值为，最小值为－.
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年长沙月考)已知函数f(x)＝则下列说法正确的是( )
A．若f(x)的最小值为－1，则a＝2
B．当a≥0时，f(x)≥0恒成立
C．当a≤0时，存在x0∈R且x0≠0，使得f(x0)＝f(－x0)
D．存在a∈R，使得对任意x∈R，f(x)＞1－a恒成立
【答案】AC 【解析】当x≥0时，y＝ln (x＋1)≥0，因为f(x) 的最小值为－1，所以函数y＝x2＋ax在(－∞，0)上取最小值－1，则解得a＝2，故A正确；当a≥0时，令x2＋ax＜0，解得－a＜x＜0，故当x∈(－a，0)时，f(x)＜0，故B错误；令x0＞0，要满足f(x0)＝f(－x0)，即只需函数f(－x)的图象与函数f(x)的图象有交点即可，即将问题转化为将左侧y＝x2＋ax的图象关于y轴对称，与y＝ln (x＋1)是否有交点，如图，显然当开口特别大时，与y＝ln (x＋1)的图象存在交点，故C正确；当a≤0时，1－a≥1，显然f(x)＞1－a不恒成立，当a＞0时，f(x)min＝－，因为－＋a－1＝－≤0，所以－≤1－a，即f(x)min≤1－a恒成立，则f(x)＞1－a不恒成立，故D错误．故选AC.
12．已知函数f(x)＝x4cos x＋mx2＋2x(m∈R)，若导函数f′(x)在区间[－4，4]上有最大值16，则导函数f′(x)在区间[－4，4]上的最小值为 ( )
A．－16 B．－12 C．12 D．16
【答案】B 【解析】∵f(x)＝x4cos x＋mx2＋2x，∴f′(x)＝4x3cos x－x4sin x＋2mx＋2，令g(x)＝4x3cos x－x4sin x＋2mx.∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．∵f′(x)在区间[－4，4]上有最大值16，∴g(x)在区间[－4，4]上有最大值14，∴g(x)在区间[－4，4]上的最小值为－14，∴f′(x)在区间[－4，4]上有最小值－12.
13．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1，且对任意x∈(0，1]，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】[4，＋∞) 【解析】当x∈(0，1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥.设g(x)＝，x∈(0，1]，则g′(x)＝＝－.令g′(x)＝0，得x＝.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表，
x
g′(x) ＋ 0 －
g(x) ?↗ 极大值4 ?↘
故g(x)的最大值为4，实数a的取值范围是[4，＋∞).
14．(2022年漳州一模)已知函数y＝|x2－2x－1|的图象与直线y＝m(m∈R)有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a，b，c，d(a【答案】4 4 【解析】y＝|x2－2x－1|的图象如图所示．
由图知0a d－a>0，∴d－a＝＝＝2，c>b c－b>0，∴c－b＝＝＝2，∴2(d－a)＋(c－b)＝4＋2，令f(m)＝4＋2，02＋m，解得00，f(m)单调递增，令8－4m＜2＋m，解得15．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)若对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求证：e≥.
(1)解：由f(x)≤0，得a≥，设g(x)＝，则g′(x)＝，当g′(x)＞0，得0＜x＜e；当g′(x)＜0，得x＞e.
故g(x)在(0，e)上是单调递增的，在(e，＋∞)上是单调递减的，
所以g(x)max＝g(e)＝，故a≥.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝ln x－≤0，故f≤0，即－≤0，e-1≥，即e≥.(共53张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习目标 素养要求
1.了解函数的极值、极值点的概念 数学抽象
2.理解函数在某点取得极值的条件 逻辑推理
3.会利用导数求函数的极值 数学运算
自学导引
若函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________．
f′(x)>0
极值与极值点
f′(x)<0
我们把a叫做函数y＝f(x)的__________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________；b叫做函数y＝f(x)的________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．极小值点、极大值点统称为________，极大值和极小值统称为________．
极值反映了函数在___________的大小情况，刻画的是函数的_____性质．
极小值点
极小值
极大值点
极大值
极值点
极值
某一点附近
局部
【预习自测】
1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法错误的是 ( )
A．－2是函数y＝f(x)的极小值点
B．1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零
D．y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
【答案】B
【解析】f′(1)＝0，但在x＝1附近的左、右两侧的导函数值同号，则1不是f(x)的极值点．
2．(2021年成都月考)如图是某函数的导函数的图象，则此函数的极小值点是 ( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
【答案】D
【解析】根据f(x)图象可知x＝x4的左侧导数值为负，右侧的导数值为正，故x＝x4是函数的极小值点．
3．(2022年武汉模拟)下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数是 ( )
①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
【答案】B
【解析】①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点；②y′＝2x，当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减且y′|x＝0＝0，②符合；③结合该函数图象可知在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；④y＝2x在R上单调递增，无极值点．
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧________，那么f(x0)是__________；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧________，那么f(x0)是__________；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)___________．
f′(x)<0
求函数f(x)的极值的方法
极大值
f′(x)>0
极小值
不是极值
【答案】B
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则实数a的值为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，∴a＝5.
3．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题意可得y′＝3x2－3，令y′＝3x2－3>0，则x>1或者x<－1，所以函数y＝x3－3x在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝－1时，函数有极大值m＝2，当x＝1时，函数有极小值n＝－2，所以m＋n＝0.
课堂互动
判断下列函数是否有极值，如果有，请求出其极值；若没有，请说明理由．
题型1 求函数的极值
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值－3 ? 极大值－1 ?
∴由表中数据可知，当x＝－1时，函数有极小值f(－1)＝－3，
当x＝1时，函数有极大值f(1)＝－1.
【解题探究】按照求极值的基本方法求出定义域内所有可能的极值点，再按照极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
利用导数研究函数的极值时，一般应首先明确函数的定义域，然后求出函数的导数，得到导数为零的点．这些点将整个定义域分为若干个区间，最后将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中．观察导数为零的点的左右两侧导数值是否异号，若异号，则是极值；否则，不是极值．这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值．
(2023年四川月考)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝－2处取得极值－14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【解题探究】利用“可导函数f(x)在x＝x0处取得极值，则f′(x0)＝0”求解．
题型2 函数极值的应用
(2)由(1)知，函数f(x)＝－x3＋12x＋2，
f′(x)＝－3x2＋12，
所以f′(1)＝9.
又因为f(1)＝－1＋12＋2＝13，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－13＝9(x－1)，
即9x－y＋4＝0.
根据函数极值的定义可知，如果一个函数是可导函数，那么在极值点处的导数必然为零，即对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件．当已知函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一
定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解．特别地，利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，当且仅当x＝－1或x＝1时取得极值且极大值比极小值大4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的极大值和极小值．
解：(1)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的定义域为R，f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.
∵当x＝±1时有极值，∴5＋3a＋b＝0.
∵f(1)＝a＋b＋2，f(－1)＝－a－b，极大值比极小值大4，
∴(a＋b＋2)－(－a－b)＝4或(a＋b＋2)－(－a－b)＝－4，即a＋b＝1或a＋b＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
极大值为f(－1)＝3，极小值为f(1)＝－1，满足题意．
∴a＝－1，b＝－2.
(2)由(1)得极大值为f(－1)＝3，极小值为f(1)＝－1.
题型3 利用极值研究方程根的问题
【解题探究】(1)对 x∈R，f′(x)≥m f′(x)－m≥0恒成立，求解即可得出m的最大值；(2)由分析可知f(x)既有极大值，又有极小值，要求f(x)＝0有且仅有一个实数根，则f(x)极大＜0或f(x)极小＞0，即可求解a的取值范围．
对于该题中的恒成立问题，一方面可以构造函数，通过判别式确定m的最大值；另一方面可以通过求f′(x)的最小值来确定m的最大值．方程有零点可以通过导数将函数的大致图象画出来，根据图象求得参数的取值范围．
3．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
若f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，求a＋b的值．
易错警示 导数为零时不一定有极值
【错因】可导函数在某一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得两组解进行检验，从而出现了错误．
故当x＝1时，f(x)有极小值．
当a＝－3，b＝3时，
f(x)＝x3－3x2＋3x＋9，
f′(x)＝3(x－1)2≥0，即x＝1为非极值点．
所以a＝－3，b＝3舍去，故a＋b＝－7.
【警示】可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3，在x＝0处导数f′(x)＝0，但x＝0不是它的极值点．即可导函数在点x0处的导数f′(x0)＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件．
素养训练
1．极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．
2．函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
3．极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
4．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
5．若函数在极值点处存在导数，则该点的导数值为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点．也就是说，若f′(c)存在，则“f′(c)＝0”是“f(x)在x＝c处取到极值”的必要条件，但不是充分条件．
6．若f(x)在区间(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某区间上单调的函数没有极值．
7．如果函数f(x)在[a，b]上有极值，那么它的极值点的分布是有规律的．相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]上的极大值点、极小值点是交替出现的．
【答案】B
【答案】B
3．(题型2)(2022年北京模拟)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝－x3＋3x的极大值为b，极小值为c，则ad＝________．
【答案】－4
【解析】由曲线y＝－x3＋3x可得y′＝－3x2＋3＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0，可得函数的极值点为－1，1.当x∈(－∞，－1)时，y′<0，函数单调递减；当x∈(－1，1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝－1是函数的极小值点，x＝1是函数的极大值点，又∵b，c分别是函数的极大值和极小值，∴c＝－(－1)3＋3×(－1)＝－2，b＝－13＋3×1＝2，∴bc＝－4.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝－4.
4．(题型3)已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个．
5．(题型1，2)已知函数f(x)＝x3＋x2－8x＋7，求函数的单调区间和极值点．
列出表格可得．第1课时 函数的极值
A级——基础过关练
1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是 ( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值也有极小值
2．(2022年陕西期末)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A．－1是f(x)的极小值点
B．曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零
C．f(x)在区间(－∞，3)上单调递减
D．－3是f(x)的极小值点
3．(2022年钦州期末)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是 ( )
A．在区间(－∞，0)上，f(x)单调递增
B．在区间(2，4)上，f(x)单调递减
C．2为f(x)的极大值点
D．f(x)有2个极小值
4．已知函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)，g′(x)图象分别如图所示，则关于函数y＝g(x)－f(x)的判断正确的是 ( )
A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
5．(2022年天津期末)函数f(x)＝x3－ax2＋bx在x＝1处有极值为4，则a－b的值为 ( )
A．3 B．－3 C．6 D．－6
6．已知x＝2是函数f(x)＝ax3－3x2＋a的极小值点，则f(x)的极大值为 ( )
A．－3 B．0 C．1 D．2
7．(2023年山西月考)若函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a－b＝ ( )
A．6 B．－15
C．－6或15 D．6或－15
8．设函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋10在x1，x2处取得极值，则x12＋x22＝________．
9．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m＝________．
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和f(－1)是函数f(x) 的极大值还是极小值．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x12＋x22＝ ( )
A． B． C． D．
12．(多选)(2022年舟山期末)已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是 ( )
A．函数y＝f(x)存在极大值
B．f(e-2)＜f(1)＜f(ln π)
C．函数y＝f(x)存在极小值
D．对于任意实数k，方程f(x)＝kx最多有4个实数解
13．函数y＝xex的图象在其极值点处的切线方程为________，极值为________．
14．(2022年大庆一模)已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________．
15．(2022年重庆质检)设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0).
(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．
第1课时 函数的极值
A级——基础过关练
1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是 ( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值也有极小值
【答案】D 【解析】令y＝f(x)，f′(x)＝－3x2－2x，令f′(x)>0，可得－0或x<－.所以当x＝0时取极大值，当x＝－时取极小值．
2．(2022年陕西期末)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A．－1是f(x)的极小值点
B．曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零
C．f(x)在区间(－∞，3)上单调递减
D．－3是f(x)的极小值点
【答案】B 【解析】结合导函数图象可知当x<－3或x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－33．(2022年钦州期末)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是 ( )
A．在区间(－∞，0)上，f(x)单调递增
B．在区间(2，4)上，f(x)单调递减
C．2为f(x)的极大值点
D．f(x)有2个极小值
【答案】D 【解析】结合导函数的图象考查所给的选项，当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，选项A错误；当2＜x＜4时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，选项B错误；f(x)在区间(0，4)上单调递增，所以2不是f(x)的极值点，选项C错误；f(0)和f(6)为f(x)的极小值，选项D正确．故选D.
4．已知函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)，g′(x)图象分别如图所示，则关于函数y＝g(x)－f(x)的判断正确的是 ( )
A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
【答案】D 【解析】如图，结合函数图象可知，当x0，函数单调递增；当ag′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)<0，函数单调递减；当00，函数单调递增；当x>b时，f′(x)>g′(x)，此时y′＝g′(x)－f′(x)<0，函数单调递减．故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．
5．(2022年天津期末)函数f(x)＝x3－ax2＋bx在x＝1处有极值为4，则a－b的值为 ( )
A．3 B．－3 C．6 D．－6
【答案】B 【解析】由f(x)＝x3－ax2＋bx，得f′(x)＝3x2－2ax＋b，由于f(x)在x＝1处有极值4，则f′(1)＝0，f(1)＝4，故解得a＝6，b＝9，故a－b＝－3.故选B.
6．已知x＝2是函数f(x)＝ax3－3x2＋a的极小值点，则f(x)的极大值为 ( )
A．－3 B．0 C．1 D．2
【答案】C 【解析】因为f(x)＝ax3－3x2＋a，则f′(x)＝3ax2－6x，由题意可得f′(2)＝12a－12＝0，解得a＝1，∴f(x)＝x3－3x2＋1，f′(x)＝3x(x－2)，列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f(x) ＋ 0 － 0 ＋
f′(x) 增 极大值 减 极小值 增
所以函数f(x)的极大值为f(0)＝1.故选C.
7．(2023年山西月考)若函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a－b＝ ( )
A．6 B．－15
C．－6或15 D．6或－15
【答案】B 【解析】∵f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，∴f′(x)＝3x2－2ax－b.又∵当x＝1时，f(x)有极值10，∴解得或当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在x＝1处无极值，不符合题意．经检验，当a＝－4，b＝11时，满足题意，所以a－b＝－15.故选B.
8．设函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋10在x1，x2处取得极值，则x12＋x22＝________．
【答案】 【解析】f′(x)＝3x2＋4x＋1，由题意得x1，x2是f′(x)＝0的两根，根据根与系数的关系，有x1＋x2＝－，x1x2＝，则x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.
9．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m＝________．
【答案】－19 【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4).由y′＝0，得x＝0或x＝4.当x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；当x∈(0，4)时，y′＞0.∴当x＝4时取到极大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和f(－1)是函数f(x) 的极大值还是极小值．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
根据题意f′(1)＝f′(－1)＝0，
即解得
所以f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1).
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
故函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增；
当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在(－1，1)上单调递减．
所以f(－1)是极大值，f(1)是极小值．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x12＋x22＝ ( )
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】根据图象，知解得b＝－3，c＝2，∴f(x)＝x3－3x2＋2x，f′(x)＝3x2－6x＋2.显然x1，x2是f′(x)＝0的两根，根据根与系数的关系，有x1＋x2＝2，x1·x2＝，则x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.
12．(多选)(2022年舟山期末)已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是 ( )
A．函数y＝f(x)存在极大值
B．f(e-2)＜f(1)＜f(ln π)
C．函数y＝f(x)存在极小值
D．对于任意实数k，方程f(x)＝kx最多有4个实数解
【答案】BCD 【解析】f′(x)＝ex·x3＋3x2ex＝x2ex(x＋3)，当x＞－3时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x＜－3时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，函数在x＝－3处取得极小值，没有极大值，A错误，C正确；当x＞－3时，函数f(x) 单调递增，且－3＜e-2＜1＜ln π，所以f(e-2)＜f(1)＜f(ln π)，B正确；由f(x)＝kx得ex·x3＝kx有一零点x＝0，令h(x)＝ex·x2，则h′(x)＝exx(x＋2)，当x＞0或x＜－2时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，当－2＜x＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减，又因为h(－2)＝，h(0)＝0，当0＜k＜时，h(x)与y＝k的图象有3个交点，如图，此时f(x)＝kx有4个实数解，D满足题意．故选BCD.
13．函数y＝xex的图象在其极值点处的切线方程为________，极值为________．
【答案】y＝－ － 【解析】y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，由y′＝0，得x＝－1.当x＝－1时，y取得极值－，故所求切线方程为y＝－.
14．(2022年大庆一模)已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________．
【答案】2ln 2 【解析】函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝－，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)－，∴f′(e)＝，∴f(x)＝2ln x－，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝－＝.令f′(x)＝0，得x＝2e.当x∈(0，2e)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴当x＝2e时，函数f(x)取极大值，极大值为f(2e)＝2ln 2.
15．(2022年重庆质检)设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0).
(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．
解：由题意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)当函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＞0，解得x＜或x＞1；
令f′(x)<0，解得所以函数在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．极小值为f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.
综上，a的取值范围为.(共59张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
学习目标 素养要求
1.理解导数与函数单调性的关系 逻辑推理
2.会利用导数判断或证明函数单调性 数学运算
3.会利用导数求函数单调区间 逻辑推理、数学运算
4.理解函数图象与其导函数图象之间的关系 直观想象
5.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法 数学运算
自学导引
(1)在某个区间(a，b)上，如果___________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；
(2)在某个区间(a，b)上，如果____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上___________；
(3)在某个区间(a，b)上，如果恒有____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．
f′(x)>0
函数的单调性与其导函数的关系
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
【预习自测】
1．(2022年常州期末)函数f(x)＝xex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
【答案】D
【解析】由函数f(x)＝xex，得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，因为ex＞0，由f′(x)＝ex(x＋1)＞0，得x＞－1.所以函数f(x)＝xex的单调递增区间是(－1，＋∞)．故选D．
2．(2021年内江期末)如图所示为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调递减区间是 ( )
A．(－∞，－1)
B．(－2，0)
C．(－2，0)，(2，＋∞)
D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
【答案】C
【解析】当f′(x)<0时，f(x)单调递减，从题图可知，当x∈(－2，0)∪ (2，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－2，0)和(2，＋∞)．
3．(2021年玉林期末)已知函数f(x)＝x2－4x，在下列函数中，与f(x)在(0，＋∞)上的单调区间完全相同的是 ( )
A．g(x)＝x3－2 B．g(x)＝(x－2)ex
C．g(x)＝(3－x)ex D．g(x)＝x－2ln x
【答案】D
一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)上：
函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 ________ 比较“________”(向上或向下)
越小 ________ 比较“________”(向上或向下)
快
陡峭
慢
平缓
【预习自测】
1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是 ( )
【答案】C
【解析】当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，f(x)单调递增；当－10，所以f′(x)<0，f(x)单调递减；当01时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，f(x)单调递增．
2．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( )
【答案】D
【解析】当x＞0时，f′(x)＞0；当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D．
3．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 ( )
【答案】B
【解析】当－10，所以f(x)在(－1，1)上单调递增．又导函数y＝f′(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以y＝f(x)在(－1，0)上的斜率随着x的增大而增大，在(0，1)上的斜率随着x的增大而减小，只有选项B符合．
课堂互动
题型1 利用导数判断或证明函数的单调性
【解题探究】根据导数与函数单调性的关系求解．
利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证．要注意若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
1．已知函数f(x)＝e2x＋(a＋2)ex＋ax.讨论f(x)的单调性．
【答案】(1)D
题型2 求函数的单调区间
x＝－1和x＝1把函数定义域划分成三个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表所示．
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 递增 2 递减 －2 递增
∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．
方法二：∵f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
令f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，
∴f(x)的单调递减区间为(－1，1)．
故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减．
【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性比较方便．
我们把方法一叫“列表法”，主要是利用f′(x) 零点列表求函数单调区间，具体解题步骤参考教材P88；方法二叫“解不等式法”，具体步骤如下：
(1)确定定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)通过解f′(x)＞0或f′(x)＜0来求出单调区间．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(2023年陕西月考)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是 ( )
题型3 利用导数判断函数图象
A．在区间(－2，1)上，函数f(x)单调递增
B．在区间(1，2)上，函数f(x)单调递增
C．在区间(4，5)上，函数f(x)单调递增
D．在区间(－3，－2)上，函数f(x)单调递增
【答案】BC
【解析】由题图知当x∈(1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在区间(1，2)，(4，5)上，函数f(x)单调递增，B，C正确；当x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，1)时，f′(x)>0，所以在区间(－2，－1)上，函数f(x)单调递减，在(－1，1)上递增，A错误；当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在区间(－3，－2)上，函数f(x)单调递减，D错误．故选BC.
【答案】A
【解析】设f′(x)图象与x轴的交点横坐标从左到右依次为a，b，c(a在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数递减区间．
【答案】D
题型4 含参数的函数的单调区间
含参数的函数的单调性问题要先弄清参数对导函数f′(x)在等区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论：
(1)由二次函数型引发的分类讨论．讨论分以下四个方面：①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论．
(2)由定义域或给定区间引发的分类讨论(如导函数的零点是否在定义域或给定区间内？零点将定义域或给定区间划分为哪几个区间？若不能确定，则需分类讨论)．
(3)由导函数的零点含有参数引发的分类讨论(如零点大小、零点与定义域的关系等)．
当a＝0时，f′(x)＝x2≥0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a<0时，a<－3a，
当x∈(－∞，a)，(－3a，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
当x∈(a，－3a)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
当a>0时，－3a当x∈(－∞，－3a)，(a，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
当x∈(－3a，a)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．
综上所述，当a＝0时，函数f(x)单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(－3a，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间为(a，－3a)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－3a)，(a，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间为(－3a，a).
如果函数y＝f(x)的图象如右图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是 ( )
易错警示 不能抓住图象的关键特征致误
【错解】C
【错因】原函数与导函数的图象关系理解不深刻，凭空乱猜．
【正解】由原函数的图象可知，函数先增再减，再增再减，故导函数值应是先正再负，再正再负．故选A．
【警示】判断函数f(x)与其导函数f′(x)的图象，关键是抓住f(x)的增减性与f′(x)的正负的对应关系．
素养训练
1．利用导数判断或证明函数单调性的方法
2．利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
3．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
4．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)方法一：求出f′(x)的零点，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负．
方法二：在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
[注意]如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和”字隔开．
5．研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【答案】C
2．(题型3)(2022年成都月考)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是 ( )
【答案】A
【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以f′(x)在R上单调递增．
3．(题型4)(2022年景德镇期末)若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为单调减函数，则m的取值范围是 ( )
A．[24，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－3] D．(－∞，0]
【答案】A
4．(题型3)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是 ( )
A．2f′(2)＜f(4)－f(2)＜2f′(4)
B．2f′(4)＜2f′(2)＜f(4)－f(2)
C．2f′(2)＜2f′(4)＜f(4)－f(2)
D．f(4)－f(2)＜2f′(4)＜2f′(2)
【答案】A
5．(题型4)已知函数f(x)＝xln x＋ax＋b在(1，f(1))处的切线为2x－2y－1＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．5．3.1 函数的单调性
A级——基础过关练
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0且f(a)≥0，则在(a，b)内有 ( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
2．定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)且＞0对任意x≠2恒成立，则 ( )
A．f(x)在(－∞，2)上单调递减 B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C．f(x)在R上单调递减 D．f(x)在R上单调递增
3．(2022年四川模拟)函数f(x)＝x－2ln x＋1的单调递减区间为 ( )
A．(0，2) B．(0，e)
C． D．(2，＋∞)
4．(2023年内蒙古模拟)已知函数f(x)＝a ln x－x2＋6x在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－9，＋∞) B．(－9，＋∞)
C．(－∞，－9) D．(－∞，－9]
5．(2023年成都月考)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 ( )
6．函数f(x)＝x2－9ln x，在区间[m－1，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≤2 B．m≥4 C．17．(多选)下列叙述中正确的是 ( )
A．若f(x)在区间(a，b)上单调递增，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0
B．若在区间(a，b)上对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)上单调递增
C．若f(x)在区间(a，b)上是单调的，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在区间(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
8．(2022年河北月考)函数f(x)＝ln x－x2的单调递减区间为________．
9．若函数f(x)＝x＋a ln x在区间(0，＋∞)上不是单调函数，则实数a的取值范围是________.
10．已知函数f(x)＝2ax－，若f(x)在(0，1]上单调递增，求a的取值范围．
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－2] B．
C． D．(－2，＋∞)
12．(多选)(2021年张家港期中)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex D．f(x)＝ex－e－x－2x
13．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是____________．
14．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0).若f(x)的单调递减区间是(0，4)，实数k的值为________；若f(x)在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
5．3.1 函数的单调性
A级——基础过关练
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0且f(a)≥0，则在(a，b)内有 ( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
【答案】A
2．定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)且＞0对任意x≠2恒成立，则 ( )
A．f(x)在(－∞，2)上单调递减 B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C．f(x)在R上单调递减 D．f(x)在R上单调递增
【答案】B 【解析】＞0对任意x≠2恒成立，所以当x<2时，f′(x)>0；当x>2时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
3．(2022年四川模拟)函数f(x)＝x－2ln x＋1的单调递减区间为 ( )
A．(0，2) B．(0，e)
C． D．(2，＋∞)
【答案】A 【解析】由题可知，函数定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝1－＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2).故选A.
4．(2023年内蒙古模拟)已知函数f(x)＝a ln x－x2＋6x在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－9，＋∞) B．(－9，＋∞)
C．(－∞，－9) D．(－∞，－9]
【答案】D 【解析】由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x＋6.因为f(x)＝a ln x－x2＋6x在定义域内单调递减，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即－x＋6≤0，可转化为a≤x2－6x在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤(x2－6x)min.因为y＝x2－6x＝(x－3)2－9，所以(x2－6x)min＝－9，所以a≤－9.因此实数a的取值范围是(－∞，－9].故选D.
5．(2023年成都月考)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 ( )
【答案】C 【解析】由f′(x)的图象可得，当x<0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当0x1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增．仅有选项C符合以上要求．故选C.
6．函数f(x)＝x2－9ln x，在区间[m－1，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≤2 B．m≥4 C．1【答案】C 【解析】函数f(x)＝x2－9ln x(x>0)，则f′(x)＝x－＝.因为f(x)在区间上单调递减，则f′(x)≤0在区间上恒成立，即x2－9≤0，所以07．(多选)下列叙述中正确的是 ( )
A．若f(x)在区间(a，b)上单调递增，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0
B．若在区间(a，b)上对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)上单调递增
C．若f(x)在区间(a，b)上是单调的，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在区间(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
【答案】AB 【解析】f(x)在区间(a，b)上是否单调与f′(x)是否存在无必然联系，故C错误；f(x)＝2在区间(a，b)上的导数存在，但f(x)无单调性，故D错误．A，B正确．
8．(2022年河北月考)函数f(x)＝ln x－x2的单调递减区间为________．
【答案】 【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝－2x＝，当x>时，f′(x)<0，此时函数单调递减．
9．若函数f(x)＝x＋a ln x在区间(0，＋∞)上不是单调函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】(－∞，0) 【解析】函数f(x)＝x＋a ln x的定义域为{x|x>0}．f′(x)＝1＋，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当a<0时，函数f(x)不是单调函数．则实数a的取值范围是(－∞，0).
10．已知函数f(x)＝2ax－，若f(x)在(0，1]上单调递增，求a的取值范围．
解：∵f′(x)＝2a＋，f(x)在(0，1]上单调递增，
∴x∈(0，1]时f′(x)≥0恒成立，
即a≥－在x∈(0，1]时恒成立，
∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞).
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－2] B．
C． D．(－2，＋∞)
【答案】D 【解析】f′(x)＝＋2ax，若f(x)在区间内存在单调递增区间，则f′(x)＞0在x∈内有解，故a＞，而g(x)＝－在内单调递增，∴g(x)＞g＝－2，故a＞－2.
12．(多选)(2021年张家港期中)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex D．f(x)＝ex－e－x－2x
【答案】BD 【解析】根据题意，依次分析选项，对于A，f(x)＝x4，其导数f′(x)＝4x3，在区间(－∞，0)上有f′(x)<0，函数f(x)单调递减，不符合题意；对于B，f(x)＝x－sin x，其导数f′(x)＝1－cos x，在(－∞，＋∞)上有f′(x)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝xex，其导数f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，在区间(－∞，－1)上，有f′(x)<0，函数f(x)单调递减，不符合题意；对于D，f(x)＝ex－e－x－2x，其导数f′(x)＝ex＋e－x－2，因为f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝2－2＝0，有f′(x)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意．
13．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是____________．
【答案】(3，27) 【解析】函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则f′(x)在区间(－3，－1)上有根，∴f′(x)＝3x2－k＝0在(－3，－1)上有解，即k＝3x2在区间(－3，－1)上有解．又∵3x2∈(3，27)，∴k的取值范围是(3，27).
14．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0).若f(x)的单调递减区间是(0，4)，实数k的值为________；若f(x)在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】 【解析】对函数求导数，得f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，∵函数的单调递减区间是(0，4)，∴f′(4)＝0，解得k＝；若f(x)在(0，4)上单调递减，则3kx2＋6(k－1)x≤0在(0，4)上恒成立，即k≤在(0，4)上恒成立，故k≤，而k＞0，故k∈.
15．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解：f′(x)＝x2＋2x＋a，方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a＝4(1－a)，
若a≥1，则Δ≤0，f′(x)＝x2＋2x＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增；
若a<1，则Δ>0，方程x2＋2a＋a＝0有两个不同的实数根x1＝－1－，x2＝－1＋.
当xx2时，f′(x)>0；
当x1综上可知，当a≥1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，单调递减区间为(－1－，－1＋).