(共44张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标 素养要求
1.了解复合函数的概念，记住复合函数的求导法则 数学抽象、数学运算
2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数 逻辑推理、数学运算
3.明确复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝y′u·ux′，其中选择中间量是应用公式解题的关键 逻辑推理、数学运算
自学导引
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作______________．
y＝f(g(x))
复合函数的概念
【答案】A
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
y′x＝y′u·u′x
复合函数的求导法则
【答案】D
2．若f(x)＝xe2x，则f′(1)＝__________．
【答案】3e2
【解析】f′(x)＝e2x＋2x·e2x＝(1＋2x)e2x，所以f′(1)＝3e2.
【答案】－3
课堂互动
求下列复合函数的导数．
题型1 求复合函数的导数
【解题探究】首先分析所给函数的复合层次，然后结合复合函数的求导法则，并充分运用初等函数的求导公式进行求解．
复合函数求导的步骤
(2)函数y＝(1－2x)3可以看作函数y＝u3和u＝1－2x的复合函数，
y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(1－2x)′＝－6u2＝－6(1－2x)2.
(6)函数y＝22x+1可以看作函数y＝2u和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(2u)′·(2x＋1)′＝2·2u·ln 2＝2·22x+1·ln 2＝22x+2·ln 2.
求下列函数的导数．
题型2 复合函数求导与导数的运算法则的综合应用
解决这类问题需要明确复合函数的构成，再利用复合函数求导法则计算，此类问题出错的主要因素一般有两个：一是基本初等函数的导数公式记忆有误；二是求导法则掌握不到位，尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆，导致运算结果出现错误．对于复杂函数求导，一般遵循先化简再求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．
题型3 导数运算法则的综合应用
这类问题的前提是正确地求出复合函数的导数，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题，可结合图形，利用等价转化思想，将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题，从而借助导数的几何意义进行求解．其基本步骤与方法如下：(1)根据切线与已知直线平行，它们的斜率相等，得到切线的斜率；(2)根据导数的几何意义，由切线的斜率得到切点的横坐标；(3)由切点在曲线上，求得切点的纵坐标，得到切点的坐标；(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离．
3．(1)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________；
(2)设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线L与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的解析式．
【答案】(1)2
求函数y＝x·e1－2x的导数．
【错解】利用求导的法则可得y′＝e1－2x＋x·e1－2x
【错因】对e1－2x的求导应按照复合函数的求导法则进行，即(e1－2x)′＝e1－2x·(1－2x)′＝－2e1－2x.
【正解】y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋x·e1－2x(1－2x)′＝e1－2x－2xe1－2x＝(1－2x)e1－2x.
易错警示 没有分清复合函数的复合结构而致误
【警示】(1)求导时一定要弄清楚函数的结构特征，分清是直接求导，还是利用复合函数的导数公式求导．
(2)复合函数y＝f(φ(x))的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)(u＝φ(x))，即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导．
素养训练
1．求复合函数的导数要处理好以下环节
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构；
(2)关键是正确分析函数和复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层的求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数；
(6)复合函数求导，中间步骤可以省略，不必写出函数复合过程，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
2．求复合函数的导数的注意事项
(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；
(2)尽可能地先将函数化简，再求导；
(3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用；
(4)复合函数的求导过程可简记为“分解→求导→回代”，熟练以后，可以省略中间过程．
1．(题型1)函数y＝cos(1＋x2)的导数是 ( )
A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2)
C．－2xsin(1＋x2) D．xsin(1＋x2)
【答案】C
【解析】y′＝－sin(1＋x2)·(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)．
2．(题型3)(2023年云南月考)若经过原点作曲线y＝e1-x的切线，则切线方程为________.
【答案】y＝－e2x5．2.3 简单复合函数的导数
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝sin2x的导数是 ( )
A．2sinx B．2sin2x
C．2cos x D．sin 2x
2．已知函数y＝cos (ln x)，则y′＝ ( )
A．－sin(ln x) B．
C．－ D．
3．已知函数f(x)＝，则f′(x)＝ ( )
A． B．
C． D．
4．(2022年南京期末)已知f(x)＝＋e－x，则f′(0)＝ ( )
A．0 B．2 C． D．－
5．(2023年陕西模拟预测)已知函数f(x)＝ex－sin 2x，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 ( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
6．(多选)设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为 ( )
A． B． C． D．
7．(2023年新疆模拟)函数f(x)＝sin 在x＝处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为__________．
8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)在x＝e处的导数为，则f′(1)＝________．
9．(2023年安徽期末)设曲线y＝eax－x－1在点(0，0)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________．
10．求下列函数的导数．
(1)y＝e2x+1；
(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin3x.
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
12．(多选)若直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝x3＋2x2＋8 B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝xex D．f(x)＝ln
13．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝________．
14．(2022年济宁期中)已知函数f(x)＝且f′(1)＝，则a＝________，曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为________．
15．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
5．2.3 简单复合函数的导数
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝sin2x的导数是 ( )
A．2sinx B．2sin2x
C．2cos x D．sin 2x
【答案】D 【解析】y＝sin2x写成y＝u2，u＝sinx的形式．对外层函数求导为y′＝2u，对内层函数求导为u′＝cos x，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2u cosx＝2sin x cos x＝sin 2x.故选D.
2．已知函数y＝cos (ln x)，则y′＝ ( )
A．－sin(ln x) B．
C．－ D．
【答案】C 【解析】y＝cos(ln x)写成y＝cos u，u＝ln x，y′＝－sin u，u′＝，故可以得到y′＝.故选C.
3．已知函数f(x)＝，则f′(x)＝ ( )
A． B．
C． D．
【答案】C 【解析】因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝.故选C.
4．(2022年南京期末)已知f(x)＝＋e－x，则f′(0)＝ ( )
A．0 B．2 C． D．－
【答案】A 【解析】∵f′(x)＝(2x＋1)－×2＋e－x×(－1)＝－，∴f′(0)＝1－1＝0.故选A.
5．(2023年陕西模拟预测)已知函数f(x)＝ex－sin 2x，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 ( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【答案】B 【解析】因为f(x)＝ex－sin 2x，所以f(0)＝e0－sin 0＝1，f′(x)＝ex－2cos 2x，所以f′(0)＝e0－2cos 0＝－1，切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.
6．(多选)设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】AC 【解析】f′(x)＝－sin (x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)＝2sin .若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin ，因此φ＋＝kπ(k∈Z).又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝或φ＝.
7．(2023年新疆模拟)函数f(x)＝sin 在x＝处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为__________．
【答案】 【解析】∵f(x)＝sin ＝－cos 2x，∴f′(x)＝2sin 2x，∴f′＝2sin ＝2，即切线的斜率为2.又∵f＝－cos ＝0，即切点为.根据导数几何意义，得切线方程为y－0＝2·，即y＝2x－，切线与x轴的交点为，与y轴的交点为.所以围成三角形的面积为××＝.
8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)在x＝e处的导数为，则f′(1)＝________．
【答案】 【解析】设g(x)＝f(ln x)，由复合函数的求导法则可得g′(x)＝f′(ln x).由题意可得g′(e)＝f′(1)＝，解得f′(1)＝.
9．(2023年安徽期末)设曲线y＝eax－x－1在点(0，0)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________．
【答案】3 【解析】由y＝eax－x－1，可得y′＝aeax－1，所以y′|x＝0＝a－1，由题意知，(a－1)·＝－1，所以a＝3.
10．求下列函数的导数．
(1)y＝e2x+1；
(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin3x.
解：(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4＝－6(2x－1)-4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数，
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cosx＋3cos 3x.
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
【答案】B 【解析】因为f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，所以f′(x)＝＋3f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝＋3f′(1)，解得f′(1)＝－1.
12．(多选)若直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝x3＋2x2＋8 B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝xex D．f(x)＝ln
【答案】AC 【解析】因为直线y＝x＋b(b∈R)是曲线y＝f(x)的切线，直线的斜率为，所以y＝f(x)在某点处的导数值为.由f(x)＝x3＋2x2＋8，可得f′(x)＝3x2＋4x，令f′(x)＝3x2＋4x＝，即6x2＋8x－1＝0，因为Δ＝82－4×6×(－1)>0，所以f′(x)＝有解，故选项A正确；由f(x)＝tan x，可得f′(x)＝′＝＝，令f′(x)＝＝，可得cos2x＝2无解，故选项B不正确；由f(x)＝xex，可得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝，即2x＋2＝e－x，作出y＝2x＋2和y＝e－x的图象如下．
所以f′(x)＝有解，故选项C正确；由2x＋1>0，可得x>－，所以f(x)＝ln 的定义域为，由f(x)＝ln ，可得f′(x)＝－，令f′(x)＝－＝，可得x＝－，不满足x>－，所以f′(x)＝－＝无解，故选项D不正确．故选AC.
13．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝________．
【答案】－2 【解析】由题得y′＝(x＋1)ex－a，所以y′?x＝a?＝a＋1＝3，所以a＝2，所以f(x)＝xex-2，所以f(2)＝2×e2-2＝2，所以切点为(2，2)，将点(2，2)代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.
14．(2022年济宁期中)已知函数f(x)＝且f′(1)＝，则a＝________，曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为________．
【答案】0 0 【解析】由f(x)＝，得f′(x)＝＝.∵f′(1)＝，∴＝，得a＝0，∴f(x)＝，f′(x)＝＝，则f′(e)＝＝0，即曲线y＝f(x)在x＝e处的切线斜率为0.
15．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1.又因为f(2)＝－2，
所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
因为f′(x)＝3x2－8x＋5，
所以切线方程为y－(x03－4x02＋5x0－4)＝(3x02－8x0＋5)·(x－x0)，
即y＝－2x03＋3x02x－8x0x＋4x02＋5x－4.
因为点(2，－2)在切线上，所以－2＝6x02－2x03－16x0＋4x02＋6.
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.
当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0；
当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0.
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.(共45张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
学习目标 素养要求
1.能够掌握导数的四则运算法则，并清楚四则运算法则的适用条件 数学抽象、数学运算
2.会运用运算法则求简单函数的导数 数学抽象、数学运算
3.初步使用转化的方法，并利用四则运算法则求导 数学抽象、数学运算
自学导引
导数的运算法则
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
c′f(x)＋cf′(x)＝cf′(x)
【预习自测】
1．曲线y＝xex在x＝1处切线的斜率等于 ( )
A．2e B．e
C．2 D．1
【答案】A
2．(2022年宁波期末)已知f(x)＝cos x＋2x，则f′(x)＝ ( )
A．－sin x＋x·2x－1
B．sin x＋x·2x－1
C．－sin x＋2xln 2
D．sin x＋2xln 2
【答案】C
【解析】由f(x)＝cos x＋2x，得f′(x)＝－sin x＋2xln 2.故选C．
3．(2021年广州期末)已知f(x)＝x2ex，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．e
C．2e D．3e
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝2xex＋x2ex，
∴f′(1)＝2e＋e＝3e.
4．(2021年桂林期末)已知函数f(x)＝x2＋x，那么f′(1)＝ ( )
A．3 B．0
C．2 D．1
【答案】A
【解析】∵f′(x)＝2x＋1，∴f′(1)＝3.
【答案】D
课堂互动
求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
题型1 利用导数的运算法则求导
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)(方法一)
y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)
＝18x2－8x＋9.
(方法二)
∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
【解题探究】(1)直接利用和、差的运算法则求导；(2)利用积的运算法则或先化简再利用和、差的运算法则求导；(3)利用商的运算法则求导；(4)先化简，再求导．
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化简，然后再求导．
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足解析式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
题型2 求抽象函数的导数值
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，再令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式．
题型3 导数的几何意义
【答案】(1)D (2)y＝3x
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
注意：“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
【答案】y＝0(答案不唯一)
角度二 求切点坐标
【答案】±2
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【答案】A
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则 ( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
【答案】D
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
5．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为________．
易错警示 忽视f′(x)与f′(x0)的区别致误
素养训练
1．
2．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
【答案】C
【答案】A
【答案】A5．2.2 导数的四则运算法则
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2022年陕西期末)已知f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，若f′(－1)＝5，则a的值是 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．(2023年河南月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝x ln x＋3xf′(1)，则f′(e)＝ ( )
A．－ B．－ C． D．－
4．若过点(2，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋7x－4都相切，则a的值为 ( )
A．2 B．
C．2或－ D．3或
5．已知函数f(x)＝x cos x，其导函数f′(x)＝cos x－x sin x．若函数g(x)的导函数g′(x)＝x sin x，且g＝0，则g(π)的值为 ( )
A．－1 B．1 C．π－1 D．π＋1
6．(2022年邵阳期末)若f(x)＝x ln x，则f(x)图象上的点的切线的倾斜角α ( )
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为0° D．可能为直角
7．(多选)(2022年临沂期末)下列求导运算正确的是 ( )
A．′＝＋ B．(ln 2＋log2x)′＝
C．(x2ex)′＝2xex D．(3x cos x)′＝3x(ln 3·cos x－sin x)
8．(2023年重庆期末)已知函数f(x)＝sin x cos x，f′(x)为其导函数，则f′＝________.
9．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且 f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．
10．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求过点P(2，4)的曲线的切线方程．
B级——能力提升练
11．(2022年抚顺模拟)已知函数f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为 ( )
A．(－2，3) B．(－6，0)
C．[－2，3] D．[－6，0]
12．(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0.若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是 ( )
A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1
C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝
13．曲线f(x)＝ln x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
14．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)为函数f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，已知函数f(x)＝2x3－3x2＋x＋1，则它的对称中心为________，f＋f＋f＋…＋f＝________．
15．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．
5．2.2 导数的四则运算法则
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
2．(2022年陕西期末)已知f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，若f′(－1)＝5，则a的值是 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A 【解析】因为f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，所以f′(x)＝9ax2＋4ax，则f′(－1)＝9a－4a＝5，解得a＝1.
3．(2023年河南月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝x ln x＋3xf′(1)，则f′(e)＝ ( )
A．－ B．－ C． D．－
【答案】C 【解析】因为f(x)＝x ln x＋3xf′(1)，所以f′(x)＝1＋ln x＋3f′(1)，则f′(1)＝1＋ln 1＋3f′(1)，解得f′(1)＝－，故f′(x)＝1＋ln x＋3×＝ln x－，则f′(e)＝ln e－＝.故选C.
4．若过点(2，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋7x－4都相切，则a的值为 ( )
A．2 B．
C．2或－ D．3或
【答案】C 【解析】设直线方程为y－0＝k(x－2)，又因为与曲线y＝x3相切，所以k＝y′＝3x2.所以直线方程为y＝3x2(x－2).直线y＝3x2(x－2)与曲线y＝x3联立解得或则切线的斜率k＝0或k＝27.
①若k＝0，此时切线的方程为y＝0，与方程y＝ax2＋7x－4联立得ax2＋7x－4＝0.此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝49＋16a＝0，解得a＝－.
②若k＝27，其切线方程为y＝27(x－2)，与y＝ax2＋7x－4联立得ax2－20x＋50＝0，此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝400－200a＝0，解得a＝2.
所以a＝2或a＝－.
5．已知函数f(x)＝x cos x，其导函数f′(x)＝cos x－x sin x．若函数g(x)的导函数g′(x)＝x sin x，且g＝0，则g(π)的值为 ( )
A．－1 B．1 C．π－1 D．π＋1
【答案】C 【解析】由题意设g(x)＝sin x－x cos x＋c，则g′(x)＝cos x－cos x＋x sin x＝x sin x，符合题意，故g＝1＋c＝0，解得c＝－1，故g(x)＝sin x－x cos x－1，g(π)＝sin π－πcos π－1＝π－1.
6．(2022年邵阳期末)若f(x)＝x ln x，则f(x)图象上的点的切线的倾斜角α ( )
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为0° D．可能为直角
【答案】C 【解析】f′(x)＝ln x＋1，当0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，而f′＝ln ＋1＝0，所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为0°，当α＝90°时，斜率不存在，而f′(x)存在，则α＝90°不成立．故选C.
7．(多选)(2022年临沂期末)下列求导运算正确的是 ( )
A．′＝＋ B．(ln 2＋log2x)′＝
C．(x2ex)′＝2xex D．(3x cos x)′＝3x(ln 3·cos x－sin x)
【答案】BD 【解析】对于A，′＝－，故A错误；(ln 2＋log2x)′＝，故B正确；(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，故C错误；(3x cos x)′＝3x ln 3·cos x－3x sin x＝3x(ln 3·cos x－sin x)，故D正确．故选BD.
8．(2023年重庆期末)已知函数f(x)＝sin x cos x，f′(x)为其导函数，则f′＝________.
【答案】－ 【解析】因为f(x)＝sin x cos x，故f′(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，f′＝cos π＝－.
9．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且 f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．
【答案】8 【解析】∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4.又∵a2＋2b2≥2＝2ab＝8，当且仅当a2＝2b2，即a＝b时取等号．
10．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求过点P(2，4)的曲线的切线方程．
解：(1)因为y′＝x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝4，
所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x02.
所以切线方程为y－＝x02(x－x0)，
即y＝x02x－x03＋.
因为点P(2，4)在切线上，
所以4＝2x02－x03＋，所以x03－3x02＋4＝0.
所以x03－2x02－x02＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
所以所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
B级——能力提升练
11．(2022年抚顺模拟)已知函数f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为 ( )
A．(－2，3) B．(－6，0)
C．[－2，3] D．[－6，0]
【答案】D 【解析】依题意知函数f′(x)与g′(x)值域的交集为空集，∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤，∴≤－2a，解得－6≤a≤0.
12．(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0.若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是 ( )
A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1
C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝
【答案】AD 【解析】由题意知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；由题意得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD.
13．曲线f(x)＝ln x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，1] 【解析】由题意得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))(t>0)，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t＞0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时，取等号)，即a≤1.
14．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)为函数f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，已知函数f(x)＝2x3－3x2＋x＋1，则它的对称中心为________，f＋f＋f＋…＋f＝________．
【答案】 2 020 【解析】由f(x)＝2x3－3x2＋x＋1可得f′(x)＝6x2－6x＋1，f″(x)＝12x－6，令f″(x)＝12x－6＝0，可得x＝，且f＝2×－3×＋＋1＝1，所以点为y＝f(x)的对称中心，所以f(x)＋f(1－x)＝2.令S＝f＋f＋f＋…＋f＋f＋f，S＝f＋f＋f＋…＋f＋f＋f，两式相加可得2S＝2 020[f＋f]＝2 020×2，所以S＝2 020，即f＋f＋f＋…＋f＝2 020.
15．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)对函数f(x)求导，得
f′(x)＝＝.
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以即解得a＝4，b＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝＝4.
令t＝，t∈(0，1]，
则k＝4(2t2－t)＝8－，k在t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，所以k∈.(共35张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
自学导引
几种常用函数的导数
【答案】C
【解析】常数的导数等于0.
【答案】A
【解析】f′(x)＝1，故f′(0)＝1.
【答案】C
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____________
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝____________
f(x)＝sin x f′(x)＝____________
f(x)＝cos x f′(x)＝____________
0
αxα－1
cos x
－sin x
原函数 导函数
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝____________
f(x)＝ex f′(x)＝____________
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝____________
f(x)＝ln x
f′(x)＝____________
axln a
ex
【答案】D
2．曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为 ( )
A．3x－y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＝0 D．3x－y＝0
【答案】A
【答案】D
课堂互动
题型1 基本初等函数的导数
【解题探究】用基本初等函数的导数公式求导．
求简单函数的导函数有两种基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
角度1 求值
题型2 导数运算的应用
【答案】A
【解题探究】求切线方程关键是求斜率，通过求导方法求斜率．
(1)利用导数的几何意义解决切线问题时，若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则应先设出切点，再利用已知点在切线上进行求解；
(2)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题的关键所在．
2．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，但这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
易错警示 求导公式应用错误
【错解】C
【警示】求导时要注意原函数是否为常数，常数的导数为0.
素养训练
3．对于正弦、余弦函数的导数，一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化．
4．用求导公式求出函数的导数后，可求函数在任一点x＝x0处的导数，从而可以研究函数在任给的一点处的导数的几何意义，以及函数在这一点附近的变化情况．
【答案】C
2．(题型1，2)函数y＝x2在点x＝1处的导数值是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】易得y′＝2x，故函数y＝x2在点x＝1处的导数值是2×1＝2.
【答案】B
【答案】eln 25．2.1 基本初等函数的导数
A级——基础过关练
1．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为 ( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)
C．(2，8) D．
2．(多选)设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有 ( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝ex D．f(x)＝sin x
3．若函数y＝10x，则y′|x＝1＝ ( )
A． B．10 C．10ln 10 D．
4．函数f(x)＝的导数是 ( )
A．x B．x C．x D．x－
5．(2022年湘潭期末)已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝ ( )
A．－1 B．1 C．5 D．－5
6．(多选)下列求导正确的是 ( )
A．(x8)′＝8x7 B．(4x)′＝4x ln 4
C．′＝sin x D．(e2)′＝2e
7．(2022年辽宁期末)曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为__________．
8．直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
9．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在x＝2处的导数为，求底数a的值．
10．求曲线y＝sin x在点处的切线方程．
B级——能力提升练
11．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为 ( )
A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．x＋y－2＝0
12．(多选)(2022年南昌期末改编)已知函数f(x) 及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是 ( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
14．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为__________时，PQ最小，此时最小值为________．
15．已知函数f(x)＝xa(a为常数且a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，若l与两坐标轴围成的三角形面积为，求a的值．
5．2.1 基本初等函数的导数
A级——基础过关练
1．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为 ( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)
C．(2，8) D．
【答案】B
2．(多选)设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有 ( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝ex D．f(x)＝sin x
【答案】BC 【解析】对于A，f′(x)＝－<0，故无论x取何值，f′(x)不可能等于2，故A错误；对于B，f′(x)＝4x3，令f′(x)＝4x3＝2，解得x＝，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于C，f′(x)＝ex，令ex＝2，解得x＝ln 2，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于D，f′(x)＝cos x∈[－1，1]，故无论x取何值，f′(x)不可能等于2，故D错误．故选BC.
3．若函数y＝10x，则y′|x＝1＝ ( )
A． B．10 C．10ln 10 D．
【答案】C 【解析】∵y′＝10x ln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.故选C.
4．函数f(x)＝的导数是 ( )
A．x B．x C．x D．x－
【答案】D 【解析】先将f(x)变形为y＝xα的形式，再求导，即f(x)＝＝＝＝x，故f′(x)＝x－.
5．(2022年湘潭期末)已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝ ( )
A．－1 B．1 C．5 D．－5
【答案】C 【解析】∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故选C.
6．(多选)下列求导正确的是 ( )
A．(x8)′＝8x7 B．(4x)′＝4x ln 4
C．′＝sin x D．(e2)′＝2e
【答案】AB 【解析】C项中，sin ＝cos x，∴(cos x)′＝－sin x；D项中，(e2)′＝0.
7．(2022年辽宁期末)曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为__________．
【答案】y＝x－1 【解析】y′＝，当x＝1时，y′＝1，所以曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.
8．直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
【答案】ln 2－1 【解析】由切线方程知切线斜率是，即y′＝＝，解得x＝2.因为切点在y＝ln x上，所以切点为(2，ln 2).因为切点也在切线上，所以将点(2，ln 2)代入切线方程，得b＝ln 2－1.
9．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在x＝2处的导数为，求底数a的值．
解：f′(x)＝(logax)′＝.
由题得f′(2)＝＝，
所以ln a＝ln 2，得a＝2.
10．求曲线y＝sin x在点处的切线方程．
解：y＝sin x的导函数为y′＝cos x.
当x＝时，y′＝cos ＝，
即y＝sin x在点处的切线斜率为，所以曲线y＝sin x在点处的切线方程为
y－＝，即x－2y＋1－＝0.
B级——能力提升练
11．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为 ( )
A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．x＋y－2＝0
【答案】B 【解析】y＝＝x，则y′＝x－，y′＝，所以所求切线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.
12．(多选)(2022年南昌期末改编)已知函数f(x) 及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是 ( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝
【答案】ABCD 【解析】对于A，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，由x2＝2x，解得x＝0或x＝2，因此此函数有“巧值点”；对于B，f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x，令－sin x＝cos x，则sin x＋cos x＝0 sin ＝0 x＋＝kπ x＝kπ－，k∈Z，因此此函数有“巧值点”；对于C，f(x)＝ln x，f′(x)＝，由ln x＝，如图，分别画出y＝ln x，y＝(x＞0)的图象，由图象可知，两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点”；对于D，f(x)＝，f′(x)＝－，由＝－，解得x＝－1，因此此函数有“巧值点”．故选ABCD.
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
【答案】1 【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去).
14．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为__________时，PQ最小，此时最小值为________．
【答案】(1，0) 【解析】如图所示，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．令y′＝＝1，解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PQ|min＝＝.
15．已知函数f(x)＝xa(a为常数且a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，若l与两坐标轴围成的三角形面积为，求a的值．
解：由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa-1，
∴f′(1)＝a.
又∵f(1)＝1，∴切线l的方程为y－1＝a(x－1)，
∴l与两坐标轴的交点分别为，(0，1－a)，
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·|1－a|＝.
由S＝，得2－a－＝±，解得a＝2或a＝.
