(共46张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
学习目标 素养要求
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、数学运算
2.会求简单函数的导函数 数学抽象、数学运算
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 数学抽象、数学运算
自学导引
如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限______于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个________的位置，这个确定位置的直线________称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．
趋近
切线的概念
确定
P0T
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线． ( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝
____________________＝f′(x0)．
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的________，物理意义是运动物体在x0时刻的___________．
斜率
导数的几何意义
瞬时速度
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
【答案】B
f′(x)
导函数的概念
(3)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
(4)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
【预习自测】
设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________．
【答案】3
课堂互动
【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可．
题型1 求曲线在某点处的切线方程
求曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤
(1)求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)用点斜式写出切线方程y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)；
(3)把求得的点斜式方程变形为一般式．
求过点(－1，0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
题型2 求曲线过某点的切线方程
过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
【解题探究】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出直线的斜率，写出切线方程．
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤
(1)设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参)；
(2)把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程．
2．(2023年哈尔滨期末)已知函数f(x)＝x2－5x＋7，求经过点A(1，2)的曲线f(x)的切线方程．
(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的 ( )
题型3 利用图象理解导数的几何意义
(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x) 的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 ( )
【答案】(1)A (2)D
【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜率随x增大而变大．
(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
导数与函数图象升降的关系
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若
f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是 ( )
A．0B．0C．0D．0【答案】C
已知曲线y＝x2在点P处的切线分别满足下列条件，求点P的坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)与x轴成135°的倾斜角．
题型4 求切点坐标
【解题探究】设切点坐标，根据导数的几何意义求切线斜率，然后利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标．
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
4．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为__________，切点坐标为____________．
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
【错因】本题中原点在函数的图象上，误认为原点就是切点，混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别，导致解题失误．求曲线的切线时，注意区分“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过M点，M点未必是切点，因此求解时应先设出切点坐标；而后者则很明确，切点就是M点．
素养训练
1．导数的意义：
函数在一点处的导数的几何意义：曲线在这一点的切线的斜率．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又密切相关．f′(x0)是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这一点处的导数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
【答案】D
2．(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可以为 ( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(－1，－4) D．(1，4)
【答案】AC
3．(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可以为 ( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(－1，－4) D．(1，4)
【答案】AC
4．(题型3)如图，函数f(x)的图象在点P处的切线为y＝－2x＋5，则f(2)＋f′(2)＝________．
【答案】－1
【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－2x＋5，∴f′(2)＝－2，f(2)＝－4＋5＝1，∴f(2)＋f′(2)＝1－2＝－1.
5．(题型2)已知函数y＝f(x)＝x3＋x－2，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．5．1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
A级——基础过关练
1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线 ( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
2．(2022年河南实验中学月考)设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为 ( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
3．(2022年青海模拟)曲线y＝x2＋2在点处的切线的倾斜角为 ( )
A． B． C． D．
4．曲线f(x)＝－在点A(1，－2)处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
5．(2022年长春期末)曲线y＝2x－在x＝1处的切线的斜率为 ( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
6．曲线y＝ax2在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于 ( )
A．1 B． C．－ D．－1
7．(多选)下列说法中错误的是 ( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率存在
D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱
8．直线y＝－x＋b是函数f(x)＝图象的切线，则切点是__________，实数b＝________．
9．(2022年黄冈月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号).
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
B级——能力提升练
11．(多选)(2021年成都月考)下列命题正确的是 ( )
A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线
B．函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点
C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1
D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0
12．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A．0B．0C．0D．013．(2022年郑州月考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公切线，则a＝________，b＝________．
15．已知曲线y＝f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行．
(1)求x0的值；
(2)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程．
5．1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
A级——基础过关练
1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线 ( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
【答案】B 【解析】由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
2．(2022年河南实验中学月考)设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为 ( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
【答案】B 【解析】＝＝f′(1)＝－1.
3．(2022年青海模拟)曲线y＝x2＋2在点处的切线的倾斜角为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】y′|x＝－1＝＝＝－1，所以曲线在点处的切线的斜率为－1，倾斜角为.故选A.
4．曲线f(x)＝－在点A(1，－2)处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4
【答案】C 【解析】＝＝，所以当Δx→0时，f′(x)＝2，故直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.
5．(2022年长春期末)曲线y＝2x－在x＝1处的切线的斜率为 ( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】D 【解析】y′|x＝1＝＝＝2＋1＝3，所以切线的斜率为3.故选D.
6．曲线y＝ax2在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于 ( )
A．1 B． C．－ D．－1
【答案】A 【解析】因为y′|x＝1＝＝＝ (2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，解得a＝1.故选A.
7．(多选)下列说法中错误的是 ( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率存在
D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱
【答案】ABD 【解析】f′(x0)不存在时，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处不一定没有切线，如f(x)＝，则f′(x)＝，当x＝0时f′(0)不存在，但曲线在该点处的切线方程为x＝0，故A错误；曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线时，f′(x0)不一定存在，因为A，B是逆否命题，举例如A中函数即可，故B错误；当f′(x0)存在时，根据曲线在某点处的导数几何意义知，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率存在即为f′(x0)，故C正确；当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在时，曲线在该点处也可能有切线，此时切线垂直x轴，故D错误．故选ABD.
8．直线y＝－x＋b是函数f(x)＝图象的切线，则切点是__________，实数b＝________．
【答案】或 1或－1 【解析】f′(x)＝＝－＝－，解得x＝±2.当x＝－2时，y＝－，b＝－1；当x＝2时，y＝，b＝1.
9．(2022年黄冈月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号).
【答案】② 【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵＝＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x02－4x0.
∴＝3x02－4x0，即f′(x0)＝3x02－4x0，
由导数的几何意义，得3x02－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或(2，3).
当切点为时，
有＝4×＋a，∴a＝；
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5.
当a＝时，切点为；
当a＝－5时，切点为(2，3).
B级——能力提升练
11．(多选)(2021年成都月考)下列命题正确的是 ( )
A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线
B．函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点
C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1
D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0
【答案】BD 【解析】若f′＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又因为＝－＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又因为f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．故选BD.
12．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A．0B．0C．0D．0【答案】B 【解析】f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间，∴013．(2022年郑州月考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
【答案】2 【解析】由导数的定义，得f′(0)＝＝＝ (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0，
所以＝≥≥＝2.
14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公切线，则a＝________，b＝________．
【答案】3 3 【解析】因为f′(x)＝＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.因为g′(x)＝＝＝3x2＋b，所以g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.因为两曲线在交点(1，c)处有公共切线，所以2a＝3＋b，又因为a＋1＝1＋b，即a＝b，所以可得a＝b＝3.
15．已知曲线y＝f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行．
(1)求x0的值；
(2)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程．
解：(1)f′(x0)＝
＝＝2x0，
g′(x0)＝
＝＝－3x02.
由题意得2x0＝－3x02，
解得x0＝0或x0＝－.
(2)当x0＝0时，f′(x0)＝0，又因为f(0)＝－1，故所求切线方程为y＝－1；
当x0＝－时，f′(x0)＝－，又因为f＝－，
故所求切线方程为y＋＝－，
即y＝－x－.
故所求切线方程为y＝－1或y＝－x－.(共37张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
学习目标 素养要求
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景 数学抽象、数学运算
2.理解瞬时变化率的含义，并知道瞬时变化率就是导数 数学抽象、数学运算
3.会求函数f(x)在某一点的导数 数学抽象、数学运算
自学导引
平均变化率
Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
【预习自测】
1．在求平均变化率中，自变量的增量Δx满足 ( )
A．Δx＞0 B．Δx＜0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
【答案】D
2．若自变量x的增量为Δx，求下列函数的增量Δy.
(1)y＝ax＋b；
(2)y＝ln x.
3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为 ( )
A．Δx＋2 B．Δx＋3
C．2Δx＋(Δx)2 D．3Δx＋(Δx)2
【答案】B
导数的概念(瞬时变化率)
可导
导数
瞬时变化率
f′(x0)
【答案】D
2．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
【答案】1
课堂互动
已知函数f(x)＝3x2＋5.
(1)求f(x)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)求f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
题型1 求函数的平均变化率
【解题探究】直接利用概念求解．
甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的速度哪个快．
题型2 比较平均变化率的大小
【解题探究】转化为平均变化率的大小关系．
在实际问题中，平均变化率有不同的名称．比如物体的平均速度、气球膨胀率等．
试求函数f(x)＝x(2－|x|)在x＝0处的导数值f′(0)．
题型3 函数在某点处的导数
【解题探究】利用导数的定义求解．
易错警示 对导数定义式的理解错误
【错解】A，C或D
【错因】对导数定义式中的Δx，x0等的含义理解不透彻，无法识别出定义式的各种变形．
素养训练
【答案】B
2．(题型2)(2023年辽宁期末)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是( )
A．[5，10] B．[15，20]
C．[25，30] D．[30，35]
【答案】B
【解析】如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝25，t＝30，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，F，G，由图象可知在[15，20]内，|Δy|最大，所以[15，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快．故选B.
3．(题型3)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则物体在t＝0 s时的瞬时速度为________m/s，即该函数在t＝0的导数为________.
【答案】1 1
【答案】a5．(题型3)利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．5．1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
A级——基础过关练
1．(2022年昭通期末)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则＝ ( )
A．－f′(x0) B．－3f′(x0)
C．3f′(x0) D．f′(x0)
2．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是 ( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
3．若lim＝k，则lim＝ ( )
A．2k B．k
C．k D．以上都不对
4．(2022年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是 ( )
A.v甲＞v乙 B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定
5．(多选)在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有 ( )
A．函数y＝x的平均变化率为1
B．函数y＝x2的平均变化率为2.3
C．函数y＝x3的平均变化率为3.99
D．函数y＝的平均变化率为1
6．物体的运动方程为s＝6t＋7t2(s的单位：米，t的单位：秒)，则此物体在t＝10的瞬时速度是________．
7．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－2)＝24，则a＝________．
8．(2022年青岛月考)设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
9．(2023年武汉月考)2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为l(t)＝2t2＋t，则当t＝3 s时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.
10．求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？
B级——能力提升练
11．(2021年南通期末)函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为 ( )
A．1 B．2 C．π D．π2
12．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是 ( )
A．<0 B．>0
C．f> D．f<
13．(2022年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(8014．(2022年承德月考)某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．
t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c(t)/(mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
15．(2022年长沙月考)设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1)；
(2).
5．1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
A级——基础过关练
1．(2022年昭通期末)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则＝ ( )
A．－f′(x0) B．－3f′(x0)
C．3f′(x0) D．f′(x0)
【答案】C 【解析】根据题意，＝3＝3f′(x0).故选C.
2．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是 ( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
【答案】B
3．若lim＝k，则lim＝ ( )
A．2k B．k
C．k D．以上都不对
【答案】A
4．(2022年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是 ( )
A.v甲＞v乙 B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定
【答案】B 【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
5．(多选)在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有 ( )
A．函数y＝x的平均变化率为1
B．函数y＝x2的平均变化率为2.3
C．函数y＝x3的平均变化率为3.99
D．函数y＝的平均变化率为1
【答案】ABC 【解析】根据平均变化率的计算公式，可得＝，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为＝.
下面逐项判定，
对于A，函数y＝x，则＝＝＝1，正确；
对于B，函数y＝x2，则＝＝＝＝2.3，正确；
对于C，函数y＝x3，则＝＝＝＝3.99，正确；
对于D，函数y＝，则＝＝＝－≠1，错误．
故选ABC.
6．物体的运动方程为s＝6t＋7t2(s的单位：米，t的单位：秒)，则此物体在t＝10的瞬时速度是________．
【答案】146米/秒 【解析】设此物体在t＝10的瞬时速度v＝＝＝＝ (146＋7Δt)＝146(米/秒).
7．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－2)＝24，则a＝________．
【答案】2 【解析】因为f′(x)＝＝＝[3ax2＋a(Δx)2＋3axΔx]＝3ax2，∴f′(－2)＝12a＝24，∴a＝2.
8．(2022年青岛月考)设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
【答案】2 【解析】∵f′(1)＝＝＝a，∴a＝2.
9．(2023年武汉月考)2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为l(t)＝2t2＋t，则当t＝3 s时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.
【答案】 【解析】l(3＋Δt)－l(3)＝2(3＋Δt)2＋(3＋Δt)－2×32－＝2(Δt)2＋Δt，所以该运动员在3 s时的滑雪瞬时速度为l′(3)＝＝＝(m/s).
10．求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？
解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝6＋Δx.
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1B级——能力提升练
11．(2021年南通期末)函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为 ( )
A．1 B．2 C．π D．π2
【答案】C 【解析】根据题意，f(x)＝x2－sin x，则f(0)＝0，f(π)＝π2－sin π＝π2，则f(x)在[0，π]上的平均变化率为＝＝＝π.
12．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是 ( )
A．<0 B．>0
C．f> D．f<
【答案】AD 【解析】由题中图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示．
由图象可知x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，故A正确，B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f<，故C不正确，D正确．故选AD.
13．(2022年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80【答案】25 快 【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为c′(x)＝5 284×[－(100－x)-2×(－1)]＝，所以c′(95)＝＝，c′(99)＝＝5 284，所以＝＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍．因为c′(99)>c′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．
14．(2022年承德月考)某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．
t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c(t)/(mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
【答案】－0.002 【解析】＝＝－0.002.
15．(2022年长沙月考)设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1)；
(2).
解：(1)
＝－m
＝－mf′(x0).
(2)
＝
＝－
＝4－5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0).(共34张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
学习目标 素养要求
1.理解平均速度、瞬时速度的有关概念，并能求解平均速度、瞬时速度 数学抽象、数学运算
2.体会曲线上切线的概念，能求解曲线上某点处的切线斜率 数学抽象、数学运算
自学导引
物理中的平均速度和瞬时速度
平均速度和瞬时速度
【预习自测】
1．如果质点A按照规律s＝3t2运动，那么从t＝2到t＝3的平均速度为 ( )
A．6 B．12
C．15 D．18
【答案】C
2．(2023年广州月考)一质点的运动方程为s＝2t2＋3 (位移单位：m，时间单位：s)，则该质点在t＝3时的瞬时速度为 ( )
A．4 B．12
C．15 D．21
【答案】B
割线与切线的斜率
课堂互动
某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为 ( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
【答案】D
题型1 求物体运动的平均速度
【答案】A
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s
题型2 求瞬时速度
2．(1)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝3t2＋8t表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
(2)在(1)的条件不变的前提下，试求物体的初速度．
设函数f(x)＝x(x－6)，则过点(0，0)及邻近一点(Δx，Δy)的割线斜率为 ( )
A．Δx B．－1＋Δx
C．3＋Δx D．－6＋Δx
【答案】D
题型3 求曲线在某点处的割线斜率
【答案】A
求函数y＝x2＋2 022在点x＝2 022处的切线的斜率．
题型4 求曲线在某点处的切线斜率
4．抛物线f(x)＝x2在点(2，4)处切线的斜率k为________．
【答案】4
易错警示 混淆平均速度与瞬时速度
【错因】瞬时速度是平均速度的极限值，即Δt→0时取得的值．
素养训练
1．瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
2．割线的斜率与切线的斜率的区别与联系
区别：割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率．
联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值．
【答案】A
【答案】B
【答案】C
【答案】4.9
5．(题型2)(2022年黑龙江月考)一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，t0为何值时该物体的瞬时速度为1.5．1.1 变化率问题
A级——基础过关练
1．某质点的运动规律为s＝t2＋1，则在时间(2，2＋Δt)内，质点的位移增量等于 ( )
A．4Δt＋(Δt)2 B．4＋Δt＋
C．2Δt＋(Δt)2 D．2＋Δt
2．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，那么在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度是 ( )
A．8＋2Δt B．4＋2Δt
C．7＋2Δt D．－8＋2Δt
3．(2022年重庆模拟)如果质点A运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为 ( )
A．米/秒 B．－米/秒
C．米/秒 D．－米/秒
4．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2.若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体 ( )
A．从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
5．已知一物体做直线运动，其运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足：s(t)＝－t2＋4t，则该物体在t＝1到t＝3这段时间的平均速度为________m/s.
6．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
7．(多选)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则 ( )
A．物体在t＝1 s时的瞬时速度为0 m/s
B．物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s
C．瞬时速度为9 m/s的时刻是在t＝4 s时
D．物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
8．(2022年新疆期中)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
9．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为________，其在t＝________时的瞬时速度为1.
10．在赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2.求当t＝20 s，Δt＝0.1 s时的Δs与.
B级——能力提升练
11．一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后的距离s＝t3－t2－2t＋1，那么速度为零的时刻是 ( )
A．1秒末 B．2秒末
C．3秒末 D．4秒末
12．(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标为 ( )
A．(1，0) B．(1，1)
C．(－1，1) D．(0，1)
13．已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
14．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速运动，位移公式可表示为s＝at2，如果枪弹的加速度a＝5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间t＝1.6×10-3 s，那么枪弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.
15．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx＞0).
(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率．
5．1.1 变化率问题
A级——基础过关练
1．某质点的运动规律为s＝t2＋1，则在时间(2，2＋Δt)内，质点的位移增量等于 ( )
A．4Δt＋(Δt)2 B．4＋Δt＋
C．2Δt＋(Δt)2 D．2＋Δt
【答案】A 【解析】位移增量＝s(2＋Δt)－s(2)＝(2＋Δt)2＋1－(22＋1)＝4Δt＋(Δt)2.
2．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，那么在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度是 ( )
A．8＋2Δt B．4＋2Δt
C．7＋2Δt D．－8＋2Δt
【答案】A
3．(2022年重庆模拟)如果质点A运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为 ( )
A．米/秒 B．－米/秒
C．米/秒 D．－米/秒
【答案】D 【解析】＝＝＝－，所以＝＝－.故选D.
4．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2.若＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体 ( )
A．从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
【答案】B 【解析】根据题＝24.5 m/s，可知该物体从t＝1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度为24.5 m/s.
5．已知一物体做直线运动，其运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足：s(t)＝－t2＋4t，则该物体在t＝1到t＝3这段时间的平均速度为________m/s.
【答案】0 【解析】由Δs＝s(3)－s(1)＝－32＋4×3－(－12＋4×1)＝0，得＝＝0，则该物体在t＝1到t＝3这段时间的平均速度为0 m/s.
6．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】A 【解析】∵k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.
7．(多选)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则 ( )
A．物体在t＝1 s时的瞬时速度为0 m/s
B．物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s
C．瞬时速度为9 m/s的时刻是在t＝4 s时
D．物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
【答案】BCD 【解析】＝＝ (3＋Δt)＝3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s，A错误；＝＝ (1＋Δt)＝1，即物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s，B正确；设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，又因为＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1＝9，所以t0＝4，物体在t＝4 s时的瞬时速度为9 m/s，C正确；＝＝2(m/s)，D正确．故选BCD.
8．(2022年新疆期中)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【答案】A 【解析】由题意可知k＝＝ (Δx＋a)＝a＝1.又因为点(0，b)在切线上，所以0－b＋1＝0，解得b＝1.故选A.
9．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为________，其在t＝________时的瞬时速度为1.
【答案】0 【解析】平均速度为＝＝7t，当t趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，得v＝＝＝14t，所以当v＝1时，t＝.
10．在赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2.求当t＝20 s，Δt＝0.1 s时的Δs与.
解：Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05，故＝＝210.5.
B级——能力提升练
11．一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后的距离s＝t3－t2－2t＋1，那么速度为零的时刻是 ( )
A．1秒末 B．2秒末
C．3秒末 D．4秒末
【答案】B 【解析】根据瞬时速度的定义，知v＝＝＝t2－t－2.令v＝t2－t－2＝0，得t＝2或t＝－1(舍去).
12．(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标为 ( )
A．(1，0) B．(1，1)
C．(－1，1) D．(0，1)
【答案】BC 【解析】设y＝f(x)＝x3－x＋1，则f′(x)＝lim＝＝3x2－1.令3x2－1＝2，即x2＝1，解得x＝±1.又因为f(1)＝1，f(－1)＝1，所以P点坐标为(－1，1)或(1，1).故选BC.
13．已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
【答案】5 4.1 【解析】当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝＝5；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝＝4.1.
14．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速运动，位移公式可表示为s＝at2，如果枪弹的加速度a＝5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间t＝1.6×10-3 s，那么枪弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.
【答案】800 【解析】位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at02＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴lim＝lim＝at0.已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10-3 s，∴at0＝800 m/s，∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
15．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx＞0).
(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率．
解：(1)由题意得，割线AB的斜率为
＝
＝
＝＝－3－Δx，
由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞).
(2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝＝ (－3－Δx)＝－3.
