苏一元二次方程精析精练

苏科版九上一元二次方程精析精练
一、知识梳理
知识点1：一元二次方程的概念
在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程
知识点2：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
例1：判定下列方程哪些是一元二次方程：
（1）；（2）；（3）；
例2：将方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
例3：若方程（m＋2）x2+3x-4=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
知识点3：掌握一元二次方程的解法
（1）直接开平方法 （2）配方法 （3）公式法 （4）因式分解法 ﹡（5）十字相乘法
例4：用直接开平方法解下列方程：
（1）x2－1＝0 （2）16x2－25＝0 （3）（x＋1）2－4＝0
例5：用配方法解下列方程：
（1）x2＋2x＝5 （2） x2－4x＋3＝0 （3）3x2－6x＋1＝0 （4）2x2+3x－2=0
例6：用公式法解下列方程：
（1）2 x2＋x－6＝0 （2）x2＋4x＝2 （3）4x2＋4x＋10＝1－8x
例7：用因式分解法解下列方程：
（1）（x－1）（2x＋1）＝0 （2）x2＝3x （3）（x＋1）2－4＝0
（4）x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0 （5）
例8：用十字相乘法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0 （2）x2－4x＋3＝0 （3）2x2+3x－2=0
知识点4：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例9：不解方程，判别方程2x2+3x-4=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根； B．有两个不相等的实数根；
C．只有一个实数根； D．没有实数根
例10：关于x的方程 有两个不相等的实根，那么m的最大整数（ ）
A．2 B．－1 C．0 D．l
知识点5：一元二次方程的应用
例11：某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
例12：如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
例13：如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？
例14：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，
(1) 若降价3元，那么平均每天就可多售出多少件？盈利多少元
(2) 若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
二、巩固练习
1．方程x2-9=0的解是（ ）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=-3 D．x1=9，x2=-9
2．下列方程中肯定是一元二次方程的是（ ）
A．-ax2+bx+c=0 B．3x2-2x+1=mx2
C．x+=1 D．（a2+1）x2-2x-3=0
3．（2007四川眉山）一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（　　）C
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
5．（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．
6．方程（x-2）（x-3）=6的解为______．
7．已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．
8．若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_____．
9．方程（m+1）|m|+1+（m-3）x-1=0．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
10．解下列方程：
（1）x2-12x-4=0； （2）x2+2x=2；
（3）x2-4x-12=0； （4）（x+1）2-4=0
11．（2008年贵阳市）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
12．(2008年东莞市)如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
13．（2006年重庆市）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
14．填空：
（1）方程x2+2x+1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x1=______，x1·x2=_____；
（2）方程x2-3x-1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____；
（3）方程3x2+4x-7=0的根为x1=_____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题
已知2+是方程x2-4x+C=0的一个根求方程的另一个根及C的值．
15. 解方程x(x1)=2．
有学生给出如下解法：
∵ x(x1)=2=1×2=（1）×（2），
∴ 或或或
解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x=2或x=1．
∴ x=2或x=-1．
请问：这个解法对吗？试说明你的理由．
16.（2006·广东省）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
九上一元二次方程精析精练参考答案
例1：（3）是的
例2：一般形式是，二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－11.
例3：m≠－2
例4：（1）x1=1，x2=－1 （2）x1=1.25，x2=－1.25 （3）x1=1，x2=－3
例5：（1） （2）
考点精练
1．C 2．D 3．C 4．B
5．略 6．x1=0，x2=5 7．10%，146 8．6或10或12
9．（1）m=1，x1= （2）m=0或m=-1
10．（1）x1=6+2，x2=6-2
（2）x1=-1+，x2=-1- （3）x1=6，x2=-2，（4）x1=-3，x2=1
11．设百分率为x，则200（1-x）2=128，
解之得x1=1.8（舍去），x2=0.2，即百分率为20%
12．设售价为x元，则（x-30）[600-（x-40）×10]=10000，
解得x=50，x=80，即售价为50元时进500个．售价为80元时进200个．
13．解：（1）由题意，得70×（1-60%）=70×40%=28（千克）．
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克．
由题意，得：x×[1-（90-x）×1.6%-60%]=12，
整理得x-65x-750=0，解得：x1=75，x2=-10（舍去），（90-75）×1.6%+60%=84%．
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
14．（1）x1=-1，x2=-1，x1+x2=-2，x1·x2=1
（2）x1=，x1+x2=3，x2=-1
（3）x1=1，x2=-，x1+x2=-，x1·x2=-
猜想：ax2+bx+c=0的两根为x1与x2，则x1+x2=-，x1·x2=，
应用：另一根为2-，C=1
15．答案一：
对于这个特定的已知方程，解法是对的．
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对．
答案二：
解法不严密，方法不具有一般性．
理由是：为何不可以2=3×等，得到其它的方程组？此学生的方法只是巧合了，求对了方程的根．
16．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得：
解得：，
当时，20-x=4
当时，20-x=16
答：（略）
（2）不能
理由是：
整理得：
∵
∴此方程无解
即不能剪成两段使得面积和为12cm2