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12.2 三角形全等的判定
第3课时 ASA和AAS
1.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么两个三角形完全一样的依据是( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
第1题图
2.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判断△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD D.AB=AC
第2题图
3.如图所示,AC,BD相交于点E,AB=DC,AC=DB,则图中有全等三角形( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第3题图
4.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破,成了如图所示的四块.聪明的小强经过仔细考虑,认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板.你认为可行的方案是( )
第4题图
A.带其中的任意两块去都可以
B.带1,2或2,3去就可以了
C.带1,3或2,4去就可以了
D.带1,4或2,4或3,4去均可以
5.如图所示,已知∠B=∠DEF,BC=EF,现要证明△DEF≌△ABC,若要以“ASA”为依据,则还缺条件 ;若要以“AAS”为依据,则还缺条件 .
6.如图所示,AB交CD于点O,在△AOC与△BOD中,有下列三个条件:①OC=OD,②AC=BD,③∠A=∠B.请你在上述三个条件中选择两个为条件,另一个能作为这两个条件推出来的结论,并证明你的结论(只要求写出一种正确的选法).
(1)你选的条件为 、 ,结论为 ;
(2)证明你的结论.
7.(2022长沙)如图所示,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
8.(2023荆州期中)如图所示为某单摆装置示意图,摆线长OA=OB=OC= 30 cm,当摆线位于OB位置时,过点B作BD⊥OA于点D,当摆线位于OC位置时,OB与OC恰好垂直,过点C作CE⊥OA于点E,测得CE= 24 cm.
(1)试说明OE=BD;
(2)求AD的长.
9.如图所示,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长度为( )
A.4 B.3 C.2 D.1.5
第9题图
10.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,有以下结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是 .
第10题图
11.如图所示,要测量AB的长.因为无法直接靠近点A,所以在AB所在直线外任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到点G,使DG=BD;延长ED到点F,使DF=ED;连接FG,并延长FG到点H,使点H,D,A在同一条直线上,则AB=HG.试说明这种测量方法的原理,要求写出已知和求证,并进行证明.
12.(推理能力、模型概念)(1)如图(1)所示,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B,C在AE的同侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.求证:DE=BD+CE;
(2)上题中,变成如图(2)所示,B,C在AE的异侧时,BD,DE,CE关系如何 并加以证明.
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12.2 三角形全等的判定
第3课时 ASA和AAS
1.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么两个三角形完全一样的依据是(D)
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
第1题图
2.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判断△ABE≌△ACD的是(B)
A.AD=AE B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD D.AB=AC
第2题图
3.如图所示,AC,BD相交于点E,AB=DC,AC=DB,则图中有全等三角形(C)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第3题图
4.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破,成了如图所示的四块.聪明的小强经过仔细考虑,认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板.你认为可行的方案是(D)
第4题图
A.带其中的任意两块去都可以
B.带1,2或2,3去就可以了
C.带1,3或2,4去就可以了
D.带1,4或2,4或3,4去均可以
5.如图所示,已知∠B=∠DEF,BC=EF,现要证明△DEF≌△ABC,若要以“ASA”为依据,则还缺条件 ∠F=∠ACB ;若要以“AAS”为依据,则还缺条件 ∠D=∠A .
6.如图所示,AB交CD于点O,在△AOC与△BOD中,有下列三个条件:①OC=OD,②AC=BD,③∠A=∠B.请你在上述三个条件中选择两个为条件,另一个能作为这两个条件推出来的结论,并证明你的结论(只要求写出一种正确的选法).
(1)你选的条件为 、 ,结论为 ;
(2)证明你的结论.
(1)解:(答案不唯一)① ③ ②
(2)证明:在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(AAS).
∴AC=BD.
7.(2022长沙)如图所示,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
(1)证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=90°=∠D.
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
(2)解:由(1)知,△ABC≌△ADC,
∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC.
∴S△ABC=AB·BC=×4×3=6.
∴S△ADC=6.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12.
8.(2023荆州期中)如图所示为某单摆装置示意图,摆线长OA=OB=OC= 30 cm,当摆线位于OB位置时,过点B作BD⊥OA于点D,当摆线位于OC位置时,OB与OC恰好垂直,过点C作CE⊥OA于点E,测得CE= 24 cm.
(1)试说明OE=BD;
(2)求AD的长.
解:(1)∵OB⊥OC,
∴∠BOD+∠COE=90°.
又∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°.
∴∠COE=∠B.
在△COE和△OBD中,
∴△COE≌△OBD(AAS).
∴OE=BD.
(2)由(1),知△COE≌△OBD,
∴CE=OD=24 cm.
∵OA=30 cm,
∴AD=OA-OD=6 cm.
9.如图所示,AD,BE是△ABC的高线,AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长度为(C)
A.4 B.3 C.2 D.1.5
第9题图
10.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,有以下结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是 ①③④ .
第10题图
11.如图所示,要测量AB的长.因为无法直接靠近点A,所以在AB所在直线外任取一点D,在AB的延长线上任取一点E,连接ED和BD,并且延长BD到点G,使DG=BD;延长ED到点F,使DF=ED;连接FG,并延长FG到点H,使点H,D,A在同一条直线上,则AB=HG.试说明这种测量方法的原理,要求写出已知和求证,并进行证明.
解:已知DG=DB,DF=DE,点A,H分别为EB,FG延长线上的点,且点A,D,H在一条直线上.
求证:AB=HG.
证明:在△DEB和△DFG中,
∴△DEB≌△DFG(SAS).
∴∠E=∠F.
∴AE∥FH.
∴∠DBA=∠DGH.
在△ADB和△HDG中,
∴△ADB≌△HDG(ASA).
∴AB=HG.
12.(推理能力、模型概念)(1)如图(1)所示,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B,C在AE的同侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.求证:DE=BD+CE;
(2)上题中,变成如图(2)所示,B,C在AE的异侧时,BD,DE,CE关系如何 并加以证明.
(1)证明:∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE.
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AD+AE=BD+CE.
(2)解:BD=DE+CE.证明如下:
∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°.
∵∠ABD+∠BAE=90°,
∠CAE+∠BAE=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE,
∴BD=DE+CE.
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