四川省雅安市名山区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

名山区重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷
姓名 班级 总分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦距为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（ ）
A．6 B． C．8 D．10
5．在四面体中，，D为的中点，E为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．直三棱柱中，若，，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．直线与椭圆E:（）交于，线段的中点，E的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A． B．13 C． D．19
10．已知点，，在平面内，则下列向量为的法向量的是（ ）．
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（　 　）
A．线段长度的最小值为4 B．为锐角 C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为
12．已知分别是双曲线E:的左 右焦点，则下列正确的有（ ）
A．E的离心率为 B．E的渐近线为 C．为 D．直线与E有两个交点
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．检验一批产品，一、二、三等品出现的频率分别为0.8、0.16、0.04，若一、二等品是“优质品”，则这批产品中“优质品”的经验概率为 .
14．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ．
15．已知点、，若是与同向的单位向量，则 ．
16．为抛物线上任意一点，在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为 ．
四、解答题（17题10分，其余每题各12分，共70分）
17．（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线的斜率．
18．圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交两点，且，求.
19．某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在之间），将他们的身高（单位：）分成：，，，…，六组，得到如图所示的部分频率分布直方图.已知身高属于内与内的频数之和等于身高属于内的频数.
（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；
（2）求身高处于内与内的频率之差；
（3）用分层抽样的方法从身高不低于的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于的概率.
20．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.
(1)求证： 直线 平面；
(2)求直线 与平面所成的角的正弦值.
21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的标准方程及实数的值；
（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.
22．已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），为椭圆右焦点，点M满足（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且P为AB中点，求直线AB斜率.
参考答案：
1．C
【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为，
2．B
【详解】由椭圆方程可得：，
所以，
即，所以焦距为，
3．A
【详解】由抛物线得，
所以抛物线的准线方程为.
4．D
【详解】由，得，则，
所以，
因为点在椭圆上运动，所以，
所以的周长为，
5．C
【详解】
6．D
【详解】从，，，，中任取两个不同的数，记为，共有个基本事件，
分别为，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
记“成立”为事件，
若，则且，
所以事件包含个基本事件：，，，，，，
故其概率为．
7．C
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，
，，则，
所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.
8．A
【详解】设，
则有，,
得
即,
两边同时除以，得③
而直线的斜率，即
且的中点为，所以
代入③式得：所以，
所以离心率.
9．BD
【详解】由题知，
或，
解得或.
10．BC
【详解】由题得：，，
设平面的法向量为，
则有 ，
故平面的一个法向量可以为，.
11．ACD
【详解】由题意知，抛物线C的方程为，
线段长度的最小值为通径，A正确；
，轴，∴，
同理，∴，B错误；
设直线，
联立抛物线并整理，得，
设，，
则，，
∵，∴，A，O，三点共线，C正确；
设的中点，
则，，
取时，，D正确；
12．ABD
【详解】双曲线，则，则，
，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，故B正确；
左焦点，故C错误；
直线斜率， ，
则直线与双曲线有两个公共点，故D正确；
13．0.96
【详解】记A=“产品为一等品”，B=“产品为二等品”，C=“产品为优质品”，则，,所以
14．
【详解】因为方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，
所以有，
解得，或.
15．
【详解】由题设，，则，
所以.
16．
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为：直线，
则，
连结，则，
当三点共线时，可使取得最小值，
的最小值为 ，
17．（1） ；（2） ．
【详解】（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，
解得，故所求直线的方程为．
（2）依题意可设所求直线的方程为．
令，得；令，得．
依题意可得，
解得．
18．(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的半径为，则，
故圆的标准方程为：；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
由垂径定理得：，
即，解得：或.
19．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题意知，身高区间为的小矩形的面积为：；
身高区间为的小矩形的面积为：；
身高区间为的小矩形的面积为：；
身高区间为的小矩形的面积为：；
频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为：
.
（2）设身高处于内的频率为，身高处于的频率为，
，解得，，
所以.
（3）由于身高区间为的频率与身高区间为的频率之比为：
，
需要从身高处于选取人，身高处于选取，
身高处于的人记，身高处于的人记，
从中任取3人的取法为：
，共个，
其中这3人中恰好有一人身高不低于的为：
，共个，
所以这3人中恰好有一人身高不低于的概率：
【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，属于基础题.
20．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，.
而, 平面，
故 平面.
（2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.
设 ，则，
从而.
设平面 的法向量为，
，令 ， 则.
设直线 与平面所成的角为，则，
故直线 与平面的所成角的正弦值为.
21．(1) ,(2) .
【详解】试题分析：（1）由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得|NF|，结合|NF|=2，求出p的值，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O到AB的距离，利用△AOB的面积为4，求出k的值，即可求直线l的方程．
试题解析：
（Ⅰ）因为抛物线过点，
又因为， ，
，解得：
，；
（Ⅱ）的焦点，设所求的直线方程为：
由，消去得：
因为直线与抛物线交于两点，，
设，
，
所以的面积为，
解得：，所以所求直线的方程为：.
22．（Ⅰ）. （Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为
，解得，所以椭圆方程为.
（Ⅱ）设双曲线方程为，代入点
解得
即双曲线方程为.
【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线的性质及渐近线应用，属于基础题．