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专项素养训练一 证明三角形全等的基本模型
平移模型
1.如图所示,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:BC=EF.
证明:∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴BC=EF.
2.如图所示,在△ABC与△DEF中,如果AB=DE,BE=CF,∠ABC=∠DEF.求证:AC∥DF.
证明:∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠ACB=∠DFE.
∴AC∥DF.
对称模型
3. (泸州中考)如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CE.
证明:在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴AE=AD.
∴AB-AD=AC-AE,
即BD=CE.
4.如图所示,点C是AB的中点,AE=BD,∠A=∠B.求证:∠E=∠D.
证明:∵点C是AB的中点,
∴AC=BC.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠E=∠D.
5.如图所示,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.求证:(1)AC平分∠BAD; (2)BE=DE.
证明:(1)在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC,
即AC平分∠BAD.
(2)由(1),知∠BAE=∠DAE.
在△BAE与△DAE中,
∴△BAE≌△DAE(SAS).
∴BE=DE.
旋转模型
6.如图所示,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE.
证明:∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°.
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE.
7.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,点E为边BC上的点,且AD⊥BE,点D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
求证:(1)∠EAD=∠BAD;
(2)AC=EF.
证明:(1)∵点D为线段BE的中点,
∴ED=BD.
∵AD⊥BE,
∴∠ADE=∠ADB=90°.
在△AED和△ABD中,
∴△AED≌△ABD(SAS).
∴∠EAD=∠BAD.
(2)由(1),得△AED≌△ABD.
∴AB=EA,∠B=∠AED.
∵EF⊥AE,
∴∠BAC=∠AEF=90°.
∵AF∥BC,
∴∠EAF=∠AEB.
∴∠B=∠EAF.
在△ABC和△EAF中,
∴△ABC≌△EAF(ASA).
∴AC=EF.
一线三等角模型
8.如图所示,已知∠D=∠BCA=∠E,BC=AC.求证:BE=CD.
证明:∵∠ACE=∠A+∠D,
∴∠BCE+∠BCA=∠A+∠D.
∵∠BCA=∠D,∴∠BCE=∠A.
在△BEC和△CDA中,
∴△BEC≌△CDA(AAS).
∴BE=CD.
9.课间,小明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图所示.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)若DE=42 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
(1)证明:由题意,得AC=BC,∠ACB=90°,
AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠ACD+∠DAC=90°.
∴∠BCE=∠DAC.
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
(2)解:∵一块砌墙砖块的厚度为a cm,
∴AD=4a cm,BE=3a cm.
由(1),得△ADC≌△CEB.
∴DC=BE=3a cm,CE=AD=4a cm.
∴DC+CE=7a=42 cm.
∴a=6 cm.
∴砌墙砖块的厚度a为6 cm.
10.如图所示,AB=2,BC=8,AB⊥BC于点B,直线l⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC移动,过点P作PQ⊥PA,交直线l于点Q.
(1)求证:∠A=∠QPC.
(2)求当点P运动到何处时,PA=PQ
(1)证明:∵AB⊥BC,l⊥BC,PQ⊥PA,
∴∠B=∠APQ=∠PCQ=90°.
∴∠A+∠APB=∠APB+∠QPC=90°.
∴∠A=∠QPC.
(2)解:当点P在BC上时,如题图所示,
∵∠B=∠QCP,∠A=∠CPQ,PA=PQ,
∴△ABP≌△PCQ(AAS).
∴PC=AB=2.
如图所示,当点P在BC延长线上时,
同理可得PC=AB=2,
综上所述,当PC=2时,PA=PQ.
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专项素养训练一 证明三角形全等的基本模型
平移模型
1.如图所示,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:BC=EF.
2.如图所示,在△ABC与△DEF中,如果AB=DE,BE=CF,∠ABC=∠DEF.求证:AC∥DF.
对称模型
3. (泸州中考)如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CE.
4.如图所示,点C是AB的中点,AE=BD,∠A=∠B.求证:∠E=∠D.
5.如图所示,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.求证:(1)AC平分∠BAD; (2)BE=DE.
旋转模型
6.如图所示,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE.
7.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,点E为边BC上的点,且AD⊥BE,点D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
求证:(1)∠EAD=∠BAD;
(2)AC=EF.
一线三等角模型
8.如图所示,已知∠D=∠BCA=∠E,BC=AC.求证:BE=CD.
9.课间,小明拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图所示.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)若DE=42 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
10.如图所示,AB=2,BC=8,AB⊥BC于点B,直线l⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC移动,过点P作PQ⊥PA,交直线l于点Q.
(1)求证:∠A=∠QPC.
(2)求当点P运动到何处时,PA=PQ
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