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第2课时 角的平分线的判定
1.如图所示,点E是∠APB内的一点,EC⊥PA于点C,ED⊥PB于点D,CE=ED,点F在PA上,∠APB=60°,∠PEF=15°,则∠CFE的度数为( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
第1题图
如图所示,点O在△ABC内且到三边的距离相等.若∠A=58°,则
∠BOC= .
第2题图
3.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
4.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论中,正确的是( )
A.只有① B.只有②
C.只有①和② D.①,②和③
5.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA于点H.
(1)若PH=8 cm,求点P到直线BC的距离;
(2)求证:点P在∠HAC的平分线上.
6.(推理能力、应用意识、创新意识)如图(1)所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等;
(2)如图(2)所示,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗 请证明你的猜想.
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第2课时 角的平分线的判定
1.如图所示,点E是∠APB内的一点,EC⊥PA于点C,ED⊥PB于点D,CE=ED,点F在PA上,∠APB=60°,∠PEF=15°,则∠CFE的度数为(B)
A.30° B.45° C.50° D.60°
第1题图
2.如图所示,点O在△ABC内且到三边的距离相等.若∠A=58°,则∠BOC= 119° .
第2题图
3.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵D是BC的中点,∴BD=DC.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC,
即AD是△ABC的角平分线.
4.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论中,正确的是(D)
A.只有① B.只有②
C.只有①和② D.①,②和③
5.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA于点H.
(1)若PH=8 cm,求点P到直线BC的距离;
(2)求证:点P在∠HAC的平分线上.
(1)解:过点P作PQ⊥BE于点Q,如图所示.
∵BP平分∠ABC,
PH⊥BA,
∴PQ=PH=8 cm,
即点P到直线BC的距离为8 cm.
(2)证明:∵CP平分∠ACE,PD⊥AC,PQ⊥CE,
∴PD=PQ.
而PH=PQ,
∴PD=PH.
又∵PD⊥AC,PH⊥AH,
∴点P在∠HAC的平分线上.
6.(推理能力、应用意识、创新意识)如图(1)所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等;
(2)如图(2)所示,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗 请证明你的猜想.
(1)证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∴∠EPD=∠DPF,
即PD平分∠EPF.
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)解:若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立.证明如下:
∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∴∠EPD=∠DPF,
即PD平分∠EPF.
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
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