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第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
1.如图所示,点A,C在线段BD的垂直平分线上,若AB=3 cm,CD=7 cm,则四边形ABCD的周长是( )
A.22 cm B.20 cm C.18 cm D.16 cm
第1题图
2.(易错题)如图所示,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB,则下列结论:①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分线上.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第2题图
3.在△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P一定是△ABC( )
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
4.(2022淄博期末)如图所示,在△ABC中,∠BAC=80°,边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,边AC的垂直平分线交AC于点F,交BC于点G,连接AE,AG,则∠EAG的度数为( )
A.35° B.30° C.25° D.20°
第4题图
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AC于点F,交AB于点D,连接BF.若BC=6 cm,BD=5 cm,则△BCF的周长为 .
第5题图
6.如图所示,在△ABC中,直线ED是BC的垂直平分线,直线ED分别交BC,AB于点D,E.已知BD=4,△ABC的周长为20,则△AEC的周长为 .
第6题图
7.如图所示,△ABC的两边AB和AC的垂直平分线DF,EM分别交BC于点D,E,如果边BC长为 8 cm,那么△ADE的周长为 .
第7题图
8.(2022宝鸡期末)如图所示,在△ABC中,AF平分∠BAC交BC于点F,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点D,∠B=60°,∠C=26°,求∠FAE的度数.
9.如图所示,AB=AC,EB=EC,点D是AE上的一点.求证:DB=DC.
10.(2022烟台期末)已知线段AB垂直平分线上有两点C,D,若∠ADB=80°,∠CAD=10°,则∠ACB等于( )
A.80° B.90°
C.60°或100° D.40°或90°
11.如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点G,交CB的延长线于点F,连接DE,AF.
(1)判断DE与AC的位置关系,并证明你所得的结论;
(2)求证:∠C=∠EAF.
12.如图所示,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为18 m,求AB的长;
(2)若∠NCM=50°,求∠F的度数.
13.(推理能力)如图所示,∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AF=6,BC=7,求△ABC的周长.
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第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
1.如图所示,点A,C在线段BD的垂直平分线上,若AB=3 cm,CD=7 cm,则四边形ABCD的周长是(B)
A.22 cm B.20 cm C.18 cm D.16 cm
第1题图
2.(易错题)如图所示,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB,则下列结论:①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分线上.其中正确的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第2题图
3.在△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P一定是△ABC(B)
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点
4.(2022淄博期末)如图所示,在△ABC中,∠BAC=80°,边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,边AC的垂直平分线交AC于点F,交BC于点G,连接AE,AG,则∠EAG的度数为(D)
A.35° B.30° C.25° D.20°
第4题图
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AC于点F,交AB于点D,连接BF.若BC=6 cm,BD=5 cm,则△BCF的周长为 16 cm .
第5题图
6.如图所示,在△ABC中,直线ED是BC的垂直平分线,直线ED分别交BC,AB于点D,E.已知BD=4,△ABC的周长为20,则△AEC的周长为 12 .
第6题图
7.如图所示,△ABC的两边AB和AC的垂直平分线DF,EM分别交BC于点D,E,如果边BC长为 8 cm,那么△ADE的周长为 8 cm .
第7题图
8.(2022宝鸡期末)如图所示,在△ABC中,AF平分∠BAC交BC于点F,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点D,∠B=60°,∠C=26°,求∠FAE的度数.
解:∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,DA=DC.
又∵DE为公共边,∴△EAD≌△ECD(SSS).
∴∠EAC=∠C=26°.
∵∠B=60°,∠C=26°,
∴∠BAC=180°-26°-60°=94°.
∵AF平分∠BAC,
∴∠FAC=∠BAC=47°.
∴∠FAE=∠FAC-∠EAC=21°.
9.如图所示,AB=AC,EB=EC,点D是AE上的一点.求证:DB=DC.
证明:如图所示,连接BC.
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵EB=EC,
∴点E也在线段BC的垂直平分线上.
∴AE是线段BC的垂直平分线.
∴DB=DC.
10.(2022烟台期末)已知线段AB垂直平分线上有两点C,D,若∠ADB=80°,∠CAD=10°,则∠ACB等于(C)
A.80° B.90°
C.60°或100° D.40°或90°
11.如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点G,交CB的延长线于点F,连接DE,AF.
(1)判断DE与AC的位置关系,并证明你所得的结论;
(2)求证:∠C=∠EAF.
(1)解:DE∥AC.证明如下:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD.
∵EF垂直平分AD,
∴AE=DE,AG=DG.
又∵EG为公共边,
∴△AGE≌△DGE(SSS).
∴∠BAD=∠EDA.
∴∠CAD=∠EDA.
∴DE∥AC.
(2)证明:∵EF垂直平分AD,
∴EA=ED,FA=FD.
在△AEF和△DEF中,
∴△AEF≌△DEF(SSS).
∴∠EAF=∠EDF.
由(1),得DE∥AC,
∴∠C=∠EDF.
∴∠C=∠EAF.
12.如图所示,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为18 m,求AB的长;
(2)若∠NCM=50°,求∠F的度数.
解:(1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,
∴MA=MC,BN=CN.
∵△CMN的周长为18 m,
∴CM+MN+CN=18 m.
∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN=18 m.
(2)∵DM垂直平分AC,
∴MA=MC,∠MDC=∠MDA=90°.
又∵MD为公共边,
∴△MDC≌△MDA(SSS).
同理可得△NCE≌△NBE,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B.
∵∠A+∠B+∠ACB=∠A+∠B+∠NCB+∠NCM+∠MCA=180°,
∴2∠A+2∠B+∠NCM=180°,
即2∠A+2∠B+50°=180°.
∴∠A+∠B=65°.
∵DM⊥AC,EN⊥BC,
∴∠A+∠AMD=90°,∠B+∠BNE=90°.
∴∠AMD+∠BNE=90°+90°-65°=115°.
∵∠NMF=∠AMD,∠MNF=∠BNE,
∴∠NMF+∠MNF=115°.
∴∠F=180°-(∠NMF+∠MNF)=180°-115°=65°.
13.(推理能力)如图所示,∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:BE=CF;
(2)若AF=6,BC=7,求△ABC的周长.
(1)证明:如图所示,连接CD,
∵D在BC的垂直平分线上,
∴BD=CD.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∠BED=∠DFC=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴BE=CF.
(2)解:∵DE=DF,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴AE=AF=6.
∴△ABC的周长为AB+BC+AC
=(AE+BE)+BC+(AF-CF)
=AE+BC+AF
=6+7+6
=19.
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