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专项素养训练三 有关线段和差关系的证明
利用角平分线的性质构造全等三角形,证明线段和差关系
1.(2022吉安期中)如图所示,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.
(1)填空:∠BOC= ;
(2)求证:BC=BE+CD.
2.已知AD是△ABC的角平分线,点E为直线BC上一点,BD=DE,过点E作EF∥AB交直线AC于点F.
(1)当点F在边AC的延长线上时,如图(1)所示,易证AF,EF与AB的数量关系为 ;
(2)当点F在边AC上时,如图(2)所示,写出AF,EF与AB的数量关系并证明;
(3)当点F在边AC的延长线上,AD是△ABC的外角平分线时,如图(3)所示,请直接写出AF,EF与AB的数量关系.
“截长补短”法
3. (2022重庆期末)如图所示,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CBA与∠CAB的平分线相交于点P,延长AP交BC于点D,过点P作PH⊥AD交AC于点H,作PM∥AB交AC于点M,若∠CBA=50°.
(1)求∠MPH的度数;
(2)求证:AH+BD=AB.
4.如图所示,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD,E,F分别是边BC,CD的延长线上的点,且∠EAF=∠BAD.求证: EF=BE-FD.
探究问题中的线段和差关系
5.在△ABC中,点D在直线AB上,点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD,∠EAB+∠DCF=180°.
(1)如图(1)所示,求证:AD+BC=BE;
(2)如图(2),图(3)所示,请分别写出线段AD,BC,BE之间的数量关系,不需要证明.
6.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC= 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.
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专项素养训练三 有关线段和差关系的证明
利用角平分线的性质构造全等三角形,证明线段和差关系
1.(2022吉安期中)如图所示,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.
(1)填空:∠BOC= ;
(2)求证:BC=BE+CD.
(1)120°
(2)证明:在BC上截取BF=BE,连接OF,如图所示.
∵OB平分∠ABC,
∴∠ABO=∠CBO.
在△BOE和△BOF中,
∴△BOE≌△BOF(SAS).
∴∠BOE=∠BOF.
∵∠BOC=120°,
∴∠BOE=∠COD=∠BOF=60°.
∴∠COF=60°.
∴∠DOC=∠FOC.
∵OC平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO.
在△COD和△COF中,
∴△COD≌△COF(ASA).
∴CD=CF.
∴BC=BF+CF=BE+CD.
2.已知AD是△ABC的角平分线,点E为直线BC上一点,BD=DE,过点E作EF∥AB交直线AC于点F.
(1)当点F在边AC的延长线上时,如图(1)所示,易证AF,EF与AB的数量关系为 ;
(2)当点F在边AC上时,如图(2)所示,写出AF,EF与AB的数量关系并证明;
(3)当点F在边AC的延长线上,AD是△ABC的外角平分线时,如图(3)所示,请直接写出AF,EF与AB的数量关系.
解:(1)AF+EF=AB
(2)结论:AF-EF=AB.证明如下:
如图所示,延长AD,FE交于点G,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AB,
∴∠G=∠BAD.
∴∠G=∠CAD.
∴FG=AF.
在△ABD和△GED中,
∴△ABD≌△GED(AAS).
∴AB=GE.
∵GE=FG-EF=AF-EF,
∴AF-EF=AB.
(3)AF,EF与AB的数量关系为EF-AF=AB.
“截长补短”法
3. (2022重庆期末)如图所示,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CBA与∠CAB的平分线相交于点P,延长AP交BC于点D,过点P作PH⊥AD交AC于点H,作PM∥AB交AC于点M,若∠CBA=50°.
(1)求∠MPH的度数;
(2)求证:AH+BD=AB.
(1)解:∵∠CBA=50°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=40°.
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠MAP=20°.
∵MP∥AB,
∴∠APM=∠BAD=20°.
∵PH⊥AD,
∴∠APH=90°.
∴∠MPH=∠APH-∠APM=90°-20°=70°.
(2)证明:如图所示,在AB上取BG=BD,连接PG.
∵BP平分∠ABD,
∴∠GBP=∠DBP.
∵BG=BD,BP=BP,
∴△DBP≌△GBP(SAS).
∴∠BGP=∠BDP.
∵∠HPD=∠C=90°,
∴∠PHC+∠PDC=180°.
∵∠PDC+∠BDP=180°,
∴∠PHC=∠BDP.
∴∠PHC=∠BGP.
∴∠AHP=∠AGP.
∵∠GAP=∠HAP,AP=AP,
∴△AGP≌△AHP(AAS).
∴AG=AH.
∴AH+BD=AB.
4.如图所示,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD,E,F分别是边BC,CD的延长线上的点,且∠EAF=∠BAD.求证: EF=BE-FD.
证明:如图所示,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,
∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
在△ABG和△ADF中,
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∵∠EAF=∠BAD=(∠BAG+∠GAD)=(∠DAF+∠GAD)=∠GAF.
∴∠GAE=∠EAF.
在△AEG和△AEF中,
∴△AEG≌△AEF(SAS).
∴EG=EF.
∵EG=BE-BG,BG=DF,
∴EF=BE-FD.
探究问题中的线段和差关系
5.在△ABC中,点D在直线AB上,点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD,∠EAB+∠DCF=180°.
(1)如图(1)所示,求证:AD+BC=BE;
(2)如图(2),图(3)所示,请分别写出线段AD,BC,BE之间的数量关系,不需要证明.
(1)证明:∵∠EAB+∠DCF=180°,
∠BCD+∠DCF=180°,
∴∠EAB=∠BCD.
又∵∠E=∠BDC,AE=CD,
∴△EAB≌△DCB(ASA).
∴BE=BD,AB=BC.
∴AD+BC=AD+AB=BD=BE.
(2)解:图(2)结论:BC-AD=BE.
图(3)结论:AD-BC=BE.
6.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC= 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.
解: EF=BE+DF.理由如下:
如图所示,延长CD到点H,
使DH=BE,连接AH.
在△ABE和△ADH中,
∴△ABE≌△ADH(SAS).
∴∠1=∠2,AE=AH.
∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=60°.
∴∠HAF=∠1+∠3=60°.
∴∠HAF=∠EAF.
在△EAF和△HAF中,
∴△EAF≌△HAF(SAS).
∴EF=HF.
∵FH=DH+DF.
∴EF=BE+DF.
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