华师大版九年级上册22.2.4一元二次方程根的判别式课件（共18页PPT）
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级上册22.2.4一元二次方程根的判别式课件（共18页PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-27 09:45:08 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
九年级上
华师版
22.2.4 一元二次方程根的判别式
CONTENTS
目录
01
学习目标
02
新课引入
03
新知学习
04
课堂小结
1. 了解一元二次方程根的判别式；
2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况；
3. 能够应用根的判别式解决简单的一元二次方程根的问题.
学习目标
重点
重点
难点
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
①
观察上面的式子，思考b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根呢？
新课引入
一、一元二次方程根的判别式
b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根？
思考
∵a ≠0， ∴4a2>0.
式子 b2 - 4ac 的值有以下三种情况：
方程有两个不等的实数根
(1) b2 - 4ac > 0
这时 > 0，由①得
新知学习
(2) b2 - 4ac = 0
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2= - .
(3) b2 - 4ac < 0
这时 < 0，由①可知 < 0 ，而x取任何实数都不能使
< 0 ，因此方程无实数根.
两个相等的实数根
归纳
这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，
即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根
例1 不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)
解：(1) 原方程可变形为
因为 Δ =
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)
(3)
解：(2)
因为 Δ =
所以方程有两个相等的实数根.
解：(3) 原方程可变形为
因为 Δ =
所以方程无实数根.
归纳
判断方程根的情况一般步骤：
3. 判别根的情况，得出结论.
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
1. 化为一般式，确定 a、b、c 的值.
针对训练
1.连线
Δ的值
4
0
根的情况
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根
没有实数根
方程
二 一元二次方程根的判别式的应用
例2 k 取何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 - 12x + 9 = 0 有两个不相等的实数根？
解：∵方程 kx2－12x + 9 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
∴k ≠ 0. 方程根的判别式 Δ = ( -12)2 - 4k×9 = 144 - 36k.
由 144 - 36k > 0，求得 k < 4，又 k ≠ 0，
∴当 k < 4 且 k ≠ 0 时，方程有两个不相等的实数根．
针对训练
2. 关于 x 的一元二次方程 x －10x＋a = 0 有两个相等的实数根，则 a = ______ .
1. 若一元二次方程 kx ＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k ≥ -1
C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0
D
1.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________.
直角三角形
思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0，
∵x的两根相等，
∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，
化简得b2+c2=a2，满足勾股定理， ∴△ABC是直角三角形.
随堂练习
2. 不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) 2y ＋5y＋6＝0; (2) 4x2=12x－9.
解：(1)∵b2 - 4ac
= 5 - 4×2×6 = 25 - 48
= -23<0,
∴方程2y + 5y + 6 = 0没有实数根.
(2) 方程化为：4x2 - 12x + 9 = 0，
∴b2 - 4ac = ( -12)2 - 4×4×9 = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
3.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：因为 Δ =［－(3＋4k)］2-4×2×(2k2+k)=16k+9
(1)∵方程有两个不相等的实数根
∴Δ >0，即16k+9>0，得k>
当k> 时，方程有两个不相等的实数根.
3.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
(2)∵方程有两个相等的实数根
∴Δ =0，即16k+9=0，得k=
当k= 时，方程有两个不相等的实数根.
(3)∵方程没有实数根
∴Δ <0，即16k+9<0，得k<
当k< 时，方程没有实数根.
两个相等的实数根
对于一元二次方程 a x2＋b x＋c = 0 (a≠0)， 这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
课堂小结
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根
九年级上
华师版
22.2.4 一元二次方程根的判别式
CONTENTS
目录
01
学习目标
02
新课引入
03
新知学习
04
课堂小结
1. 了解一元二次方程根的判别式；
2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况；
3. 能够应用根的判别式解决简单的一元二次方程根的问题.
学习目标
重点
重点
难点
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
①
观察上面的式子，思考b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根呢？
新课引入
一、一元二次方程根的判别式
b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根？
思考
∵a ≠0， ∴4a2>0.
式子 b2 - 4ac 的值有以下三种情况：
方程有两个不等的实数根
(1) b2 - 4ac > 0
这时 > 0，由①得
新知学习
(2) b2 - 4ac = 0
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2= - .
(3) b2 - 4ac < 0
这时 < 0，由①可知 < 0 ，而x取任何实数都不能使
< 0 ，因此方程无实数根.
两个相等的实数根
归纳
这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，
即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根
例1 不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)
解：(1) 原方程可变形为
因为 Δ =
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)
(3)
解：(2)
因为 Δ =
所以方程有两个相等的实数根.
解：(3) 原方程可变形为
因为 Δ =
所以方程无实数根.
归纳
判断方程根的情况一般步骤：
3. 判别根的情况，得出结论.
2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号.
1. 化为一般式，确定 a、b、c 的值.
针对训练
1.连线
Δ的值
4
0
根的情况
有两个相等的实数根
有两个不相等的实数根
没有实数根
方程
二 一元二次方程根的判别式的应用
例2 k 取何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 - 12x + 9 = 0 有两个不相等的实数根？
解：∵方程 kx2－12x + 9 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
∴k ≠ 0. 方程根的判别式 Δ = ( -12)2 - 4k×9 = 144 - 36k.
由 144 - 36k > 0，求得 k < 4，又 k ≠ 0，
∴当 k < 4 且 k ≠ 0 时，方程有两个不相等的实数根．
针对训练
2. 关于 x 的一元二次方程 x －10x＋a = 0 有两个相等的实数根，则 a = ______ .
1. 若一元二次方程 kx ＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k ≥ -1
C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0
D
1.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________.
直角三角形
思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0，
∵x的两根相等，
∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，
化简得b2+c2=a2，满足勾股定理， ∴△ABC是直角三角形.
随堂练习
2. 不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) 2y ＋5y＋6＝0; (2) 4x2=12x－9.
解：(1)∵b2 - 4ac
= 5 - 4×2×6 = 25 - 48
= -23<0,
∴方程2y + 5y + 6 = 0没有实数根.
(2) 方程化为：4x2 - 12x + 9 = 0，
∴b2 - 4ac = ( -12)2 - 4×4×9 = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
3.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：因为 Δ =［－(3＋4k)］2-4×2×(2k2+k)=16k+9
(1)∵方程有两个不相等的实数根
∴Δ >0，即16k+9>0，得k>
当k> 时，方程有两个不相等的实数根.
3.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
(2)∵方程有两个相等的实数根
∴Δ =0，即16k+9=0，得k=
当k= 时，方程有两个不相等的实数根.
(3)∵方程没有实数根
∴Δ <0，即16k+9<0，得k<
当k< 时，方程没有实数根.
两个相等的实数根
对于一元二次方程 a x2＋b x＋c = 0 (a≠0)， 这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
课堂小结
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根