江苏省江阴市青阳片2023-2024学年九年级上学期12月作业检查数学试卷（含答案）

2023-2024学年第一学期初三数学12月份作业检查试卷
（满分150 时间120分钟）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）
1．tan45°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
2．下列函数中一定是二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x2+ D．s＝2t2﹣2t+1
3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，AB＝10，那么直径CD的长为（　　）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tanA的值为（　　）
A． B． C． D．2
5．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．任何三角形有且只有一个内切圆
C．长度相等的弧是等弧
D．三角形的外心是三条角平分线的交点
6．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）
A．9 B．36 C．4.5 D．72
7．函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积之差是（　　）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
9．如图，抛物线y＝ x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，﹣3）为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣c的顶点在直线y＝3x+1上，且该抛物线与y轴的交点的纵坐标为n，则n的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）
11．二次函数y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是　 　．
12．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
13．若圆锥的底面半径为6，母线长为8，则这个圆锥的侧面积为 　 　．
14．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 17 7 1 ﹣1 1 …
则当x＝3时，y＝　 　．
16．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　 　．
17．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），弧MN所在圆的圆心在x轴上，其中M（0，3），N（4，5），点P为弧MN上一点，则线段AP长度的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0 （2）x2﹣4x﹣1＝0
20．（8分）解方程：计算：
（1） （2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|
21．（10分）如图，平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），B点坐标（4，1），C点坐标（6，5），请按要求用无刻度直尺在格点图上完成下列作图．
（1）以点A为位似中心，位似比为2：1，将△ABC放大得到△ADE；
（2）△ADE面积为 　 　．
（3）在图中画出△ABC外接圆的圆心P，点P的坐标为 　 　．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
23．（10分）50．如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）无锡市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
25．（10分）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件） 55 65
销售量y（件/天） 90 70
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
26．（10分）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）AC＝　 　cm；BC＝　 　cm；
（2）设点P的运动时间为x秒（x＞0），△PBQ的面积为y cm2，当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在BC上运动时，多少秒时△PBQ的面积为15cm2？
28．（12分）如图a，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣b（a＜0）与x轴的一个交点为B（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图b，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③如图c，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
2023-2024学年第一学期初三数学12月份作业检查试卷
参考答案
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D D B B C A D A
二．填空题（本大题有8小题，每空3分，共24分）
11（2，1） 12．　3　 13. 　48π　 14.
15.　7　 16.﹣2＜x＜3　 17.y＝（x﹣2）2+4 18. 　3　
三、解答题（本大题共10小题，共96分，）
19．（8分）解方程：
解：（1）由原方程得：（x﹣1）2＝25，
得x﹣1＝±5， …………………………（2分）
解得x1＝6，x2＝﹣4， …………………………（4分）
（2）由原方程得：x2﹣4x＝1，
得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5， …………………………（2分）
得，
解得，， …………………………（4分）
20．（8分）计算：
解：（1）原式= …………………………（2分）
=； …………………………（4分）
（2）原式= …………………………（2分）
=
=． …………………………（4分）
（10分）解：（1）如图1所示，△ADE即为所求；
…………………………（4分）
（2）如图2，
S△ADE＝S△AME﹣S△AMD﹣S△EMD
＝×10×10﹣×10×2﹣×10×4
＝20，
故答案为：20； …………………………（7分）
（3）如图3，找到格点F，G，作BC，AC的垂直平分线DF，PG，交于点P，则点..即为所求，
∴P点的坐标为（1，5）．
故答案为：（1，5）． …………………………（10分）
22．（8分）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB， …………………………（2分）
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ADF∽△EAB； …………………………（4分）
（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点，
∴BE＝5，
∴AE＝＝＝13， …………………………（6分）
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝． …………………………（4分）
23．（10分）解：（1）直线AD与圆O相切， …………………………（1分）
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°， …………………………（3分）
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°， …………………………（4分）
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切， …………………………（5分）
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π， …………………………（7分）
∵S△OBC＝BC OH＝×6×3＝9， …………………………（9分）
∴阴影部分的面积为：12π﹣9． …………………………（10分）
24．（10分）解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm， …………………………（2分）
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）； …………………………（5分）
（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H＝80×0.8＝64， …………………………（6分）
则E′C＝＝≈71.1（cm）， …………………………（8分）
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）． …………………………（10分）
25．（10分）解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
∴y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元， …………………………（2分）
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90， …………………………（4分）
∴该天的售价为60元或者90元； …………………………（5分）
（2）根据题意得，
W＝（x﹣50）（﹣2x+200）＝﹣2x2+300x﹣10000＝﹣2（x﹣75）2+1250，……（7分）
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝75时，W有最大值1250， …………………………（9分）
答：当销售单价定为75元时利润最大 …………………………（10分）
26．（10分）解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求； ……………………（3分）
【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求； …………………………（6分）
【问题再解】如图3中，即为所求． …………………………（10分）
27（10分）．解：（1）设AC＝4x cm，BC＝3x cm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
得（4x）2+（3x）2＝102，
解得x＝2（负值舍去），
∴AC＝8cm，BC＝6cm，
故答案为：8，6； …………………………（2分）
（2）解：如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于点H，
∵AP＝x，BQ＝2x，
∴PB＝10﹣x，
∵∠BHQ＝∠BCA＝90°，∠QBH＝∠ABC，
∴△BQH∽△BAC，
∴，
∴，
解得，
∴；………………（4分）
如图3：当Q在CA上运动时，过Q作QH′⊥AB于点H′，
∵AP＝x，B→C→Q的路程为2x，
∴PB＝10﹣x，AQ＝14﹣2x，
∵∠AH′Q＝∠ACB＝90°，∠QAH′＝∠BAC，
∴△AQH∽△ABC，
∴，
∴，
解得，
∴ …（6分）
综上，y＝； …………………………（7分）
（3）解：当点Q在BC上运动时，，
当y＝15时，，
解得，（舍去），
故当点Q在BC上运动时，秒时△PBQ的面积为15cm2． ……………………（10分）
28．（12分）解：（1）D（1，﹣4a）． …………………………（2分）
（2）①有题设知∠ACD＝90°；
a＝﹣1，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． …………………………（5分）
②点M的坐标为（，）；N（，）． …………………………（8分）
③点Q（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．…………………………（12分）