江西省龙南县实验中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题

2014～2015学年度高二年级期末考试
数学试卷（文）　　　2015年2月
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量， ，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.设是两条直线，是两个平面，下列能推出的是( )
A． B． C． D．
3.某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温
17
13
8
2
月销售量（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的=，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
4.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
5.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有( )
A． B． C． D．
6.已知命题p：“x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q:“x∈R使x2+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
7.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（　　）
A．　 B． C． D．
8.设是的一个内角，且，则表示（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
9.已知为的导函数，则的图像是（ ）
10.已知是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ ）
A.3 B. C. D.2
11.若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为（ ）
A. B.8 C. D.2
12.过双曲线 (a>0，b>0)的左焦点F(-c，0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知曲线，则过点的切线方程为____________.
14. 已知函数在区间上有极大值和极小值，则实数的取值范围是 .
15.经过作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围分别为______________.
16.已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知为实常数．命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题q：方程表示双曲线.若命题或为真命题，且命题且为假命题，求的取值范围．
18.（本小题满分12分）
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
合计
105
已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为.
(Ⅰ)请完成上面的列联表；
(Ⅱ)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ;
(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.
参考公式:
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
参考数据：
19.（本小题满分12分）
已知圆的方程:,其中.
（1）若圆C与直线相交于,两点，且,求的值；
（2）在（1）条件下，是否存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
如图，已知平面是等腰直角三角形，其中，且.
(1)在线段上是否存在一点，使平面?
(2)求线段上是否存在点，使得点到面的距离等于1？如果不存在，请说明理由由
21.（本小题满分12分）
如图，设椭圆C:的左、右焦点分别为，短轴的两个端点分别为,且满足，椭圆C经过点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的动直线与椭圆C相交于两点，问：在轴的正半轴上是否存在一个定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若且，函数，若对于，总存在使得，求实数的取值范围．
2014～2015学年度上学期高二年级期末考试
数学试卷（文）参考答案
一、选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
B
D
D
C
C
A
D
B
A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
13.或14. 15. 16.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：若命题为真命题时，，得0＜m＜；
若命题为真命题，则，解得，
由题意，命题或一真一假，则
真假时，，假真时，；故的取值范围是．
18. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
合计
30
75
105
(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.
(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个.
19. （本小题满分12分）
解：（1）圆的方程化为 ，圆心 C（1，2），半径 ，
则圆心C（1，2）到直线的距离为 ，………3分
由于，则，有，
得. …………………………6分
（2）假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为， …………7分
由于圆心 C（1，2），半径， 则圆心C（1，2）到直线的距离为
， …………10分
解得. …………12分
20. （本小题满分12分）
-----------------6分
(2)
所以在线段上只存在一点，当且仅当时，点到面的距离等于1.
---------------------------12分
21. （本小题满分12分）
解答：（ 1）设椭圆的半焦距为，由得，
即，得；因为椭圆C经过点,所以，得，所以椭圆C的标准方程 --------------------------------4分
（2）当直线l与x轴垂直时，将代入到椭圆C的标准方程中得，又，所以存在点满足条件 --------------------------------6分
当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，下面证明无论k取何值，满足条件，设，由题意l的方程为，代入椭圆C的方程中消去y，得
得， ------8分
所以无论为何值都有即以为直径的圆恒过定点.
-------------------------------12分
22．（本小题满分12分）
解（1） ---------------2分
由， ---------------3分
（2）
若， 即在上单调递增 ---------------5分
若，得或（舍）
的单调减区间，单调增区间 ---------------7分
（3）由（2）得在上是减函数
，即值域 ---------------8分
又时 在上是递增。
的值域 ----------------9分
由对于，总存在使得，
即 ----------------------------12分