3.2.2函数的基本性质 教学设计（表格式）

课题 3.2.2函数的奇偶性
课型 新授课 课时 2课时
学习目标 通过观察函数图像的对称性来探究函数奇偶性概念； 会根据函数奇偶性的概念来判断函数的奇偶性； 掌握函数奇偶性的性质及其应用。
学习重点 函数奇偶性概念与性质的简单应用。
学习难点 如何从函数图形特征中抽象出函数奇偶性的符号表达。
学情分析 从学生的认知基础看，学习本课之前，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形的相关知识，对一次函数、二次函数、反比例函数图像比较熟悉，有一定的函数储备量，所以学生很容易从函数图像来判断函数对称性，即获得对函数奇偶性的“图形表征”。加上前面我们已经利用“三步曲”研究了函数的单调性并获得单调性形式化定义，这些为学生扫清了学习本节内容的认知和方法上的障碍。但从思维层面来看，高一学生的思维正在由直观经验型向抽象理论型转变，思维还缺乏深刻性与严谨性，存在片面性，很难从图形的对称性中提炼出其中所蕴含的数字特征，尤其是通过部分数字特征抽象概括出函数奇偶性的符号特征，这些对学生的思维都是一个挑战。
核心知识 函数奇偶性的定义，判断，应用奇偶性解决一些简单问题。
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
（一）、情景导入 前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质. 画出并观察函数的图像，你能发现这两个函数图像 有什么共同特征码？ （二）、预习课本，引入新课 阅读课本82-84页，思考并完成以下问题 1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 （三）、新知探究 1．奇函数、偶函数 （1）偶函数（even function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数（odd function） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 奇偶函数的特点 具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。 （2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数． （3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质． （4）偶函数：f(-x)=f(x)即f(-x)-f(x)=0 奇函数：f(-x)=-f(x)即f(-x)+f(x)=0 （5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 （6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 （四）、典例分析、举一反三 题型一 判断函数奇偶性 例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)为偶函数(3)f(x)为奇函数 (4)f(x)为偶函数 【解析】 的定义域为R，关于原点对称。且 f(-x)=(-x)4=x4=f(x)所以为偶函数. (2) 的定义域为R，关于原点对称。且 所以为偶函数. （3） 的定义域为 ,关于原点对称. 且 所以 为奇函数. （4）的定义域为 ,关于原点对称.且 所以为偶函数. 跟踪训练一 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝ 【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)既是奇函数又是偶函数 (3)f(x)是非奇非偶函数 (4)f(x)为偶函数 【解析】　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 题型二 利用函数的奇偶性求解析式 例2　 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2+3x+1, (1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式. 【答案】(1)-2 (2)f(x)= 【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2. (2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2+3(-x)+1=-2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0. 所以f(x)的解析式为f(x)= 跟踪训练二 1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝ 【解析】当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝ 题型三 利用函数的奇偶性求参 例3 (1)若函数f(x)＝a＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________； (2)已知函数f(x)＝a＋2x是奇函数，则实数a＝________.　 【答案】(1)　0　(2)0 【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 跟踪训练三 1.设函数为奇函数，则a＝________ 【答案】-1 【解析】　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－. 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 解题技巧：（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：） 1.定义法 （1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）. 确定f(－x)与f(x)的关系； （3）.作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 2.图像法 解题技巧：(求函数解析式的注意事项）) 1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式. 若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x); 若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x). 2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉. 解题技巧：（利用奇偶性求参数） 1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参； 2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.
板书设计 3.2.2奇偶性 奇偶性概念 例1 例2 例3 奇偶函数的特点
作业设计 教材习题：课本85页习题3.2 教辅书：《名师经典》课时练习P205-207
教学反思 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
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