3.2.1函数的基本性质 教学设计（表格式）

课题 3.2.1函数的单调性与最大（小）值
课型 新授课 课时 2课时
学习目标 理解函数的单调性。表现在： （1）能够用三种语言描述函数的单调性的含义； （2）能够判断用图象法表示的函数的单调性； （3）能够通过定义证明具体的简单函数在某一区间上是增函数或减函数。 2．在函数单调性概念的形成过程中经历观察、比较、分析、归纳、猜想、证明等一系列思维活动，培养学生的思维能力，逻辑推理能力。使体验并自觉运用“观察——猜想——证明”这一数学发现的基本活动。 3．通过函数单调性的证明，培养学生对代数形式命题的证明能力，渗透理性精神，促使形成严谨论证的思维习惯。 4．通过探究活动的进行，使学生不断获得成功体验，激发学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
学习重点 函数的单调性定义，证明及应用，用单调性求函数最值
学习难点 增（减）函数定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性
学情分析 （1）函数的概念是学习函数单调性的前提，学生已经能够从运动变化和对应两个角度理解函数，对函数概念有了比较深刻的认识。 （2）学生已经对一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数的图象和性质有了一定的了解，已经有了从图象和运动变化角度分析随着自变量的增大函数值增大或减小的经验，同时在前面的学习中，又学习了函数的三种表示及其特点，这使得从学生已有的知识结构中生成函数单调性的概念成为可能。但是高一学生的抽象思维能力和符号表达能力还处于比较低级的水平，可能对生成和理解函数单调性的形式化定义产生一定困难。 （3）学生在初中学习过有关简单的几何命题的证明，对“三段论”式的演绎推理方式已有所运用，具备了一定的推理能力，同时，对不等式的性质也有所了解。这为我们在这节课展开有关函数单调性的证明在思维上和知识上做好了准备。但是，由于关于代数命题，学生一般都是通过合情推理加以验证，这种接受知识的方式导致学生的代数推理的能力较弱，甚至对代数形式证明的意义和必要性认识不够，这给学生学习函数单调性的证明带来一定的困难。
核心知识 函数单调性定义，判断，利用函数单调性求函数最值
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
（一）、情景导入 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？ （二）、预习课本，引入新课 阅读课本76-80页，思考并完成以下问题 1.增函数、减函数的概念是什么？2.如何表示函数的单调区间？ 3.函数的单调性和单调区间有什么关系？4.函数最大(小)值的定义是什么？ 5.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 （三）、新知探究 1．增函数、减函数定义 2、单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3、函数的最大（小）值 最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)M存在x0∈I，使得结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何 意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标
（四）、典例分析、举一反三 题型一 利用图象确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数: (1)y=3x-2; (2)y=-. 【解析】(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数. (2)函数y=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数. 2.一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线. (3)反比例函数y=(k≠0)的单调性如下表所示. 跟踪训练一 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 【答案】单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2] 【解析】f(x)=x|x-2|=图象如下图所示. 由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2]. 题型二 利用函数的图象求函数的最值 例2　已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域. 【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2] 【解析】y=-|x-1|+2=函数图象如图所示 由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2] 解题技巧：(用图象法求最值的3个步骤) 跟踪训练二 1. 已知函数f(x)= (1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 【解析】证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x10,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 解题技巧：（利用定义证明函数单调性的4个步骤） 跟踪训练三 1.求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 【解析】　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10,1f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数. (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+2=4;f(x)的最大值为f(1). ∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5. 跟踪训练四 1.已知函数f(x)＝(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是f(x1)－f(x2) ＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)＝是区间[2,6]上的减函数． 因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4. 题型五 函数单调性的应用 例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f 的大小. 【答案】f≥f(a2-a+1). 【解析】∵a2-a+1=,∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,∴f≥f(a2-a+1). 跟踪训练五 1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围. 【答案】t的取值范围为. 【解析】∵g(x)是[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t), ∴即∴板书设计 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 函数的单调性 例1 例2 例3 单调性证明 最值 2.分段函数
作业设计 教材习题：课本85页习题3.2 1-5 教辅书：《名师经典》课时练习P201-204
教学反思 函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一性质，是后面学习反函数、不等式、导数等内容的基础，又是培养逻辑推理能力的重要素材。它常伴随着函数的其他性质解决问题。
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