第五章 5.2 5.2.1
A级——基础过关练
1．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A． B．－
C． D．－
2．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )
A． B．－
C． D．－
3．sin (－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
4．(多选)若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子有意义的是( )
A．tan α B．sin α
C．cos α D．tan θ＋sin θ
5．已知角θ的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于( )
A．－ B．±
C．－ D．±
6．(2023年朔州期末)点A(cos 2 023°，tan 8)在平面直角坐标系中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(2023年安康期末)sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为( )
A．正 B．0
C．负 D．无法确定
8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(－3，－4)，则sin α＝________．
9．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为________．
10．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；
(2)cos ＋tan .
B级——能力提升练
11．若sin α·cos α＜0，＞0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
12．(2023年重庆期末)已知α是第三象限角，且cos ＞0，则的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝______，tan α＝________．
14．(2023年上海嘉定区期中)若＋＝0，则x是________象限角．
15．已知角α的终边上的点P与点A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
答案
1【答案】A
【解析】因为tan 60°＝，所以＝.故选A.
2【答案】D
【解析】依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)，即(1，－)，则r＝＝2，因此sin α＝＝－.
3【答案】B
【解析】由诱导公式一可得，sin (－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.
4【答案】BC
【解析】由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α无意义．
5【答案】C
【解析】设O为坐标原点，由|OP|2＝＋y2＝1，得y＝±.当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时sin α·tan α＝－.当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时sin α·tan α＝－.故选C.
6【答案】C
【解析】因为2 023°＝360°×5＋223°，180°＜223°＜270°，故2 023°为第三象限角，故cos 2 023°＜0.因为8与8－2π≈1.72终边相同，又＜1.72＜π，故8是第二象限角，故tan 8＜0，则A点在第三象限．故选C.
7【答案】C
【解析】因为sin 1＞0，sin 2＞0，sin 3＞0，sin 4＜0，sin 1·sin 2·sin 3·sin 4＜0.故选C.
8【答案】－
【解析】因为角α的终边经过点P(－3，－4)，所以r＝|OP|＝＝5 ，所以sin α＝＝＝－.
9【答案】
【解析】因为sin (2kπ＋α)＝－(k∈Z)，所以sin α＝－.又角α的终边过点P(3，－4t)，故sin α＝＝－，解得t＝.
10解：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos ＋tan ＝cos ＋tan ＝cos ＋tan ＝＋1＝.
11【答案】D
【解析】由sin α·cos α＜0，得α为第二、四象限角．由＞0，得tan α·sin α＞0，所以α为第一、四象限角．所以α为第四象限角．
12【答案】D
【解析】由α是第三象限角知2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z).所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z).因此，当k是偶数时，是第二象限角；当k是奇数时，是第四象限角．又cos ＞0，因此是第四象限角．故选D.
13【答案】－ ±
【解析】由sin α＝＝，解得m＝±，所以r＝＝2.当m＝时，cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，cos α＝＝－，tan α＝.
14【答案】第二或第四
【解析】因为＋＝0，故sin x，cos x异号．又设角x终边与单位圆交于(m，n)，则sin x＝n，cos x＝m.当sin x＜0，cos x＞0时，即n＜0，m＞0，此时(m，n)在第四象限，即x为第四象限角；当sin x＞0，cos x＜0时，即n＞0，m＜0，此时(m，n)在第二象限，即x为第二象限角．
15解：由题意可知P(a，－b)，
则sin α＝，cos α＝，tan α＝－.
由题意可知Q(b，a)，
则sin β＝，cos β＝，tan β＝，
所以＋＋＝－1－＋＝0.第五章 5.2 5.2.2
A级——基础过关练
1．若α∈且sin3α＝，则cos 3α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sinφ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
4．已知cos α＋sin α＝－，则sin αcos α的值为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
5．(2023年枣庄期末)已知tan θ＝2，则的值为( )
A．－ B．－
C． D．
6．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
7．(多选)(2023年淄博月考)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
8．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝________．
9．已知tanα＝－2，则＝________．
10．已知α∈，且＝.
(1)求tan α的值；
(2)求cos α－sin α的值．
B级——能力提升练
11．化简(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
12．(多选)已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是( )
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1
C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
13．(2023年青岛期末)若tanα＝2，则sin4α＋sinαcos α－cos4α＝________．
14．若tanα＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．
15．(2023年浏阳期末)已知sin θ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根．
(1)求实数m的值；
(2)求＋的值；
(3)若θ∈，求cos2θ的值．
答案
1【答案】B
【解析】∵α∈，∴3α∈，∴cos 3α＞0，∴cos 3α＝＝＝.
2【答案】C
【解析】因为sin φ＝－，所以cos2φ＝1－sin2φ＝1－＝.又因为|φ|＜，即－＜φ＜，所以cosφ＝，从而tan φ＝＝＝－.
3【答案】C
【解析】sin α－cos α＝－，故(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，∴tan α＋＝＋＝＝－8.故选C.
4【答案】A
【解析】由已知得(cos α＋sin α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝－.
5【答案】D
【解析】因为tan θ＝2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝.
6【答案】B
【解析】因为α为第三象限角，所以cosα＜0，sin α＜0.所以原式＝－－＝－3.
7【答案】ABD
【解析】由题知sin θ＋cos θ＝①，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝－＜0.又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，∴sin θ－cos θ＝②.联立①②，得∴tan θ＝－.故选ABD.
8【答案】－
【解析】由已知条件可得角θ的终边在第三象限，∴cos θ＝－＝－＝－.
9【答案】
【解析】因为tan α＝－2，所以＝＝.
10解：(1)由＝，得sin α＝2cos α，∴tan α＝2.
(2)∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝2cos α，
∴cos2α＝.
∵α∈，∴cosα＝.
∴sin α＝2cos α＝.∴cos α－sin α＝－.
11【答案】A
【解析】(1－cos α)＝·(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
12【答案】CD
【解析】∵tan2x－2tan2y－1＝0，－2·－1＝0，整理得sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2y·cos2x，∴(1－cos2x)(1－sin2y)－sin2y·cos2x＝(cos2y＋sin2y)·cos2x，即1－cos2x－sin2y＋sin2y·cos2x－sin2y·cos2x＝cos2x，即sin2y＝1－2cos2x＝2sin2x－1.故选CD.
13【答案】1
【解析】由tanα＝2可得sin4α＋sinαcos α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＋sinαcos α＝sin2α－cos2α＋sinαcos α＝＝＝1.
14【答案】 7
【解析】因为tanα＋＝3，所以＋＝3，即＝3，所以sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7.
15解：(1)因为sinθ，cos θ是方程2x2－(－1)x＋m＝0的两个实数根，
所以sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
由(sin θ＋cos θ)2＝，
则1＋2sin θcos θ＝1＋m＝，所以m＝－.
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)知sin θ＋cos θ＝①，
sin θcos θ＝－，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝＝.
因为θ∈，
所以cos θ＞0，sin θ＜0，cos θ－sin θ＝②，
所以由①②可得cos θ＝，
所以cos2θ＝.第五章 5.3 第1课时
A级——基础过关练
1．(2023年安庆期末)cos的值为( )
A．－ B．－
C． D．
2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin (α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β D．cos (2π－α)＝－cos β
3．已知sin (α＋3π)＝－，且α为第二象限角，则cos α＝( )
A．－ B．
C．－ D．－
4．sin600°＋tan (－300°)的值是( )
A．－ B．
C．－＋ D．＋
5．已知tan ＝，则tan ＝( )
A． B．－
C． D．－
6．若sin (π＋α)＋sin (－α)＝－m，则sin (3π＋α)＋2sin (2π－α)等于( )
A．－m B．－m
C．m D．m
7．(多选)已知sin (π＋θ)＝，则角θ的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．化简·tan (2π－α)的结果为________.
9．sin 315°－cos 135°＋2sin 570°的值是________．
10．已知sin (3π＋α)＝，求
的值．
B级——能力提升练
11．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin (A＋B＋C)＝1 B．sin (A＋B)＝sin C
C．cos (A＋B)＝cos C D．tan (A＋B)＝－tan C
12．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
13．若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则sin α＝________，＝_________．
14．若f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________．
15．在△ABC中，若sin (2π－A)＝－sin (π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求△ABC的三个内角．
答案
1【答案】C
【解析】cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝.
2【答案】C
【解析】由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
3【答案】D
【解析】sin (α＋3π)＝－sin α＝－，则sin α＝.又因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.故选D.
4【答案】B
【解析】原式＝sin (360°＋240°)＋tan (－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝.
5【答案】B
【解析】tan ＝tan ＝－tan ＝－.
6【答案】B
【解析】因为sin (π＋α)＋sin (－α)＝－2sin α＝－m，所以sin α＝，则sin (3π＋α)＋2sin (2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.故选B.
7【答案】CD
【解析】由已知得－sin θ＝，所以sin θ＝－，故角θ的终边在第三或第四象限．
8【答案】－1
【解析】原式＝·tan (－α)＝·＝－1.
9【答案】－1
【解析】sin 315°－cos 135°＋2sin 570°＝sin (360°－45°)－cos (180°－45°)＋2sin (360°＋210°)＝－sin 45°＋cos 45°＋2sin (180°＋30°)＝－＋－2×＝－1.
10解：∵sin (3π＋α)＝，∴sin α＝－.
原式＝＝－sin α＝.
11【答案】BD
【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝π，则sin (A＋B＋C)＝sin π＝0，A错误；sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，B正确；cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，C错误；tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，D正确．
12【答案】B
【解析】a＝－tan ＝－tan ＝－，b＝cos ＝cos ＝，c＝－sin ＝－sin ＝－，∴b＞a＞c.
13【答案】－
【解析】方程5x2－7x－6＝0的两根为π＝－，x2＝2，则sin α＝－.
＝＝－＝.
14【答案】
【解析】f(1)＝sin ＝，f(2)＝sin ＝，f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin ＝－，f(5)＝sin ＝－，f(6)＝sin 2π＝0，f(7)＝sin ＝sin ＝f(1)，f(8)＝f(2)，…，因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝f(1)＋337×0＝.
15解：由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±.∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－＜0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，
∴B＝，∴C＝π.
综上所述，A＝，B＝，C＝π.第五章 5.4 5.4.2 第1课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝cos (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2π B．
C．π D．
3．下列函数中，是奇函数的为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝3x－sin x D．y＝x2＋sin x
4．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
5．(多选)对于函数f(x)＝ax3＋b sin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，其所得出的正确结果可能是( )
A．2和6 B．3和9
C．4和11 D．5和13
6．已知函数f(x)＝sin 2x，则下列关于f(x)的叙述正确的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最小值不是－1
7．(多选)下列函数中，周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝sin 4x
C．y＝sin D．y＝cos
8．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
9．(2023年北京西城区月考)函数f(x)＝的奇偶性为________．
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)?(x)＝cos cos (π＋x)；
(2)?(x)＝ ＋.
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝sin 是( )
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
12．(多选)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是( )
A．－ B．
C．π D．
13．已知f(n)＝sin (n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
14．(2023年河池模拟)设有函数f(x)＝a sin 和函数g(x)＝b cos (a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，则函数f(x)的解析式为________，函数g(x)的解析式为________．
15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
答案
1【答案】B
【解析】由于x∈R，且f(－x)＝cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
2【答案】C
【解析】画出函数f(x)＝2|sin x|的图象(图略)，可知函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为π.故选C.
3【答案】C
【解析】C选项中，令f(x)＝3x－sin x，则f(－x)＝3·(－x)－sin (－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，故函数是奇函数．
4【答案】B
【解析】y＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x，是奇函数，其图象关于原点对称．
5【答案】ABD
【解析】设F(x)＝f(x)－c＝ax3＋b sin x，∵F(－x)＝a(－x)3＋b sin (－x)＝－(ax3＋b sin x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．∴F(－1)＝－F(1).又F(－1)＝f(－1)－c，F(1)＝f(1)－c，因此f(－1)－c＝－f(1)＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c.由c∈Z知f(1)＋f(－1)为偶数，故A，B，D有可能正确，而4与11的和15为奇数，C不可能正确．故选ABD.
6【答案】B
【解析】f(x)是偶函数；f(x)的最小正周期为T＝＝π；f(x)的最大值是1，最小值是－1.故选B.
7【答案】AC
【解析】由y＝|cos x|的图象知，y＝|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确；B中函数的周期为，且为奇函数，所以B不正确；C中y＝sin ＝cos 2x，所以C正确；D中函数y＝cos x的周期为4π，所以D不正确．
8【答案】0
【解析】因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.
9【答案】非奇非偶函数
【解析】由sin x＋1≠0，得x≠－＋2kπ，k∈Z，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
10解：(1)因为x∈R，f(x)＝cos ·cos (π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x，
所以f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x＝－f(x).
所以函数f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
所以f(x)＝ ＋的定义域为R.
因为f(－x)＝＋＝ ＋＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
11【答案】B
【解析】f(x)＝sin ＝－sin ＝－cos 2x，则函数f(x)是偶函数，函数的最小正周期T＝＝π，即f(x)是最小正周期为π的偶函数．故选B.
12【答案】ABD
【解析】因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数．所以φ＝＋kπ，k∈Z，对k赋值可得解．
13【答案】＋1
【解析】f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
14【答案】f(x)＝sin g(x)＝cos
【解析】∵f(x)和g(x)的最小正周期和为，∴＋＝，解得k＝2.∵f＝g，∴a sin ＝b cos ，即a·sin ＝b·cos ，∴a＝b，即a＝b①.又f＝－g－1，则有a·sin ＝－b·cos －1，即a＝b－1②.由①②解得a＝b＝1，∴f(x)＝sin ，g(x)＝cos .
15解：(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x).
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，
f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
又当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.第五章 5.4 5.4.3
A级——基础过关练
1．(2023年遵义月考)函数f(x)＝图象的对称轴方程为( )
A．x＝＋(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝＋(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
2．函数y＝tan 的一个对称中心是( )
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
3．当－＜x＜时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不是对称图形
4．（2023年玉树月考）f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为2π，则ω＝( )
A． B．
C．1 D．2
5．（多选）（2023年宁晋期末）下列四个函数中，以π为周期，且在区间上单调递减的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝cos 2x
C．y＝－tan x D．y＝sin |2x|
6．函数y＝tan 在一个周期内的图象是下图中的( )
7．已知函数y＝tan ωx在内单调递减，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
8．函数y＝tan 的定义域为 .
9．函数y＝tan ，x∈的值域是 Ｗ．
10．（2023年襄阳期末）设函数f(x)＝tan .
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求不等式f(x)≤的解集．
B级——能力提升练
11．（2023年江门期末）已知函数f(x)＝2tan ，则下列判断正确的是( )
A．f(x)的定义域是
B．f(x)的值域是R
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的最小正周期是π
12．（多选）已知函数f(x)＝tan x，x1，x2∈(x1≠x2)，则下列结论正确的是( )
A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)
C．＞0 D．f＞(x1x2＞0)
13．－tan 与tan 的大小关系是 Ｗ．
14．函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的最大值为 ，最小值为 Ｗ．
15．若x∈，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
答案
1【答案】A
【解析】由函数y＝|tan x|的对称轴为x＝(k∈Z)，令2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).故选A.
2【答案】C
【解析】令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
3【答案】C
【解析】由题意得定义域关于原点对称，又因为tan |－x|＝tan |x|，故原函数是偶函数，其图象关于y轴对称．故选C.
4【答案】B
【解析】∵f(x)＝tan (ω＞0)的图象与直线y＝a(a∈R)的两相邻交点间的距离为＝2π，∴ω＝.故选B.
5【答案】AC
【解析】∵y＝|sin x|的最小正周期为＝π，且在区间上单调递减，故A满足条件．∵y＝cos 2x的最小正周期为＝π，且在区间上单调递增，故B不满足条件．∵y＝－tan x的最小正周期为π，且在区间上单调递减，故C满足条件．∵y＝sin |2x|没有周期性，故D不满足条件．故选AC.
6【答案】A
【解析】由函数周期T＝＝2π，排除选项B，D.将x＝代入函数式中，得tan ＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A.
7【答案】B
【解析】因为y＝tan ωx在内是减函数，所以ω＜0且T＝≥π，所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
8【答案】
【解析】由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
9【答案】（1, ]
【解析】由0＜x≤，得0＜≤，从而＜＋≤，所以tan ＜tan ≤tan ，即1＜tan ≤.
10解：(1)对于函数f(x)＝tan ，
令kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，
得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
可得函数f(x)的单调增区间为，k∈Z；
此函数没有减区间．
(2)不等式f(x)≤，即tan ≤，
∴kπ－＜－≤kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，
∴不等式f(x)≤的解集为，k∈Z.
11【答案】B
【解析】对于函数f(x)＝2tan ，应有2x＋≠kπ＋，k∈Z，求得x≠＋，k∈Z，可得函数的定义域为，故A错误；显然，函数y的值域为R，是非奇非偶函数，故B正确，C错误；函数的最小正周期为，故D错误．
12【答案】AC
【解析】f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；f(x)＝tan x在区间上单调递增，故C正确；由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f＞，在区间上有f＜，故D不正确．
13【答案】－tan ＜tan
【解析】－tan ＝－tan ，tan ＝－tan ＝－tan .因为0＜＜＜＜π，所以tan ＞0，tan ＜0，所以－tan ＜－tan ，即－tan ＜tan .
14【答案】4 －4
【解析】∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1，1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝1，即x＝时，ymax＝4；当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4.
15解：y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1.
因为x∈，所以tan x∈.
所以当tan x＝－1，即x＝－时，y取最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取最大值5.第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A级——基础过关练
1．cos 16°cos 44°－cos 74°sin 44°＝( )
A． B．－
C． D．－
2．已知tan α－tan β＝－，tan (α－β)＝－，则tan α·tan β等于( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知A＋B＝，则tan A＋tan B＋·tan A tan B－的值等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．1－
4．(多选)下列四个选项，化简正确的是( )
A．cos (－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝0
C．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
5．已知cos ＝2cos (π＋α)，且tan (α＋β)＝，则tan β的值为( )
A．－7 B．7
C．1 D．－1
6．(多选)下列式子或叙述正确的为( )
A．tan ＝－tan θ
B．存在α，β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β
C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β
D．对任意α，β，tan (α－β)＝tan α－tan β
7．已知cos (α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α＝( )
A． B．
C．－ D．－
8．已知sin x＝，x∈，则tan 的值等于________．
9．已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．
10．求下列各式的值：
(1)；
(2)(1＋tan 25°)(1＋tan 20°).
B级——能力提升练
11．sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)＝( )
A．±1 B．1
C．－1 D．0
12．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
13．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则tan (α＋β)＝________，α＋β＝________.
14．二十大报告中提到： “中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶”．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝________．
15．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈.
(1)求cos (2α－β)的值；
(2)求β的值．
答案
1【答案】C
【解析】cos 16°cos 44°－cos 74°·sin 44°＝cos 16°cos 44°－sin 16°sin 44°＝cos (16°＋44°)＝cos 60°＝.故选C.
2【答案】B
【解析】因为tan α－tan β＝2，tan (α－β)＝－，所以＝－，即tan αtan β＝.
3【答案】C
【解析】tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)＝(1－tan A tan B)，所以tan A＋tan B＋tan A tan B－＝0.
4【答案】BCD
【解析】对于A，原式＝cos (30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.对于B，原式＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos (76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．故选BCD.
5【答案】B
【解析】因为cos ＝2cos (π＋α)，所以sin α＝－2cos α，即 tan α＝－2.又因为tan (α＋β)＝＝＝，解得tan β＝7.故选B.
6【答案】BC
【解析】tan ＝＝＝，A不正确；存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确；存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确；对任意α，β，tan (α－β)＝，D错误．故选BC.
7【答案】B
【解析】因为0＜α＜，－＜β＜0，所以0＜α－β＜π.又因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝.因为－＜β＜0，sin β＝－，所以cos β＝.所以cos α＝cos [(α－β)＋β]＝cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝×－×＝.
8【答案】－
【解析】因为sin x＝，x∈，所以cos x＝－，tan x＝－.所以tan ＝＝＝－.
9【答案】－
【解析】因为tan α，tan β是方程2x2＋3x－5＝0的两个实数根，所以tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝－.所以tan (α＋β)＝＝＝－.
10解：(1)原式＝＝＝tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 25° tan 20°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋1＋tan 25°tan 20°＝2.
11【答案】D
【解析】原式＝sin [60°＋(θ＋15°)]＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)＝－cos (θ＋15°)＋sin (θ＋15°)＋cos (θ＋45°)＝sin (θ－45°)＋cos (θ＋45°)＝0.故选D.
12【答案】CD
【解析】∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan (A＋B)＝，∴选项A，B错误；∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，∴tan A·tan B＝①，又∵tan A＋tan B＝②，联立①②解得tan A＝tan B＝，∴cos B＝sin A，故选项C，D正确．
13【答案】－1
【解析】因为(tan α－1)·(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1.因此tan (α＋β)＝＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
14【答案】
【解析】设直角三角形较短的直角边长为a，则较长的直角边长为a＋1，斜边长是5，根据勾股定理得a2＋(a＋1)2＝25，解方程得a＝3，直角三角形中较大的锐角为θ，tan θ＝，则tan ＝＝＝.
15解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈.
又因为sin (α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜.
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝.
cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.又因为β∈，所以β＝.第五章 5.5 5.5.1 第3课时
A级——基础过关练
1．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin 2α＝( )
A． B．
C．－ D．
2．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．－2
3．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos 15° B．1－2sin215°
C．sin215°＋cos215° D．
4．(2023年安阳模拟)已知θ∈，且sin 2θ＝，则tan θ＝( )
A． B．
C． D．或
5．(2023年重庆模拟)已知P(1，2)为角α终边上一点，则＝( )
A．－ B．
C．－3 D．
6．设sinα＝，2π＜α＜3π，则sin ＋cos 等于( )
A．－ B．
C． D．－
7．(多选)函数f(x)＝sin x cos x的单调递减区间可以是( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
8．(2023年镇远月考)已知sin α－cos α＝，则cos ＝________．
9．已知tan x＝2，则tan 的值为________．
10．(2023年北京朝阳区期末)已知tan(π－α)＝2.
(1)求tan 2α的值；
(2)求的值．
B级——能力提升练
11．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．(多选)(2023年济南月考)下列各式中，与tan α相等的是( )
A．
B．
C．·(α∈(0，π))
D．
13．已知cos ＝，则sin ＝________，sin 2α＝________．
14．已知sinα＋cos α＝，α∈，sin ＝，β∈，则tan 2α＝________，cos (α＋2β) ＝________．
15．(2023年南宁期末)已知0＜α＜，sin α＝.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 的值；
(3)若0＜β＜且cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
答案
1【答案】A
【解析】由题意，得cos α＝，sin α＝，可得sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选A.
2【答案】A
【解析】由题意可得sin α＝－＝－，所以tanα＝2，所以tan 2α＝＝－.故选A.
3【答案】BD
【解析】对于A，2sin15°cos 15°＝sin 30°＝，A不符合；对于B，1－2sin215°＝cos30°＝，B符合；对于C，sin215°＋cos215°＝1，C不符合；对于D，＝·＝·tan30°＝，D符合．故选BD.
4【答案】B
【解析】∵sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝，∴tanθ＝或.∵θ∈，∴tan θ＞1，故tan θ＝.故选B.
5【答案】A
【解析】由题意知P(1，2)为角α终边上一点，则|OP|＝，∴sinα＝，故cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，故＝＝－.故选A.
6【答案】A
【解析】因为sin α＝，所以＝1＋sin α＝.又因为2π＜α＜3π，所以π＜＜，所以sin ＋cos ＜0，所以sin ＋cos ＝－.
7【答案】BCD
【解析】f(x)＝sin x cos x＝sin 2x.由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).故选BCD.
8【答案】
【解析】∵sin α－cos α＝，两边平方得1－sin 2α＝，∴sin 2α＝，∴cos ＝cos ＝sin 2α＝.
9【答案】
【解析】∵tan ＝＝＝，
∴tan ＝＝.
10解：∵tan (π－α)＝2，∴tan α＝－2.
(1)tan 2α＝＝＝.
(2)＝＝＝＝－3.
11【答案】B
【解析】由sinB sin C＝cos2，得sinB sin C＝，所以2sin B sin C＝1＋cos A．所以2sin B sin C＝1＋cos [π－(B＋C)]＝1－cos (B＋C).所以2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C，所以cos B cos C＋sin B sin C＝1.所以cos (B－C)＝1.又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°，则B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
12【答案】BCD
【解析】对于A，原式＝＝＝|tan α|，错误；对于B，原式＝＝＝tan α，正确；对于C，因为α∈(0，π)，sin α＞0，所以原式＝·＝·＝＝tan α，正确；对于D，原式＝＝＝tan α，正确．故选BCD.
13【答案】 －
【解析】因为α＋＝α－＋，所以sin ＝sin ＝cos ＝.因为2α＝2＋，所以sin 2α＝sin ＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
14【答案】 －
【解析】由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝，又∵易知2α∈，∴cos 2α＝＝，∴tan2α＝＝.∵β∈，β－∈，sin ＝，∴cos ＝，∴sin 2＝2sin ·cos ＝.
又∵sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－.又易知2β∈，∴sin 2β＝.又∵cos2α＝＝，∴cos α＝，∴sin α＝，∴cos (α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－.
15解：因为0＜α＜，sin α＝，
所以cos α＝＝，tanα＝＝.
(1)tan 2α＝＝＝－.
(2)因为cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2sin αcos α＝，
所以cos ＝(cos 2α－sin 2α)＝×＝－.
(3)因为0＜β＜，0＜α＜，所以α＋β∈(0，π)，
又cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)·cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.第五章 5.6 第2课时
A级——基础过关练
1．已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
2．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
3．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin ＋2
C．y＝2sin ＋2 D．y＝2sin ＋2
4．(多选)设函数f(x)＝sin 的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．x＝－是曲线E的一条对称轴
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为
C．将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin 上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，与曲线E重合
5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
6．(2023年齐齐哈尔期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝( )
A．sin B．2sin
C．sin D．2sin
7．(2023年宁晋期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的相邻的两个零点之间的距离是，且直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f＝( )
A． B．
C．－ D．－
8．函数y＝2sin 图象的对称轴方程是________．
9．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________．
10．如图所示的是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域．
B级——能力提升练
11．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
12．(多选)(2023年哈尔滨二模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(x)＝2cos
B．当f(x)＞1时，x的取值范围为
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后的一条对称轴方程为x＝
D．函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称
13．函数f(x)＝A sin (A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，函数f(x)取得最大值3，当x＝时，函数f(x)取得最小值－3，则函数解析式为 Ｗ．
14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)图象的对称轴方程为 ，函数的最小正周期为 Ｗ．
15．（2023年漳州期末）已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的周期为π，最大值为2，且过点(0，－1).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
答案
1【答案】D
【解析】因为f(x)＝－cos x，故根据余弦函数的图象可知D是错误的．故选D.
2【答案】A
【解析】由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin .该函数图象关于点对称．
3【答案】D
【解析】由题意可得A＝＝2，m＝＝2，ω＝＝＝4.∵直线x＝是其图象的一条对称轴，∴ω＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋－(k∈Z).∴当k＝1时，φ＝－＝.∴符合条件的一个解析式为y＝2sin ＋2.
4【答案】AB
【解析】f(x)＝sin 的图象为曲线E，令x＝－，求得f(x)＝－1，为最小值，故x＝－是曲线E的一条对称轴，A正确；若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为＝×＝，B正确；将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，可得y＝sin 的图象，C错误；将曲线y＝sin 上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin 的图象，与曲线E不重合，故D错误．
5【答案】D
【解析】当x＝－时，y＝0，由此可排除选项B，C；当x＝时，y＝1，由此可排除选项A.故选D.
6【答案】D
【解析】由题意可知f(x)的最小正周期为，所以ω＝＝4.因为f(0)＝，所以sin φ＝.因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .故选D.
7【答案】A
【解析】由题意可知×＝，∴ω＝6.∵直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴6×＋φ＝kπ＋，结合0＜φ＜，可知φ＝，∴f(x)＝sin ，则f＝sin＝sin ＝.故选A.
8【答案】x＝＋(k∈Z)
【解析】令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
9【答案】
【解析】由题意设函数周期为T，则＝－＝，所以T＝.所以ω＝＝.
10解：(1)由题图知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝.
所以f(x)＝2sin .
将点(－1，0)代入，得2sin ＝0.
因为|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin .
(2)因为－1≤x≤2，则0≤x＋≤，
所以0≤sin ≤1，
0≤2sin ≤2.
所以f(x)的值域为[0，2].
11【答案】D
【解析】由f＝f知，x＝是函数图象的对称轴，则有f＝－3或f＝3.故选D.
12【答案】ABD
【解析】根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，可得A＝2，＝＋，∴ω＝2.由2×＋φ＝kπ，|φ|＜，得φ＝，∴f(x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，故A正确；f(x)＞1，即cos ＞，∴2kπ－＜2x－＜2kπ＋，解得kπ＜x＜kπ＋，k∈Z，故B正确；函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝2cos ＝2sin 2x的图象，令2x＝kπ＋，求得x＝＋，令＋＝，解得k＝，不合题意，故C错误；由于f＝2cos ＝2cos (π－2x)＝－2cos 2x＝g(x)，故函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称，故D正确．故选ABD.
13【答案】f(x)＝3sin
【解析】由题意可知A＝3，＝－＝，所以T＝π.因此＝π，即ω＝2.故f(x)＝3sin .
14【答案】x＝＋，k∈Z π
【解析】由函数的图象可得A＝1，T＝2＝π.因为T＝，解得ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).由图象可得sin ＝0，可得－＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.又由|φ|＜，得φ＝，f(x)＝sin .令2x＋＝kπ＋，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
15解：(1)由已知得A＝2，ω＝＝＝2，
∴f(x)＝2sin (2x＋φ).
把(0，－1)代入，得2sin φ＝－1，
由|φ|＜，可得φ＝－，
∴f(x)＝2sin .
(2)由0≤x≤，得－≤2x－≤，
∴sin ∈，
2sin ∈[－1，2]，
∴f(x)在区间上的最大值是2，最小值是－1.第五章 5.7
A级——基础过关练
1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．(2023年太原期末)简谐运动可用函数f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A． B．－
C．8x－ D．8x
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝3 D．ω＝，A＝5
6．(2023年杭州期末)如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D．
7．(多选)下图是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
8．简谐运动y＝－3sin (x≥0)的频率为________．
9．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行______次．
10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
B级——能力提升练
11．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是( )
A．， B．，
C．， D．，
12．(多选)交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin 来表示，则下列说法中正确的是( )
A．开始时电压为110伏
B．电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒
C．电压的最大值为220伏
D．第一次获得最大值的时间为秒
13．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s和时间t的函数关系式为s＝6sin ，则单摆的运动周期为________，最大位移是________．
14．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是________元．
15．(2023年西安期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100 m，最低点距离地面10 m，摩天轮上均匀设置了依次标号为1～36号的36个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30 min.
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
答案
1【答案】C
【解析】相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.
2【答案】D
【解析】由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C.
3【答案】B
【解析】当x＝0时，8×0－＝－，则这个简谐运动的初相为－.故选B.
4【答案】C
【解析】由y＝－sin 的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故选C.
5【答案】B
【解析】因为水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2米，A＝3，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以ω＝.
6【答案】D
【解析】因为当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故×2＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈(－π，π)，故φ＝，故h＝2sin ，故当t＝0时，h＝2sin ＝.故选D.
7【答案】ABD
【解析】由图可得半个周期为0.4 s，所以周期为0.8 s，A正确；平衡位置为x轴，最低点纵坐标是－5，故振幅为5 cm，B正确；当质点位于最高点或最低点时速度为零，故C错误，D正确．
8【答案】
【解析】由诱导公式可知y＝－3sin ＝3sin ，故频率为＝.
9【答案】25
【解析】∵周期T＝＝(s)，∴频率为每秒50次，∴0.5 s往复运行25次．
10解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12，所以ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
所以y＝10sin ＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).
又因为|φ|＜，所以φ＝.
所以所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
11【答案】C
【解析】由题意可知，A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin .由sin φ＝，得sin φ＝.因为|φ|＜，所以φ＝.因此频率是，初相为.
12【答案】ABCD
【解析】当t＝0时，E＝110伏，即开始时的电压为110伏，A正确；T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒，B正确；电压的最大值为220伏，C正确；当100πt＋＝，即t＝秒时，第一次取得最大值，D正确．
13【答案】1 6
【解析】T＝＝1，最大位移为振幅6.
14【答案】9 000
【解析】因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
15解：(1)根据题意设H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为100 m，最低点距离地面10 m，即解得A＝45，B＝55，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min，
所以T＝＝30，解得ω＝，
因为t＝0时，H(0)＝10，所以10＝45sin φ＋55，即sin φ＝－1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以H(t)＝45sin ＋55，t∈[0，30].
(2)因为甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，设甲、乙两人对应的位置分别为B，A，如图所示．
则∠AOB＝×(7－1)＝，经过t min后甲距离地面的高度为H1＝45sin ＋55，点A始终落后B点 rad，
所以乙距离地面的高度为H2＝45sin ＋55，
所以两人距离地面的高度差为h＝|H1－H2|＝45
＝45
＝45
＝45，t∈[0，30]，
当t－＝或t－＝，即t＝10或t＝25时，h取得最大值为45 m.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为45 m．第五章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2023年榆林一模)已知tan＝9，则tan α＝( )
A． B．－
C． D．－
2．已知点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．函数y＝的最小正周期是( )
A．2π B．π
C． D．
4．(2023年东莞模拟)已知2sin2θ－3sin θ－2＝0，θ∈，则cos θ的值为( )
A． B．
C． D．
5．(2023年梅州一模)已知sin＝，则cos＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0 B．0
C．－2或0 D．－2或2
7．(2023年连云港模拟)若函数f(x)＝·sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，则常数m的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )
A．1 B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列计算正确的有( )
A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1
B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1
C．＝
D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－
10．(2023年福州期末)若α∈(0，π)，sin α－cos α＝，则( )
A．tan α＝ B．sin 2α＝
C．sin α＋cos α＝ D．cos 2α＝－
11．要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin的图象C2( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．先作关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度
D．先作关于x轴对称的图象C3，再将图象C3向左平移个单位长度
12．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x，x∈R，则( )
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为π
D．直线x＝为f(x)图象的一条对称轴
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．
14．(2023年赣州模拟)已知cos＝，则sin＝________．
15．(2023年银川期末)目前中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为________米．
16．将函数f(x)＝2sin x图象的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin(－1 380°)cos 1 110°＋tan 405°．
18．(12分)(2023年银川期末)已知角α以x轴的非负半轴为始边，P(，－1)为终边上一点．
(1)求cos 2α，tan 2α的值；
(2)求的值．
19．(12分)(2023年黄山期末)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α∈，其终边与以原点为圆心的单位圆O交于点P．
(1)将射线OP绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆O于点Q，求点Q的坐标；
(2)若角γ∈，且cos(γ－α)＝，求sin γ的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．
21．(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋sincos－(x∈R)．
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若f＝，求sin 2α的值．
22．(12分)已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω＞0)的两个相邻的零点．
(1)求f的值；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝1在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
答案
1【答案】A
【解析】由tan＝＝9，解得tan α＝．故选A．
2【答案】B
【解析】由sin α＞0，tan α＜0，所以角α的终边在第二象限．
3【答案】C
【解析】函数y＝＝＝tan 2x 的最小正周期为．故选C．
4【答案】B
【解析】因为θ∈，则sin θ∈(－1,1)，cos θ＞0，因为2sin2θ－3sin θ－2＝(2sin θ＋1)(sin θ－2)＝0，则sin θ＝－，因此cos θ＝＝．故选B．
5【答案】A
【解析】由－2α＝π－2可得cos＝cos＝－cos 2，由二倍角公式可得－cos 2＝2sin2－1＝2×2－1＝－，即cos＝－．故选A．
6【答案】D
【解析】由f＝f(－x)，得直线x＝＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2．故选D．
7【答案】C
【解析】f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋cos 2x＋m＋1＝2sin＋m＋1，当0≤x≤时，≤2x＋≤，则函数的最大值为f(x)＝2sin＋m＋1＝m＋3＝6，解得m＝3．故选C．
8【答案】C
【解析】由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)．将点P的坐标代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为|φ|＜，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝．故选C．
9【答案】CD
【解析】对于A，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B错误；对于C，＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD．
10【答案】ACD
【解析】因为α∈(0，π)，sin α－cos α＝，所以sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，即1－2sin αcos α＝1－sin 2a＝，所以2sin αcos α＝sin 2α＝，B错误；所以sin α＝，cos α＝，tan α＝，sin α＋cos α＝，A，C正确；cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，D正确．故选ACD．
11【答案】ABC
【解析】对于A，将y＝sin的图象C2向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin＝cos 2x的图象C1，故A正确；对于B，将y＝sin的图象C2向右平移个单位长度，可得y＝sin＝sin＝cos 2x的图象C1，故B正确；对于C，先作C2关于x轴对称的图象，即y＝－sin的图象C3，再将图象C3向右平移个单位长度，得到y＝－sin＝－sin＝cos 2x的图象C1，故C正确；对于D，先作C2关于x轴对称的图象，即y＝－sin的图象C3，再将图象C3向左平移个单位长度，得到y＝－sin＝－sin＝－cos 2x的图象，故D不正确．
12【答案】CD
【解析】f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，所以f(x)的最大值为2，最小正周期为T＝＝π，故A错误，C正确；由f(x)＝0，得2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以f(x)在(0，π)内的零点为，，故B错误；由f＝2sin＝2，得直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选CD．
13【答案】
【解析】由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝＝＝．
14【答案】－
【解析】因为sin＝sin＝－cos 2＝1－2cos2＝－．
15【答案】121
【解析】如图所示，设最高点为P，最高点P在地面的射影点为Q，则|PQ|＝160，设座舱A在最低点时为点B,10分钟后座舱A位于点A处，则根据题意可得∠AOB＝×10＝，∴∠AOP＝，过点A作AH⊥OP，垂足点为P，又∵|OA|＝|PO|＝78，∠AOP＝，∴|OH|＝|OA|＝39，∴|PH|＝|PO|－|OH|＝39，∴A离地面的高度为|HQ|＝|PQ|－|PH|＝160－39＝121．
16【答案】2sin
【解析】将函数f(x)＝2sin x图象的每个点的横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin 2x的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．若函数g(x)在区间，上单调递增，则求得≤a≤，则实数a的取值范围是．
17解：(1)原式＝sin＋tan＝sin＋tan＝＋．
(2)原式＝sin(－4×360°＋60°)cos(3×360°＋30°)＋tan(360°＋45°)＝sin 60°·cos 30°＋tan 45°＝×＋1＝．
18解：角α以x轴的非负半轴为始边，P(，－1)为终边上一点，
则tan α＝－．
(1)cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，tan 2α＝＝－．
(2)＝＝tan α＝－．
19解：(1)由题意可知2＋y2＝1，
因为α∈，所以y＝－．
所以cos α＝，sin α＝－．
又因为射线OQ是角的终边，
由三角函数的定义可知，yQ＝sin＝cos α＝，xQ＝cos＝－sin α＝，
所以点Q的坐标为．
(2)因为γ∈，则γ－α∈(0，π)，
所以sin(γ－α)＝＝，
所以sin γ＝sin[(γ－α)＋α]＝sin(γ－α)·cos α＋cos(γ－α)sin α＝×＋×＝．
20解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx
＝sin ωxcos ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋．
因为ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1．
(2)由(1)知f(x)＝sin＋．
由题意，知g(x)＝f(2x)＝sin＋．
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1，所以1≤g(x)≤．
故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1．
21解：f(x)＝cos2x＋sincos－
＝＋－
＝
＝
＝
＝sin．
(1)因为x∈，
所以2x＋∈，
所以sin∈，
则f(x)max＝，f(x)min＝－．
(2)由f＝，得sin＝，
所以sin＝．
所以sin 2α＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝．
22解：(1)f(x)＝－
＝
＝
＝
＝
＝sin．
由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，
所以＝π，所以ω＝1．
故f(x)＝sin．
所以f＝sin＝sin＝．
(2)原方程可化为×sin＝m＋1，
即2sin＝m＋1．
设y＝2sin，0≤x≤，
当x＝0时，y＝2sin＝，
当x＝时，y的最大值为2．
要使方程在x∈上有两个不同的解，需使≤m＋1＜2，即－1≤m＜1，所以m∈[－1,1)．
