2023学年第一学期九年级数学学科期中测试答题卷
19.(本题6分)
一、选择题（每小题3分，共30分)
(1)
(2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0·
二、填空题（每小题4分，共24分）
11
12.
13.
20.(本题8分)
14.
15.
6
58
三、解答题(66分)
17.(本题6分)
计算：c0s30°.tan60°-c0s245+tan45°.
D
32m
21.(本题8分)
E
18.(本题6分)
(1)
(2)
0
22.(本题10分)
24.(本题12分)
(1)
(1)
E
M
(2)
D
C
(图1)
(2)
M
23.(本题10分)
D
(1)
(备用图)
(3)
A
(3)
(图2)
2参考答案与评分标准
一.选择题（每小题3分，共30分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D B B C B C B D
二．填空题（每小题4分，共24分）
5 12． 40° 13． 10
14． -6＜x＜2 15． （±2，4） 16．
三．解答题（共66分）
17．（本题6分）
cos30°·tan60°-cos245°+tan45°
= 4分
= 5分
=2 6分
18．（本题6分）
（1）0.95 3分
（2）100件 6分
（本题6分）
（1）作图略 3分
（2）2π 6分
（本题8分）
过作于
四边形是矩形
， 2分
由题意可知：
4分
6分
8分
答：建筑物的高约为、的高约为．
（本题8分）
证明：连结OD
由=，知∠CAD=∠BAD
由OA=OD， 知∠OAD=∠ODA
故∠CAD=∠ODA
所以OD∥AE 4分
已知DE⊥AC，则半径OD⊥DE 6分
所以DE是⊙O的切线 8分
22．（本题10分）
（1）由∠BAC=90°，M是BC的中点，得：AM=BM=CM
故∠CAM=∠C 1分
结合AD⊥AM，可得∠DAB=∠C 3分
又因为∠D=∠D 4分
所以△DBA∽△DAC 5分
利用相似求出BD：AD=1：2 7分
再次用相似或勾股定理求出AD=2 10分
23．（本题10分）
（1）T（4，-10） 2分
（2）由P坐标（2，-3） 3分
圈心坐标为（4，-1） 6分
（3）设P坐标（t，at2），则OQ=|t|，PQ=at2
可证明△OTQ∽△QOP 7分
可得OT=OQ2/PQ=1/a 9分
由于原点（0，0）所对圈心坐标为（0，1/a ）
故命题成立 10分
24．（本题12分）
连结AB，AC
由AD⊥BC知AB=AC 1分
结合BF=CG，∠ABF=∠ACG 2分
故△ABF ≌ △ACG 3分
所以AF=AG 4分
（2）连结AM
由（1）知∠BAF=∠CAG，可得∠FAG=∠BAC 5分
由M，D分别为AG，BC中点可证∠MAG=∠DAC
从而可知∠MAD=∠GAC 6分
可证AM：AG=AD：AC 7分
可得△MAD ∽△GAC
所以 8分
（3）连结AE，AC，连结CF交AD于H，连结MH
先证H为OD中点，再证明MH=OH=HD，从而∠OMD=90° 10分
（倒角也同样给分）
不妨设CG=1，则OG=x，利用△AEC ∽ △MOD（或三角函数）
可求出：
12分2023 学年第一学期九年级数学学科期中测试卷
一、选择题（每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如果 x : y=2 :3，那么 x :（x+y）=（ ▲ ）
A．2:5 B．5:2 C．3:5 D．5:3
2 .下列事件中，属于随机事件的是（ ▲ ）
A．太阳从东边升起 B．从地面向上抛的硬币会落下
C．射击运动员射击一次，命中 10环 D．小明跑步速度是 30米/秒
3．地铁站有 A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从 A入口进，F出口出的概率是（ ▲ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
4．抛物线 y=2x2-4x+1与坐标轴交点个数是（ ▲ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．一个扇形的半径为 3，圆心角为 120°，则该扇形的面积是（ ▲ ）
A．π B．3π C．6π D．9π
2
6．已知 tanA= ，则 cosA=（ ▲ ）
3
3 5 2 5 3 13 2 13
A． B． C． D．
5 5 13 13
7．如图，在△ABC中，点 D，E分别在 AB，AC边上，DE∥BC，若 AD=2CE，BD=3，AE=4，
则 CE=（ ▲ ）
A．2 B． 6 C．3 B．2 6
8．点 P，点 Q是线段 AB的黄金分割点，若 AB=2，则 PQ长度是（ ▲ ）
A．1 B．3- 5 C． 2 5 - 4 B． 5 -1
9．如图，Rt△ABC中，斜边 BC=10，AC=6，内切圆 I切各边为 D，E，F，连结 EF，
作 DG⊥EF交 AB于 G，则 GD长为（ ▲ ）
A．7 B． 2 10 C． 4 3 D．3 5
（第 7题） （第 9题）
1
10．已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数 y=ax2-2ax+b（a＞0）的图象上，若 y1＞y2，
则必有（ ▲ ）
A．x1＞x2＞1 B． x1＜x2＜1
B．| 1 1| < | 2 1| D． | 1 1| > | 2 1|
二、填空题（每小题 4分，共 24分）
11．一个正多边形每个内角都是 108°，则正多边形边数是 ▲ ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠A=50°，则∠OBC的度数是 ▲ ．
13．如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上 ， 两端点的距离为 6cm，
OA：OC=OD：OB=3：5，则容器的内径 BC长为 ▲ cm．
14．设二次函数 是常数， ，如表列出了 ， 的部分对应值．
则不等式 的解集是 ▲ ．
15．若抛物线经过原点和点 A（6，6）及点 B（-6，6），点 C是 x轴上一点，当△ABC的
重心 G落在抛物线上时，则点 G的坐标是 ▲ ．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点 D，若∠ACB=2∠BAD，
AB 10
当 时，则⊙O半径与 BC的比值为 ▲ ．
AC 5
（第 12题） （第 13题） （第 16题）
三、解答题（第 17~19题各 6分，第 20，21题各 8分，第 22，23题各 10分，
第 24题 12分，共 66分）
17．计算：cos30°·tan60°-cos245°+tan45°．
2
18．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数(件) 50 100 200 500 800 1000
合格频数 47 95 188 480 763 949
合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.95 0.95
（1）任抽一件衬衣是合格品的概率(结果精确到 0.01)；
（2）估计出售 2000件衬衣，其中次品大约有几件．
19．如图，已知⊙O．
（1）用直尺和圆规作出圆的内接正六边形 ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若⊙O半径为 6，求 AB的长度（结果保留π）．
（第 19题）
20．如图，测得两楼之间的水平距离为 32m，从楼顶点 A观测点 D的俯角为 45°，观测点 C
的俯角为 58°，分别求这两幢楼的高度（结果精确到 1m）．
参考数据： ， ，
（第 20题）
3
21．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且有C D = B D，连结 AD，AC，
作 DE⊥AC延长线于点 E．求证：DE是⊙O的切线．
（第 21题）
22．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是 BC的中点，过点 A作 AM的垂线，交 CB
的延长线于点 D．
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）当 AB=3，AC=6时，求 AD长．
（第 22题）
4
23．阅读材料：
地球行星防御理事会截获了来自半人马座三体星系的信息，得知了这个异星世界的数学
知识中有被称为“圈”的图形．有好几种人类已知的图形符合“圈”的定义，抛物线就是其
中之一！如果把抛物线看做“圈”，它将满足以下基本事实：对抛物线上的任意一个定点 M，
在它内部必定有一定点 T，过 T 的任意直线交抛物线于 A，B 两点（都不同于点 M），使得
∠AMB 始终为直角，并把 T 称为 M 所对的“圈心”；其中 M，T 满足如下关系：它们的横
坐标的和为抛物线顶点横坐标的 2 倍，T 与 M 的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数．
（ 节选自《三体---罗辑前传》 ）
根据材料提供的基本事实，解答下列问题：
1
（1）点 M（-4，-8 y - x2）是抛物线 上一点，直接写出 M所对的“圈心”T的坐标；
2
1 2
（2）点 P是抛物线 y x 3x 1上的点，它的横坐标是 2，求 P所对的“圈心”坐标；
2
（3）点 P是抛物线 y=ax2（a＞0）上不同于原点 O的任意一点，PQ⊥x轴于 Q，
作 QT⊥OP交 y轴于点 T，求证：点 O所对的“圈心”是点 T．
（第 23题）
5
24．如图 1，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于 D交圆于点 A．E是 AB上任意一点（不与 A，B
重合），连结 BE，CE，在线段 BE，CE上各取一点 F，G，使得 BF=CG，连结 AF，AG，
FG，并取 FG中点 M，连结 DM．，
（1）求证：AF=AG；
（2）求证： sin AGF DM ；
CG
OG OM
（3）如图 2，当 CE是⊙O直径，F是 BE中点时，连结 OM，设 x， y，
CG OD
用 x的代数式表示 y．
（24题图 1） （24题图 2）
62023学年第一学期九年级数学学科期中测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如果x : y=2 :3，那么x :（x+y）=（ ▲ ）
A．2:5 B．5:2 C．3:5 D．5:3
2 .下列事件中，属于随机事件的是（ ▲ ）
太阳从东边升起 B．从地面向上抛的硬币会落下
C．射击运动员射击一次，命中10环 D．小明跑步速度是30米秒
3．地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y=2x2-4x+1与坐标轴交点个数是（ ▲ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则该扇形的面积是（ ▲ ）
A．π B．3π C．6π D．9π
6．已知tanA=，则cosA=（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=2CE，BD=3，AE=4，则CE=（ ▲ ）
A．2 B． C．3 B．
8．点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PQ长度是（ ▲ ）
A．1 B． C． B．
9．如图，Rt△ABC中，斜边BC=10，AC=6，内切圆I切各边为D，E，F，连结EF，
作DG⊥EF交AB于G，则GD长为（ ▲ ）
A．7 B． C． D．
（第7题） （第9题）
10．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y=ax2-2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，
则必有（ ▲ ）
x1＞x2＞1 B． x1＜x2＜1
D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．一个正多边形每个内角都是108°，则正多边形边数是 ▲ ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠A=50°，则∠OBC的度数是 ▲ ．
13．如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上，两端点的距离为6cm，
OA：OC=OD：OB=3：5，则容器的内径BC长为 ▲ cm．
14．设二次函数是常数，，如表列出了，的部分对应值．
则不等式的解集是 ▲ ．
若抛物线经过原点和点A（6，6）及点B（-6，6），点C是x轴上一点，当△ABC的
重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是 ▲ ．
如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，若∠ACB=2∠BAD，
当时，则⊙O半径与BC的比值为 ▲ ．
（第12题） （第13题） （第16题）
解答题（第17~19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，
第24题12分，共66分）
17．计算：cos30°·tan60°-cos245°+tan45°．
18．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数件
合格频数
合格频率
（1）任抽一件衬衣是合格品的概率结果精确到；
（2）估计出售件衬衣，其中次品大约有几件．
19．如图，已知⊙O．
（1）用直尺和圆规作出圆的内接正六边形ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若⊙O半径为6，求的长度（结果保留π）．
（第19题）
20．如图，测得两楼之间的水平距离为32m，从楼顶点A观测点D的俯角为45°，观测点C的俯角为58°，分别求这两幢楼的高度（结果精确到1m）．
参考数据：，，
（第20题）
如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且有=，连结AD，AC，
作DE⊥AC延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．
（第21题）
22．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB
的延长线于点D．
求证：△DBA∽△DAC；
当AB=3，AC=6时，求AD长．
（第22题）
23．阅读材料：
地球行星防御理事会截获了来自半人马座三体星系的信息，得知了这个异星世界的数学知识中有被称为“圈”的图形．有好几种人类已知的图形符合“圈”的定义，抛物线就是其中之一！如果把抛物线看做“圈”，它将满足以下基本事实：对抛物线上的任意一个定点M，在它内部必定有一定点T，过T的任意直线交抛物线于A，B两点（都不同于点M），使得∠AMB始终为直角，并把T称为M所对的“圈心”；其中M，T满足如下关系：它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，T与M的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数．
（ 节选自《三体---罗辑前传》 ）
根据材料提供的基本事实，解答下列问题：
点M（-4，-8）是抛物线上一点，直接写出M所对的“圈心”T的坐标；
（2）点P是抛物线上的点，它的横坐标是2，求P所对的“圈心”坐标；
（3）点P是抛物线y=ax2（a＞0）上不同于原点O的任意一点，PQ⊥x轴于Q，
作QT⊥OP交y轴于点T，求证：点O所对的“圈心”是点T．
（第23题）
如图1，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于D交圆于点A．E是上任意一点（不与A，B重合），连结BE，CE，在线段BE，CE上各取一点F，G，使得BF=CG，连结AF，AG，FG，并取FG中点M，连结DM．，
（1）求证：AF=AG；
（2）求证：；
（3）如图2，当CE是⊙O直径，F是BE中点时，连结OM，设，，
用x的代数式表示y．
（24题图1） （24题图2）2023学年第一学期九年级数学学科期中测试答题卷
一、选择题（每小题3分,共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每小题4分,共24分）
三、解答题（66分）
A
E
F
M
0
G
B
D
C
T
P
0
2
E
C
D
A
0
B
A
E
0
F
M
G
B
D
C
