2026 届高一数学周考试题
命题人：景维龙 考试时间：2023 年 12 月 20 日
一、选择题（本大题共 8 小题 ，每小题 4 分，共 32 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．函数 f (x) e x ln x 1的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2023
2 2．已知 sin(2021 ) 3sin( )，则 sin sin cos 2cos2 的值为（ ）
2
A. 3 2 2 3 B. C. D.
5 5 5 5
3．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具
有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者
的一只手臂长约为 米，整个肩宽约为 米.“弓”所在圆的半径约为 1.25米.则掷铁饼
4 8
者双手之向的距离约为（ ）(参考数据： 2 1.414, 3 1.73 )
A. 1.612米 B. 1.768米 C. 1.868米 D. 2.045米
4．若 cos(
π
) 1 ，则 cos(
5π
) sin( 5π ) （ ）
6 3 6 3
A. 0 B. 2 C. 1 2 2 D. 1 2 2
3 3 3
x
e 2,x 1
5．已知函数 f x ，则函数 g x f f x 2 f x 1
ln x 1
的零点个数是（ ）, x 1
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一
些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立
自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”
问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司 2020年全年投入芯
片制造方面的研发资金为 120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增
长 9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200亿元的年份是（ ）
参考数据： lg1.09 0.0374， lg2 0.3010， lg3 0.4771.
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
7．已知函数 f (x) 2x x 4， g(x) e x x 4 ，h(x) ln x x 4的零点分别是 a，b，c，
则 a，b，c的大小顺序是（ ）
A. a b c B. c b a C. b a c D. c a b
8．设函数 f (x)的定义域为R ，满足 f (x 1) 2 f (x)，且当 x (0,1]时， f (x) x(x 1)．若
1
对任意 x ( ,m]，都有 f (x) ，则 m的取值范围是（ ）
2
A. ( , 3] B. ( , 10 2 ] C. ( , 5] D. ( , 10 2 ]
2 4 2 4
二、选择题（本题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 4 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
2x , x 0
9．已知 x 0时， x log2 x，则关于函数 f x
，下列说法正确的是（ ）
log2x , x 0
A．方程 f x x的解只有一个 B．方程 f f x 1的解有五个
C．方程 f f x t 0 t 1 的解有五个 D．方程 f f x t t 1 的解有五个
{#{QQABAYIAggioABJAARgCAQXYCkEQkAGACKoGABAEsAIBAANABAA=}#}
10．已知 f (x)的定义域为 R 且 f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，且对任意的x1，
f (x
x 1,2 x ≠x 2
) f (x1)
2 ，且 1 2，都有 0x x ，则下列结论正确的是（ ）2 1
A． f (x)是偶函数 B． f 2023 0
1,0 f 7f (x) 19 C. 的图象关于 对称 D． f4 8
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）
11．在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于 x轴对称.若角
3 的终边与单位圆交于点 P m， ，则 sin _____________。
5
12．已知函数 y f (x) x 3为偶函数,且 f (10) 10，若函数 g(x) f (x) 6，g( 10) ________。
13 x．已知函数 f x 2 ln e 1 x，则 f x 的值域为_____________。
14．设函数 f x 是定义在 R上的偶函数，对任意 x R，都有 f (x 4) f (x) ，且当 x [ 2,0]
x
f (x) 1 时， 1，若在区间 ( 2,10]内关于 x的方程 f (x) loga (x 2) 0(a 1)至少有 4
2
个不同的实数根，至多有 5个不同的实数根，则 a的取值范围是_____________。
四、解答题：（本题共 4 小题，共 44 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题共 12 分）
sin 2π cos π π 11π cos cos
1 2
2
（ ）化简：
cos π sin 3π sin π sin 9π 2
cos 1 sin （2）化简：． sin 1 cos ( 为第四象限的角）
1 sin 1 cos
n
（3）化简： sin( ) (n Z )
2
1 1
16．（本小题共 12 分）已知正实数 a，b满足 1 .求
a b
（1） a 2b的最小值；
4a 9b
（2） + 的最小值；
a-1 b-1
（3）16a2 b2 32a 2b的最小值。
2
17．（本小题共 10 分）已知函数 f x loga mx 4x 16 (a 0且 a 1) .
（1）若 f x 的值域为R ，求m的取值范围.
（2）试判断是否存在 m R ，使得 f x 在 2,4 上单调递增，且 f x 在 2,4 上的最大值为 1.
若存在，求m的值（用 a表示）；若不存在，请说明理由。
f x log x log 4 x 1 g x 4x 4 x a 2x a 2 x18．（本小题共 10 分）已知函数 2 x （ ） 1．
（1）求 f x 的最小值；
（2）设不等式 f x 3的解集为集合A，若对任意 x1 A，存在 x2 0,1 ，使得 x1 g x2 ，
求实数 a的值。
{#{QQABAYIAggioABJAARgCAQXYCkEQkAGACKoGABAEsAIBAANABAA=}#}2026 届高一数学周考试题参考答案
1．C【详解】由 f x 0可得 ln x e x ，作出函数 y ln x 与 y e x的图象如下
图所示：由图可知，函数 y ln x 与 y e x的图象的交点个数为 2，
故函数 f x 的零点个数为 2 .故选：C.
2.C.【详解】化简可得 sin 3cos ，即 tan 3，所以
2 2 2
sin2 sin cos 2cos2 sin sin cos 2cos tan tan 2 9 3 2 2 2 .故选：C.sin cos2 tan2 1 9 1 5
5 5
3.B【详解】由题得：“弓”所在的弧长为： l ；R 1.25 ，所以其所对的
4 4 8 8 4
5
圆心角
l
8 5 ；∴两手之间的距离 d R
2 R2R 2 2 1.25 1.768
.故选：B.
4
π 1 5π π 5π 3π π 3π
4．A【详解】依题，令 t，则sint , π
π t， t，6 3 6 6 3 2 6 2
5π
所以 cos( ) sin(
5π
) =cos(π t) sin(3π t) cos t cos t 0 .故选：A
6 3 2
5．B【详解】令 t f x ， g x 0，则 f t 2t 1 0，即 f t 2t 1，
分别作出函数 y f t 和直线 y 2t 1的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横
坐标设为 t1， t2 ，
则 t1 0，1 t2 2，对于 t f x ，分别作出函数 y f x 和直线 y t2 的图象，如图
所示，由图象可得，当 f x t1 0时，即方程 f x 0有两个不相等的根，
当 t2 f x 时，函数 y f x 和直线 y t2 有三个交点，即方程 t2 f x 有三个不相等
的根，综上可得 g x 0的实根个数为5，即函数 g x f f x 2 f x 1的零点个
数是 5.故选：B.
6．D【详解】设 2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过 200
n 5
亿元，由120 (1 9%) n 200 得 (1.09) ，两边同取常用对数，得
3
n lg5 lg3 1 lg2 lg3 5.93
lg1.09 lg1.09 ，所以 n 6，所以从 2026年开始，该公司全年投入芯片制
造方面的研发资金开始超过 200亿元.故选：D．
7．C【详解】由已知条件得 f (x)的零点可以看成 y 2x与 y 4 x的交点的横坐标，g(x)的
零点可以看成 y ex 与 y 4 x的交点的横坐标， h(x)的零点可以看成 y ln x与 y 4 x的
交点的横坐标，在同一坐标系分别画出 y 2x， y ex ， y ln x， y 4 x的函数图象，如
下图所示,可知 c a b，故选：C .
8．B【详解】解： x (0,1]时， f (x)=x(x 1)， f (x+1)=2 f (x)， f (x) 2 f (x 1)，即 f (x)
右移 1个单位，图像变为原来的 2倍．如图所示：当2 x 3时，f (x)=4f (x 2)=4(x 2)(x 3)，
4(x 2)(x 3) 1 x 10 2 x 10+ 2令 ，解得 ， ，所以要使对任意 x ( ,m]，都2 1 4 2 4
f (x) 1
10 2
有 10 2，则m ， m , ，故选：B．2 4 4
2x , x 0
9．ACD【详解】作出 f x 图象，如图，A项，因为 x log2 x，显然 y x
log2x , x 0
与 f (x)有唯一交点，故正确；
{#{QQABAYIAggioABJAARgCAQXYCkEQkAGACKoGABAEsAIBAANABAA=}#}
B项，令 f (x) t，则 f (t) 1 t 0 t
1
或 或 t 2 f (x) 0或 f (x)
1
或
2 2
f (x) 2 6个解，故错误；
C项，令u f (x)，则 f (u) t (0,1) u1 0,u2 (0,1),u3 (1,2)
f (x1) 0, f (x2 ) (0,1), f (x3) (1,2) x1 , x2有 3个解，
x3有 2个解，共有 5个解，故正确；
D项，令u f (x)，则 f (u) t (1, ) u1 (0,1),u2 (2, )
f (x1) (0,1), f (x2 ) (2, ) x1有 3个解，x2有 2个解，共有 5个解，故正确.故选择 ACD
10．ABC【详解】 f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，所以 f (x)的图象关于点 (1，0)对称
且关于直线 x 2对称，所以 f (1 x)= f (1 x)， f (2 x)=f (2 x)， f (1) 0，
f (2 x) f (2 x) f (1 1 x)= f [1 (1 x)] f (x)
f (x 4) f (2 x)=f (x)，所以 f (x)是周期函数，4是它的一个周期．
f ( 1) f (3) f (2 1) f (2 1) f (1) 0，
f (2023) f (4 506 1) f ( 1) 0，B正确；
f ( x) f (2 x) f (2 x) f [2 (2 x)]=f (x)， f (x)是偶函数，A正确；因此 f (x)的图
f x f x
象也关于点 ( 1,0) 1 2对称，C正确；对任意的 x1, x2 1,2 ，且 x1 x2 ，都有 0x1 x2
即1 x1 x2 2时， f (x1) f (x2)，所以 f (x)在 (1, 2)是单调递增，
f ( 7)=f (7 ) 19， f ( )=f (
19 19 13 7 13 7 13
) f ( 4) f ( )， 2 1， f ( ) f ( ) ，
4 4 8 8 8 8 4 8 4 8
f ( 7 ) f (19∴ )，故 D错．故选：ABC．
4 8
3 3
11．- 【详解】因为角 与角 的终边关于 x轴对称，且角 的终边与单位圆交于点 P m，
5 5
，
3
所以角
3 3
的终边与单位圆交于点Q m，- 5
，又 OQ 1，所以sin 5 3 .故答案为：- 1 5 5
12．2016【详解】设 F x f x x3，则F x F x ，有 f ( 10) 1000 f (10) 1000，得
f ( 10) 2010，故 g( 10) f ( 10) 6 2016，故答案为：2016
x 2
13. 2ln 2, 【 f x e 1详解】 的定义域 R∵ f x 2ln ex 1 x ln x ln ex 1 x 2 ，e e
1 1 1
∵ xx e 2 2 x e
x 2 4，当且仅当 x 0时取等∴ f x ln ex 2
ln 4 2ln 2
e e ex
∴ f x 的值域为 2ln 2, ．
14．[2, 3 12) .【详解】由对任意 x R，都有 f (x 4) f (x) ，可得函数 f x 的周期为 4，
又由函数 f x 为偶函数，可得函数 f x 的图象关于 y轴对称，因为方程 f(x) loga(x 2) 0(a 1)，
可看成函数 y f x 与 g x loga (x 2)图象在区间 ( 2,10]上的交点至少有 4个，至多有 5
x
个，如图所示由当 x [ 2,0]时， f (x) 1 1，可得 f 2 (
1) 2 1 3，
2 2
g 6 3 loga 8 3
结合图象可得 3g 10 3，即 log 12 3，解得 2 a 12，所以实数
a的取值
a
范围是[2, 3 12) .故答案为：[2, 3 12) .
{#{QQABAYIAggioABJAARgCAQXYCkEQkAGACKoGABAEsAIBAANABAA=}#}
sin cos sin cos 5 π π 2 sin
15.【详解】（1）原式 tan
cos sin π π cos sin π sin 4π
2
（2）由题知，1 sin 0,1 cos 0
π
，得 2kπ且 π 2kπ,k Z ，当
2
π 2kπ,k Z时，sin 1,cos 0，原式 1；当 2kπ,k Z 时，cos 1，sin 0，
2
原式 1；当 的终边不在坐标轴上时，有1 sin 0,1 cos 0，所以，原式
1 2 2 2 2 sin 1 cos 1 sin 1 cos
cos sin cos sin
1 sin 2 1 cos2 cos2 sin 2
1 sin
cos sin 1 cos
cos sin
当 为第四象限角时，原式 cos sin .
（3）分四种情况，答案为 sin ； cos 。
1 1 1 1 a 2b
16．【详解】（1）因为 a，b是正数， 1，所以 a 2b a 2b 3 ，a b a b b a
a 2b
因为 0， 0，所以a 2b 3 a 2b 3 2 a 2b 3 2 2，当且仅当
b a a 2 1
，
b a b a
b 2=1+ 时等号成立，故a 2b的最小值为
2 3 2 2 ；
1 1
（2）由 1可得 ab a b，即 a 1 b 1 1，所以 a 1 0，b 1 0，又
a b
4a 9b 4 9 4 9
4 9 ，因为 0， 0，所以
a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1
4a 9b 13 4 9 13 2 4 9
5 5
25当且仅当 a ，b 时等号成立，故
a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 3 2
4a 9b
+ 的最小值为 25．
a-1 b-1
1 1
（3）由 1可得 ab a b，所以 a 1 b 1 1，所以 a 1 0，b 1 0，所以
a b
16a2 b2 32a 2b 16a2 32a 16 b2 2b 1 17 16 a 1 2 b 1 2 17
8 a 1 b 1 17 9当且仅当 a 3 ，b 3时等号成立，故 2a2 + b2 - 4a- 2b的最小值为
2
9 .
17．【详解】（1）设函数 g x mx2 4x 16的值域为D，因为 f x 的值域为R ，所以
0, D .当m 0时， g x 4x 16的值域为R ，符合题意.当m 0时，由
m 0 1
，解得0 m
1
.综上，m的取值范围为 0,
Δ 16 64m 0 4 4
.
（2）当m 0时， g x 4x 16，因为 g 4 0，所以m 0不符合题意，舍去.
当m 0时，g 4 16m 0，不符合题意.下面只讨论m 0的情况.若 a 1，则 g x 在 2,4
上单调递增，由 2 2，解得m 1，此时 g 2 4m 8 16 0, f 4 log 16m 1m a ，
m a得 1，即当 a 16时，存在m
a
，符合题意，当1 a 16时，不存在符合题意的m .
16 16
若 0 a 1，则 g x 在 2,4 2上单调递减，由 4 1，解得0 m ，此时
m 2
{#{QQABAYIAggioABJAARgCAQXYCkEQkAGACKoGABAEsAIBAANABAA=}#}
0 a 1 g 4 16m 16 16 0, f 4 loga 16m 1
a
，得m ，则当 16 2，即 0 a 1时，
16 0 a 1
m a a存在 ，符合题意.综上，当 a 16或 0 a 1时，存在m ，符合题意；当1 a 16时，
16 16
不存在符合题意的m .
2
18．【详解】（1）当 x 1时， log2x 0，故 f x log2 x log x 4 log2 x 2 2log x ，2
当且仅当 log
2
2 x ，即 x 2 2log x 时，等号成立，故 f x 的最小值为2 2；2
（2）由 f x 3，即 log2 x
2
3
log x ，即 log2 x
2 3 log2 x 2 0，解得1 log2 x 2，
2
1
即 2 x 4，故 A [2,4]，设 t 2x 2 x，则当 x 0,1 x时，2 1,2 ，对于函数 y x ，x
x 1,2 x x 5 2时为增函数，故 t 2 2 [2, ]，则 g x 2x 2 x a 2x 2 x 1 t 2 at 1，2
设 h t t 2 at 1，由题意知 A [2,4] t 5 a为 [2, ]时 h t 的值域的子集，当 2，即a 4时，
2 2
h(2) 3 2a 2
h t [2, 5] 1 a 5在 上单调递增，故 5 21 5 ，即得 a h a ；当 2 ，即 4 a 5时，2 4 2 2 2
2 4 2
h t [2, 5在 ]上的最大值为 h(2),h(5)中的较大者，令 h(2) 3 2a 4, 1 a ；令
2 2 2
h 5 21 5 a 4 a
1 5 a 5
，则 ，不合题意；当 ，即 a 5时，h t 在[2, ]上单调递减，
2 4 2 2 2 2 2
h(2) 3 2a 4
1
则 h 5 21 5 ，解得
a ，综合上述，实数 a的值为 .
a 2 2
2 4 2
{#{QQABAYIAggioABJAARgCAQXYCkEQkAGACKoGABAEsAIBAANABAA=}#}
