串讲05 二次函数【六大考点22题型串讲PPT】-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

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串讲05 二次函数
九年级苏科版数学上册期末复习大串讲
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知识串讲
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技巧/结论
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知识串讲
考点一 二次函数的基础
一般地，形如y=ax +bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的特征：
1）含有一个自变量，且自变量的最高次数为2。
2）二次项系数不等于0。
3）等式两边都是整式。
4）一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数。
1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a）
二次函数的特殊形式：
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a）
2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a）
题型汇总
题型一 识别二次函数
考点一 二次函数的基础
1.（2023上·江苏宿迁·九年级校考期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022上·安徽马鞍山·九年级校考期中）下列函数中，是二次函数的有（　　）
①，②，③，④
A．个 B．个 C．个 D．个
【详解】解：①，是二次函数；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
故选：C．
题型汇总
题型二 根据二次函数的定义求参数值
考点一 二次函数的基础
1.（2023上·甘肃武威·九年级校考期中）已知函数是二次函数，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
2.（2023上·山东烟台·九年级统考期中）已知函数是关于的二次函数，则的值是(　　)
A．0或4 B．0 C．2 D．4
【详解】解：根据二次函数定义，得：，且，解得，故选：B．
【详解】解：∵函数是关于的二次函数，
∴且，解得．
故选：B．
题型汇总
题型三 根据二次函数的定义求参数的取值范围
考点一 二次函数的基础
1.（2022下·四川遂宁·九年级校考期中）已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围
【详解】解：函数是二次函数，
，解得，
题型汇总
题型四 二次函数的一般形式
考点一 二次函数的基础
1.（2020上·山东德州·九年级校考阶段练习）二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，-6，9
C．2，6，9 D．2，-6，-9
2.（2022上·浙江宁波·九年级统考期中）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B． C．2 D．
知识串讲
考点二 二次函数的图象与性质
知识串讲
考点二 二次函数的图象与性质
知识串讲
考点二 二次函数的图象与性质
二次函数的最值问题
1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；
即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；
2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：
①若对称轴在在此范围内，则当时，；
②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：
1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；
2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。
知识串讲
考点二 二次函数的图象与性质
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
题型汇总
题型五 根据二次函数解析式判断其性质
考点二 二次函数的图象与性质
1. 抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
2. （2022上·山东济南·九年级统考期末）已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3.. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
题型汇总
题型六 将二次函数的一般式化为顶点式
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2023上·吉林·九年级校考期中）将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）二次函数的图象是（　　）
题型汇总
题型七 利用待定系数法求二次函数解析式
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2023上·广西防城港·九年级统考期中）已知某二次函数的图象经过点，顶点为，求此二次函数的解析式．
【详解】解：可设所求二次函数解析式为，
把代入得，解得，
此二次函数解析式为，
即．
题型汇总
题型七 利用待定系数法求二次函数解析式
考点二 二次函数的图象与性质
2.（2023上·北京西城·九年级北京十四中校考期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上，
则，解得：，
所以一元二次方程可化为：，
解得：，，故选：C．
题型汇总
题型八 二次函数的平移变换问题
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2022上·九年级单元测试）抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度
C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度
2.（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．
题型汇总
题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2022上·河南安阳·九年级校考阶段练习）抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：抛物线与轴的交点坐标，，
对称轴为直线．
故选：B．
题型汇总
题型十 利用二次函数的对称轴、最值求参数
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2023上·广东广州·九年级统考阶段练习）点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最小值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称轴为轴，得到，进而得到函数关系式为，得到，进而得到，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的关键是根据对称轴求出二次函数的解析式．
【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴，
∴，∴，
∵点在抛物线上，∴，
∴，
∴当时，有最小值为；故选A．
题型汇总
题型十一 利用二次函数的增减性求参数的取值范围
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2023上·河北保定·九年级统考期中）二次函数的图象如图所示，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【详解】解：由图可知，当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故选：D．
题型汇总
题型十二 利用二次函数的图象特征求参数的取值范围
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2023上·湖北恩施·九年级校考期中）已知函数的图像与轴只有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．且 B．，且
C． D．或1
【详解】解：当，即时，原函数解析式为，此时该函数与x轴只有一个交点，符合题意；
当，即时，
∵函数的图像与轴只有一个交点，
∴，
∴，综上所述，k的值为1或2，故选D．
题型汇总
题型十二 利用二次函数的图象特征求参数的取值范围
考点二 二次函数的图象与性质
2.（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
由题意，，解得；
故选：D
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题型十三 根据规定范围内二次函数的最值求参数的取值范围
考点二 二次函数的图象与性质
1. 已知函数，当时，有最大值，最小值3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
对称轴为直线，
当时，，当时，，
因此时，，
当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小，
时，有最大值，最小值3，
，
故选：C．
题型汇总
题型十四 根据二次函数的性质求最值
考点二 二次函数的图象与性质
1.（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）二次函数的最大值是 ．
【详解】解：，
∴当，取得最大值为32．
故答案为：32．
知识串讲
考点三 二次函数图象与系数的关系
二次函数图象与系数之间的关系：
1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小和方向
①当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
②当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
【总结】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
知识串讲
考点三 二次函数图象与系数的关系
2)一次项系数:决定了抛物线的对称轴
①在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）。
②在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）。
【总结】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
知识串讲
考点三 二次函数图象与系数的关系
3）常数项c
①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
【总结】c决定了抛物线与y轴交点的位置。
题型汇总
题型十五 由二次函数图象确定各项系数符号
考点三 二次函数图象与系数的关系
1. （2022上·广西贺州·九年级校考期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由图象可知，，，，，
∴，
∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；
故选：B．
题型汇总
题型十六 由各项系数符号确定二次函数图象
考点三 二次函数图象与系数的关系
1. 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（　　）
【详解】∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；
∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．
故选B．
题型汇总
题型十七 一次函数、二次函数图象综合
考点三 二次函数图象与系数的关系
1.（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　）
【详解】解：根据已知二次函数图象，抛物线开口向下，则可知，
由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故应选：C
题型汇总
题型十七 一次函数、二次函数图象综合
考点三 二次函数图象与系数的关系
2.（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）二次函数的图象所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】解：抛物线开口向下，，
抛物线对称轴在轴右边，，，
一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
题型汇总
题型十八 根据二次函数图象判断式子符号
考点三 二次函数图象与系数的关系
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图
1）a____0, b____0, c____0
2）2a+b ____0
3）4ac-b2____0
4）a+b+c____0
5）a-b+c____0
6）8a+c____0
7）当-1>
<
<
1
=
<
<
=
>
<
知识串讲
考点四 二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系：
1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；
2）抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，图象与x轴有一个交点；
③当△<0时，图象与x轴没有交点.
题型汇总
题型十八 根据二次函数图象判断式子符号
3. （2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2∵ = 1，∴b=- 2а，∴3a＋2b= 3a-4a= -a，
∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，∴a＋c∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2 -4ac > a+ c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；
故选B
考点四 二次函数与一元二次方程
题型汇总
题型十九 求抛物线与坐标轴交点个数
1．（2023上·山西太原·九年级统考期末）抛物线与两坐标轴交点的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【详解】解：当时，，即，解得或，
∴抛物线与x轴的交点为和，当时，,
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
∴抛物线与坐标轴的交点个数为2个，
故选B．
考点四 二次函数与一元二次方程
题型汇总
题型十九 求抛物线与坐标轴交点个数
2．（2022上·新疆塔城·九年级统考期末）二次函数与坐标轴的交点个数是（ ）
A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点
考点三 二次函数图象与系数的关系
【详解】解：当时，方程为，
∵，，，
∴，
∴二次函数的图象与x轴有一个交点
当x=0时,可得y=9,即(0,9)
∴二次函数的图象与y轴有一个交点(0,9)
∴二次函数与坐标轴有两个交点
故选：B．
题型汇总
题型二十 根据二次函数的图象确定相应方程的实数根
考点四 二次函数与一元二次方程
1．（2023上·河北邢台·九年级校联考期末）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】解：由图象可得抛物线经过，
∴方程的解为．
故选：A．
题型汇总
题型二十一 抛物线与x轴的截线长问题
考点四 二次函数与一元二次方程
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）抛物线与x轴两个交点间的距离是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【详解】解：，
令，解得，
∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
∴两个交点间的距离是，
故选：C．
知识串讲
考点五 二次函数与不等式
二次函数与不等式的关系:
1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围.
题型汇总
题型二十二 利用二次函数图象解一元二次不等式
考点五 二次函数与不等式
1．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【详解】解：由图象可知，
当时，的取值范围是，
故选：A．
题型汇总
题型二十二 二次函数与实际问题
考点六 二次函数与实际应用
1 如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．
解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为米
，∴；
∵，解得：1；∴S与x之间的函数关系式为：，（）；
2）解：由（1）可知，，
∴；
∵-2<0，
∴当时，有最大值，最大值为50；
∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米；
题型汇总
题型二十二 二次函数与实际问题
考点六 二次函数与实际应用
2 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．∴点A（-2，-2），B（2，-2），把点A（-2，-2）代入得：，解得：，∴该抛物线的函数解析式为y=；
（2）解：∵水面AB下降1米，到CD处，∴点D的纵坐标为-3， 当y=-3时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度增加米；
（3）解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，当y=-1时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度减少米．
题型汇总
题型二十二 二次函数与实际问题
考点六 二次函数与实际应用
3 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
题型汇总
题型二十二 二次函数与实际问题
考点六 二次函数与实际应用
4 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【详解】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．