数学九下第五章 二次函数复习（41张）

(共41张PPT)
二次函数
苏科版 九年级下册
二次函数
5.1 二次函数
5.2 二次函数的图像和性质
5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式
5.4 二次函数与一元二次方程
5.5 用二次函数解决问题
CONTENTS
目录
知识结构
归纳
抽象
二次函数
y=ax2+bx+c
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题
实际问题的答案
目标
图象
性质
　　
5.1 二次函数
一、二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a≠0，a, b, c为常数)的函数.
特殊形式：
若b=0，则y=ax2+c；
若c=0，则y=ax2+bx；
若b=c=0，则y=ax2.
　　
5.1 二次函数
二、二次函数解析式的表示方法：
一般式： ( a， b，c 为常数，a≠0 )；
顶点式： ( a， b， h为常数， a≠0)
交点式： (a≠0,是抛物线与x轴交点的横坐标)
　　
练习
已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为(　　)
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
答案：A
若函数 是二次函数，则m的值是( )
A．2 B．-1或3 C．-1 D．3
答案：D
　　
5.2 二次函数的图象和性质
一、二次函数的图象：
a的符号决定开口方向
决定开口大小， 越大，开口越小
图1 y=x2 y=2x2 y=x2
图2 y=-x2 y=-2x2 y=-x2
你发现了什么？
y=2x2
y=x2
y=x2
图1
y=-2x2
y=-x2
y=-x2
图2
　　
5.2 二次函数的图象和性质
二次函数的图象：
图1 y=2x2 y=2x2 +1 y=2x2 -1
图2 y=2x2 y=- y=-
你发现了什么？
上加下减，左左加右减
y=2x2
y=2x2 +1
y=2x2 -1
图1
y=2x2
图2
　　
练习
根据y=x2 的图象画出x2-5的图象。
y=x2
y=x2
y=-x2
y=-x2 -5
y=x2
y=x2
y=-x2
y=-x2 -5
解析：如图
　　
5.2 二次函数的图象和性质
二、二次函数的平移：
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下
平移
上下 平移
左右
平移
左右 平移
左右 平移
上下 平移
　　
5.2 二次函数的图象和性质
三、一般式和顶点式：
顶点式化一般式：
y = a( x – h )2 + k 去括号 合并同类项
对称轴：x=h 顶点（h，k）
一般式化顶点式：（配方法）
对称轴：x= 顶点：（ ， ）
　　
5.2 二次函数的图象和性质
四、二次函数的图象和性质：
y=a(x-h)2+k (a≠0) a>0 a<0
图象
开口 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点 (h，k) (h，k)
最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当xh时，y随着x增大而增大 当x当x>h时，y随着x增大而减小
　　
5.2 二次函数的图象和性质
四、二次函数的图象和性质：
y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 a<0
图象
开口 向上 向下
对称轴 直线x=x= 直线x=x=
顶点 （ ， ） （ ， ）
最值 当x=时，y最小值= 当x=时，y最大值=
增减性 当x<时，y随着x增大而减小 当x>时，y随着x增大而增大 当x<时，y随着x增大而增大
当x>时，y随着x增大而减小
　　
5.2 二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质：
项目 字母 影响 图象的特征
a 开口方向 a>0，开口向上
a<0，开口向下
开口大小 越大，开口越小
越小，开口越大
b 对称轴 （左同右异） ab＞0，对称轴在y轴左侧
ab＜0，对称轴在y轴右侧
c 与y轴交点的纵坐标 c=0，图象过原点
c＞0，与y轴正半轴相交
c＜0，与y轴负半轴相交
b2-4ac 与轴交点的个数 b2-4ac=0，与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0，与x轴有两个交点
b2-4ac＜0，与x轴没有交点
　　
练习
1.已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（　　）
答案：D
【思路点拨】∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0， ∴函数图象的开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴的负半轴上
A.
B.
C.
D.
　　
练习
2.如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（　　）
答案：A
【思路点拨】
函数图象与y轴的交点 m＞0
依二次函数图象当x＝a时，y＜0， a＞0，a﹣1＜0
+一次函数的性质
A.
B.
C.
D.
　　
练习
3.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）.其中结论正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：B
【思路点拨】开口方向向上，则a＞0；
对称轴可知，b＝﹣2a＜0；
与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0；再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可
　　
5.3 用待定系数法确定二次函数的图象
一、常见的二次函数表达式：
一般式： ( a， b，c 为常数，a≠0 )；
当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 (a≠0) ；
顶点式： ( a， b， h为常数， a≠0)
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为 (a≠0)
交点式： (a≠0)
当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为 (a≠0) ．
　　
5.3 用待定系数法确定二次函数的图象
二、待定系数法求二次函数解析式的步骤：
1.设：先设出二次函数的解析式
2.代：根据题中条件，代入二次函数的解析式中，得到方程或方程组
3.解：解此方程或方程组，求待定系数；
4.还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
　　
练习
1．已知二次函数的图象经过点(-1，-5)，(0，-4)和(1，1)，则这二次函数的表达式为(　　)
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
答案：D
【思路点拨】知道任意三点，代入一般式，解方程组即可。
2.一个二次函数的图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点 ，这个二次函数的解析式是( )
A． x2-2x+4 B．
C． D．
答案：B
【思路点拨】已知顶点坐标，则可设顶点式y=a(x﹣3)2﹣1，然后把(0，﹣4)代入求出a的值即可。
　　
练习
3．将抛物线 先绕坐标原点 O 旋转180° ，再向右平移2 个单位长度，所得抛物线的解析式为( )
A． B．
C． D．
答案：C
【思路点拨】先根据点绕坐标原点 O 旋转 180°的坐标变换规律、待定系数法求出旋转后的抛物线的解析式，再根据二次函数的图象平移的规律即可得。
5.4 二次函数与一元二次方程
一、二次函数图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程的关系
画出的图象：
函数的图象与x轴两个交点为
（－2，0） （1，0）
方程的两根是
x1＝ －2 , x2 ＝ 1
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根;
（2）二次函数与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.
你发现了什么？
5.4 二次函数与一元二次方程
二、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有两个不等的实数根 b2 – 4ac > 0
只有一个交点（顶点） 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
无交点 无实数根 b2 – 4ac <0
　　
练习
1．求二次函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴的交点坐标.
解：令y＝0
则x2＋4x－5 ＝0
解得，x1＝ －5 ,x2 ＝ 1
∴二次函数y＝x2＋4x－5的图象与x轴的交点坐标为：
（－5，0）（1，0）
　　
练习
2.已知抛物线
（1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．
（3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点
【答案】（1）k<(2) k=公共点坐标为（，0）；
（3） k>;
【思路点拨】
求抛物线与x轴交点的个数，只需对应方程的根的情况，即判断b2-4ac即可。
5.4 二次函数与一元二次方程
三、抛物线与不等式的关系：
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 0(a≠0)及 (a≠0)之间的关系如下 ：
判别式 a>0 抛物线与x轴的交点 0的解集 0的解集
b2 – 4ac > 0 xx2 x1b2 – 4ac = 0 x≠x1或(x≠x2) 无解
b2 – 4ac < 0 全体实数 无解
()
5.4 二次函数与一元二次方程
三、抛物线与不等式的关系：
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 0(a≠0)及 (a≠0)之间的关系如下 ：
判别式 a<0 抛物线与x轴的交点 0的解集 0的解集
b2 – 4ac > 0 x1xx2
b2 – 4ac = 0 无解 x≠x1或(x≠x2)
b2 – 4ac < 0 无解 全体实数
()
　　
练习
1.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是　 　.
【答案】-3<<1
【思路点拨】
利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3,0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
　　
练习
2.如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
答案（1）B（﹣4，3）
（2）x≤﹣4或x≥﹣1
【思路点拨】
（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．
（2）根据图象交点坐标求解．
5.5 用二次函数解决问题
【用二次函数解决问题的一般步骤】
审：审题，找已知量、未知量及等量关系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意区分自变量和因变量；
列：根据等量关系列函数解析式；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解；
答：写出答案.
5.5 用二次函数解决问题
用二次函数解决问题
1.几何问题
2.销售利润问题
3.轨迹问题
4.车过隧道问题
5.拱桥问题
常考题型
练习
【题型1 几何图形问题】
如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
答案（1）AB＝3﹣5x，0＜x
（2）当x时，S最大
【思路点拨】
（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；
（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．
练习
【题型2 销售利润问题】
为预防病毒，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y（千克）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？
答案（1）y＝﹣2x+200，x的取值范围是：30≤x≤60；
（2）当x＝60时，w取得最大值，w＝1950
【思路点拨】
（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案．
练习
【题型3 抛物线形轨迹问题】
如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8米．
（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．
练习
【题型3 抛物线形轨迹问题】
答案（1）yx2x；
（2）不能
【思路点拨】
（1）由题抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求；
（2）OA与水平方向OC的夹角为30°，OA＝8米，解直角三角形可求点A的坐标，把点A的横坐标x＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．
练习
【题型4 车过隧道问题】
如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．
（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于1/3m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．
练习
【题型4 车过隧道问题】
答案（1）抛物线所对应的函数表达式为；
（2）两排灯之间的水平距离为4m
（3）最大高度为4m
【思路点拨】
（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，将点C（0，1）代入求出a的值，即可得出函数解析式；
（2）将y＝5代入解析式求出x的值，将所求x的值相减可得答案；
（3）求出x＝2时y的值，再减去可得答案．
练习
【题型5 拱桥形问题】
河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m时，水面离桥拱顶部3m．
（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4m．现因暴雨河水水位上升了1m，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
练习
【题型5 拱桥形问题】
答案（1）抛物线的解析式为；
（2）能通过
【思路点拨】
（1）由题知道A、B的坐标，在利用点C得坐标从而求出抛物线的解析式．
（2）代入x＝2求出y的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小即可．
谢谢
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