2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期12月联考数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼集团高一上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角终边相同的角可以表示为．( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( )
A. 对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解
B. 存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解
C. 存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解
D. 存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解
3.设全集，或，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的图象是( )
A. B.
C. D.
6.若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是( )
A. B. C. D.
7.中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感结果精确到，参考数据，( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个不同零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
10.给出下列四个结论，其中正确的是( )
A.
B. 过定点
C. 圆心角为，弧长为的扇形面积为
D. “”是“”的充分不必要条件
11.下列说法不正确的是( )
A. 若，，，则的最大值为
B. 若，则函数的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，，则的最小值为
12.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数现已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数为奇函数
B. 若方程有实根，则，
C. 当时，在上单调递增
D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有个交点，记为，则的值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数在上单调递减，则实数 ．
14.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在开区间 内
15.已知，，则 ．
16.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算
计算．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值
若，且，求的值．
19.本小题分
已知关于的不等式的解集为或．
求，的值
当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
设函数是定义域为的偶函数．
求实数的值
若，且在上的最小值为，求实数的值．
21.本小题分
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分根据专家研究，当注意力指数大于时听课效果最佳．
试求的函数关系式
老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳请说明理由．
22.本小题分
已知函数且．
求的定义域
若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围
是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角，属于基础题．
直接利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可．
【解答】
解：因为，
所以与终边相同的角可以表示为：，．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
直接依据全称量词命题的否定为存在量词命题写出即可．
【解答】
解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以原命题的否定为：
存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数不等式的解法，图表达集合的关系及运算，考查运算求解能力，属于基础题．
求出集合，分析可知阴影部分区域所表示的集合为，由此可求得结果．
【解答】解：或，则，
，
由图象可知阴影部分对应的集合为
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属基础题．
利用对数函数的单调性得的范围，利用指数函数的单调性得到的范围，利用对数函数的单调性得的范围，得大小关系．
【解答】
解：是单调增函数，
，．
是单调减函数，
，即，
由函数在上单调递减，得，即，
故．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的图象，属于基础题．
先求得的解析式，再利用特值法排除错误选项，进而得到正确选项．
【解答】
解：由，可得
当时，，则的图象过点，则排除选项ABD；
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了反函数图象间的对称关系和复合函数单调性和单调区间的判断，涉及对数函数的图象和性质，属于中档题．
先根据对称性确定的解析式，再运用复合函数单调性的判断规确定函数的单调增区间．
【解答】解：因为函数与 的图象关于直线对称，
所以就是的反函数，即 ，
因此函数 ，
该函数的定义域为，
当时，真数单调递减，所以函数 单调递增，
当时，真数单调递增，所以函数 单调递减，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查指数函数的实际应用，属于中档题．
由题意可得方程组，即可求出的值．
【解答】解：由题意可得方程组：
，化简可得：；
大约需要放置能达到最佳饮用口感．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于较难题．
利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可．
【解答】解：由得
则或，
作出的图象如图，
则若，则或，
设，由得，
此时或，
当时，，有两个根，当时，，有个根，
则必须有，有个根，
设，由得，
若，由得，或，有一个根，有两个根，此时有个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，或或，，
当时，，有一个根，当时，，有个根，
当时，，有一个根，此时有个根，满足条件．
故，
即实数的取值范围是，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意可求的值，进而利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】
解：角的终边与单位圆交于点 ，
，求得 ， ，故B错误，
，故C正确，
，故A正确，
，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，对数函数性质，扇形弧长面积公式等知识，属于基础题．
根据对数的运算性质，对数函数性质，扇形弧长面积公式以及充分必要条件的定义逐项判断即可求解．
【解答】解：对于，，故A错；
对于，恒过点，故B正确
对于，圆心角为，弧长为，则半径，扇形面积为，故C正确：
对于，，解得：，所以，但不一定得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用基本不等式逐一分析求解即可，注意运用基本不等式的条件．
【解答】
解：对于，若，，满足，
则，
当且仅当时，取得最小值，故A不正确
对于，若，则，
则函数，
当且仅当即时取等号，即函数的最大值为，故B正确
对于，函数，
当且仅当，即时取等号，即C错误，
对于，对于选项D，若，，，则，即，
即舍或，则的最小值为，即D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的新定义、函数的单调性、函数的奇偶性和函数的对称性，属于较难题．
根据题意有，可判定奇偶性，从而判定；
由有解，即有解，所以，解出，可判定；
当时，，根据函数图像的平移可判定单调性，从而判定；
易得函数关于中心对称，由对称性计算判定．
【解答】解：函数，
根据题意有，则函数为奇函数，
函数图像关于成中心对称，所以选项正确．
选项 B，有解，即有解，
所以，即，选项 B正确；
选项 C当时，，
可由函数向右平移个单位，向上平移个单位得到．
又易知函数在上单调递增，
所以在上单调递增，选项 C错误；
选项当时，关于中心对称，又函数关于中心对称，
，故选项正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，属于基础题。
根据幂函数定义及性质求解即可．
【解答】
解：由函数为幂函数可知，，
解得或，
因为幂函数在上单调递减，
所以，即，
所以．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查零点存在定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
根据零点存在定理，可得方程的根落在的区间．
【解答】
解：易知在上是单调增函数，，，，．
根据零点存在定理，可得方程的根落在区间，
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．
根据条件可得出，进而得出，根据的范围可得出，从而得出，进而得出答案．
【解答】解：，
，
则，
，，，
，
．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，属于较难题．
作出函数的图象，得到，关于直线对称，，化简条件，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
解：作出函数 的图象，
方程有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，
由图可知，，
，；
，
，
故，
因为在上是增函数，
故，
即，
故答案为．
17.【答案】解：
．
．

【解析】本题考查指数式、对数式化简求值，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则的合理运用，是中档题．
利用有理数指数幂性质、运算法则求解．
利用对数性质、运算法则求解．
18.【答案】解：因为
，
所以．
因为，
所以，
两边平方，可得，解得，
又，
所以，，
可得
，
由解得，，
所以．
【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．
利用诱导公式可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得，结合，可求得，联立解得，的值，即可求解．
19.【答案】解：因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且，
所以，解得
由知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以的取值范围为．
【解析】本题考查了二次函数和二次不等式，考查基本不等式的性质以及转化思想，属于中档题．
根据一元二次不等式和相应方程的关系结合根与系数的关系得到关于，的方程组，求出，的值即可；
根据乘“”法，结合基本不等式的性质求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
20.【答案】解：因为是定义域为的偶函数，
所以，
，即
，
令，因为函数、均为上的增函数，
故函数在上为增函数，由，故，
所以，，
函数图象的对称轴为，
当时，，解得舍去
当时，函数在上为增函数，
则，解得，合乎题意．
综上所述，．

【解析】本题主要考查函数奇偶性与二次函数的最值，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题设函数为偶函数，根据偶函数的定义计算求得的值即可
因为，令，得，转化为二次函数求最值问题．
21.【答案】解：当时，曲线是二次函数图象的一部分，顶点坐标为，图象过，设，代入求解，可得，
当时，曲线是函数且图象的一部分，图象过代入求解可得：
则．
则
由题意，指数大于时听课效果最佳，
当时，，
解得．
当时，，
解得
综上：可得．
老师在 这一时间段内安排核心内容，学生听课效果最佳．
【解析】本题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题．
根据题意，分段求解解析式即可．
根据指数大于时听课效果最佳．求解不等式，即可知道．
22.【答案】解：由，得或．
的定义域为
令，
因函数在上单调递减，则在上为增函数，
又，在上为减函数函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，
函数在上的值域为，
的范围是
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得．
又由知在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，得．
即在上有两个互异实根，因
即，有两个大于的相异零点．
则．
结合，故存在这样的实数符合题意．
【解析】本题考查函数的定义域、值域问题，考查函数的零点，属于较难题．
由可得的定义域
注意到，在上单调递增，则在，即的范围是就是在上的值域
由题可得，则问题转化为在上有两个互异实根，即可得答案．
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