2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高二上学期数学联考试题（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高二上学期数学联考试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线过点、，则该直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是
( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，则( )
A. B. C. D.
4.若点满足方程，则动点的轨迹方程为
( )
A. B. C. D.
5.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
6.规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：
据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为
( )
A. B. C. D.
7.若直线，与圆的四个交点能构成正方形，则( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.己知曲线表示椭圆，下列说法正确的是
( )
A. 的取值范围为

B. 若该椭圆的焦点在轴上，则

C. 若，则该椭圆的焦距为
D. 若，则该椭圆的离心率为
10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是
( )
A. 若与互斥，则
B. 若与相互独立，则
C. 若，则事件与相互独立
D. 若，则
11.如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且若，，
，则( )
A. B.
C. D.
12.在平面直角坐标系中，直线，圆，则
( )
A. 圆经过坐标原点
B. 当时，直线与圆相交，且相交弦长为
C. 直线与圆必相交
D. 直线与圆相交弦长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，是等边三角形，椭圆的离心率是__________．
14.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为、、，若每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为__________．
15.在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______．
16.已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在的直线方程；
求的面积，
18.本小题分
已知盒子装有个红球个白球，盒子装有个红球个白球，它们除了颜色不同外大小材质相同．
若甲从盒中一次抽取个球，求两个球颜色不同的概率；
若甲从盒中，乙从盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取球，求甲、乙共抽到个红球的概率．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．

证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
求圆的方程；
已知圆与圆交于、两点，过直线上除线段部分一点分别作两圆的切线，切点分别为点、，求证：．
21.本小题分
已知椭圆，由的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
求的方程；
直线过的右焦点，且和交于点，，设是坐标原点，若三角形的面积是，求的方程．
22.本小题分
如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
证明：平面平面；
若为上的一点，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求出直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率的关系可求得直线的倾斜角．
解：设直线的倾斜角为，则，
由已知可得，故．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数，利用列举法求得所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
解：由题意，连续抛两次骰子得到的点数分别是，可得基本事件的总数为种情况，
其中点在直线上包含两种情况情况，
由古典概型的概率计算公式，可得概率为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】首先确定关于轴对称的点坐标，再应用空间两点距离公式求．
解：由题设，故．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解．
解：因为动点满足关系式，
所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为，
而，即动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，即，又，，
所以动点的轨迹方程为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解．
解：
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．
解：由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，
代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，
因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】分析可知，两直线过圆心，可求得、的值，即可得出的值．
解：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，
直线的斜率为，直线的斜率为，且，则，
因为直线，与圆的四个交点能构成正方形，
则这两条直线都经过圆心，所以，，解得，因此，．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值．
以为原点建立空间直角坐标系，设，由可得，由此得到关系；从而利用表示的面积，利用二次函数最值求得面积的最值．
解：以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系
则，，，，，
设，则，

当时，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆的几何性质．
【解答】
解：由曲线表示椭圆，则满足
解得且，所以不正确；
该椭圆的焦点在轴上，则满足解得，所以 B正确；
当时，椭圆的方程为，可得，则，
此时椭圆的焦距为，所以 C正确；
当时，椭圆的方程为，可得，则，
此时椭圆的离心率为，所以 D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断选项；利用独立事件的概念可判断选项；由交事件的定义可判断选项．
解：对于选项，若与互斥，则，对；
对于选项，若与相互独立，则，
所以，，对；
对于选项，若，且，
所以，事件与相互独立，对；
对于选项，若，则，所以，，错．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】设，，，利用向量的加减法则，以为基底可得，可得 A错误；由计算可得，可知 B正确；分别表示出可得不为零，可得 C错误；利用中结论，分别求出，即可得，即 D正确．
解：设，，，
对于选项，因为，，
所以，，
所以，故 A错误；
对于选项，因为，，，
所以，
所以，故 B正确；
对于选项，易知，
此时
，所以与不垂直，即 C错误；
对于选项，因为，，
所以，
因为，所以，
，所以，
所以，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】利用点与圆的位置关系可判断选项；利用直线与圆的位置关系结合勾股定理可判断选项．
解：圆的圆心为，半径为，
对于选项，因为，
所以，圆不经过坐标原点，错；
对于选项，当时，圆的方程为，
因为，此时，直线过圆心，且相交弦长为，对；
对于选项，因为圆心到直线的距离为，
所以，，故直线与圆必相交，对；
对于选项，由选项可知，的最大值为，
故直线与圆相交弦长的最小值为，对．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据题意得出，由椭圆的定义得出，即可得出，从而得出椭圆的离心率．
解：设椭圆的焦距，
是等边三角形，的上顶点为，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．
解：甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为、、，
每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可．
解：取，，则，，
所以点到直线的距离为．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】设点，求出点的轨迹方程为，分析可知，直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可．
解：设点，因为点、，且，
则，整理可得，
所以，点在圆上，
又因为点在直线上，且圆的圆心为，半径为，
则直线与圆有公共点，
所以，，整理可得，解得．
所以，实数的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】解：
，，，
边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，
边上的高所在直线方程为：，即；
边上的高所在直线方程为：，即；
边上的高所在直线方程为：，即．
所在直线方程为：，即，
点到边的距离，
又，
的面积．

【解析】【分析】利用垂直关系和两点连线斜率公式可求得三条高所在直线斜率，利用直线点斜式方程可整理得到结果；
利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得底边长和高，代入三角形面积公式即可．
18.【答案】
解：设盒中的个红球分别为，，，，个白球分别为，，
则甲从盒中抽取个球的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，，共个，
两个球颜色不同的基本事件有，，，，，，，共个，
所以甲从盒中抽取个球，两个球颜色不同的概率为．
解：由题意知，甲、乙共抽到个红球的情况有：
甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为，
甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为，
甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为，
甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为，
所以甲、乙共抽到个红球的概率为．

【解析】【分析】运用列举法计算古典概型的概率即可；
由甲、乙共抽到个红球的情况有：甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球，甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球，甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果．
19.【答案】解：
证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，，
又为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．

解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为．

【解析】【分析】取的中点，连接，，利用线线平行证明线面平行；
建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值．
20.【答案】解：
设圆心，则，可得，即圆心，
又因为圆与轴相切，则圆的半径为，
因为圆过点，则，解得，
故圆心，圆的半径为，
故圆的方程为．
将圆和圆的方程作差可得，即直线的方程为．
设点，则，
过直线上除线段部分一点分别作两圆的切线，切点分别为点、，
设切线与圆切于点，切线切圆于点，
，
，
所以，，故．

【解析】【分析】设圆心，由已知可得出，且圆的半径为，利用圆过点可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程；
求出直线的方程，设点，则，利用勾股定理可证得结论成立．
21.【答案】解：
由已知，，，
所以的方程为
，
若斜率不存在，易知；
若斜率存在，设，，和的方程联立得：
，，，
所以
点到直线的距离为，
所以，
解之得，，
所以的方程为或，

【解析】【分析】由题意可得，，从而可求得椭圆的方程，
先判断出直线的斜率存在，设，代入椭圆方程中，化简利用根与系数的关系和弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出三角形的面积，解方程可求出，进而可得直线方程
22.【答案】解：
证明：在梯形中，取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，
，；
，，平面，平面，
平面，平面平面．
解：分别取中点，连接，
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
分别为中点，，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，，，
设，
则，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：，；
平面轴，平面的一个法向量，
，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】【分析】由、可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论；
以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用点到平面距离的向量求法可求得的值，根据二面角的向量求法可求得结果．
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