2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题（含解析）

2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是( )
A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形
2.已知向量，，满足，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角是
( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为
( )
A. B. C. D.
5.已知直线，，若且，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.已知圆：和：，则两圆的位置关系是
( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
7.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面；
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底；
D. 若，则是锐角．
10.已知直线过直线和的交点，且原点到直线的距离为，则的方程可以为
( )
A. B.
C. D.
11.在空间直角坐标系中，，，，则
( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为

D. 点到直线的距离是
12.已知圆，直线，则下列结论正确的是
( )
A. 圆与曲线恰有三条公切线，则
B. 当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于
C. 直线恒过第二象限
D. 当时，上动点作圆的切线，，且，为切点，则经过点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.，，则 ．
14.已知圆的方程，圆与圆是同心圆且过点，则圆的标准方程为______________．
15.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于点，，且，若，则椭圆的离心率是 ．
16.在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点含边界，且当在上时， ；点的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设，向量，，，且，．
求；
求向量与夹角的大小．
18.本小题分
已知的顶点，．
求直线的方程；
若边上的中线所在直线方程为，且的面积为，求顶点的坐标．
19.本小题分
已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接
求椭圆的方程及离心率；
求证：．
20.本小题分
已知直线：与圆：相交于，不同两点．
求的范围；
设是圆上的一动点异于，，为坐标原点，若，求面积的最大值．
21.本小题分
如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙．
求证：平面；
线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置．
22.本小题分
已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为
求圆的方程；
设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题．
由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形．
解：由已知得，即是相等向量，因此的模相等，方向相同，
即四边形是平行四边形故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可．
解：，，
，
解得
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】依据斜率计算倾斜角即可．
解：直线的斜率为，则由，知，即
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标的位置，是基础题．
利用椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答】
解：椭圆的一个焦点坐标为，
可得，解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论．
解：由题意，，，，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系．
解：因为圆：的圆心，半径为，
圆：即的圆心，半径为，
所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径和为，
所以圆与圆的位置关系是外切．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程．
解：圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得
即，圆的半径，
所以圆的方程为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据平面，得到，，然后得到，最后求最值即可．
解：
因为为正方体，所以平面，，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，
设，，，
，，，
因为平面，所以，
因为，所以，即，
，
所以当时，最小，最小为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】对选项A，根据空间向量共面定理即可判断A正确；对选项B，根据即可判断 B正确；对选项C，根据题意得到则也共面，即可判断 C正确，对选项D，根据，得到，即可判断 D错误．
解：对选项A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，故A正确．
对选项B，因为，且，
所以四点共面．
对选项C，因为是空间的一组基底，所以不共面，
则也不共面，，
即也是空间的一组基底，故 C正确；
对选项D，若，则，故 D错误．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】先求得和的交点坐标，然后根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合原点到直线的距离确定正确答案．
解：由解得，即交点为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时原点到直线的距离为，符合题意，选项正确．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
由解得，
直线的方程为，选项正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答．
解：对于，，，，
依题意，，，故 A正确；
对于，，，故 B错误；
对于，，，因为，
则异面直线与所成角的余弦值为，故 C正确；
对于，因为，，在上的投影为，
所以点到直线的距离是，故 D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属中档题．
对于：化简曲线为，对其讨论即可得到答；
对于：根据点到直线距离即可得到答案；
对于：对直线整理得：，即可得到答案；
对于：根据题意得到线段为直径的圆的方程为，两圆相减得到公共弦方程即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：圆的圆心，半径，
对曲线化简为，
当，即时，表示点当，即时，不表示任何图形当，即时，表示圆心，半径的圆，若圆与曲线恰有三
条公切线，则解得，故A正确
对当时，直线为，所以圆心到直线的距离
，故圆上有四个点到直线的距离都等于，故B错误
对由直线，整理得：，
令，解得即直线经过定点，故C正确
对当时，直线的方程为，设点，且，
则线段的中点，且，以线段为直径的圆的方程为
，整理得，圆的方程为，则两圆的公共弦的方程为，
整理得，令解得即直线经过点，故D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的坐标运算与求模长的求解，属于基础题．
根据空间向量的坐标运算，求出，再求它的模长．
【解答】
解：，，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】求出圆心坐标，再求出圆的半径即可．
解：依题意，圆的圆心，则半径，
所以圆的标准方程为．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、标准方程及性质，属于中档题．
根据已知条件和椭圆的对称性知，四边形为矩形，解直角三角形，得，即可得椭圆离心率．
【解答】
解：设右焦点为，连接，因为，
即，可得四边形为矩形．
在中，，．
由椭圆的定义可得，
所以，所以离心率
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为内的动点含边界时，再取中点，，再过作，可证平面，得到的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．
解：因为平面，平面，所以，又，所以，
又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系，
则，设，所以，则
当在上时，设，因为，所以，故，则
所以；
为内的动点含边界时，如图，取中点，过作，垂足为
由可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以
即在线段上运动时，，
点的轨迹为线段．
则．
故答案为：；．
17.【答案】解：由题意， ， ，
可得 ，解得 ，
则 ， ，所以 ，
故 ．
因为 ，
所以 ，
故向量 与 的夹角为 ．

【解析】本题考查向量模的坐标表示，考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角等，属于中档题．
根据空间向量垂直和平行的性质，求出、，进而求出向量 和 ，再进行相应运算即可．
求出，得到，进而可得结果．
18.【答案】解：，，
，
代入点斜式方程得：，
整理得：，
即直线的方程为：；
设，是边上的中线，
则是的中点，故，
由于在直线方程上，则，
由两点间的距离公式得：，
设到的距离为，则，故，
由点到直线的距离公式得，
或，
由或，
解得：或，
故C或．
【解析】本题考查了求直线方程问题，考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，是中档题．
求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线的方程即可；
设出的坐标，联立方程组，求出的坐标即可．
19.【答案】解：由题可知：，又
所以
故椭圆的方程为，离心率
设点
由点是线段的中点，所以
由，
则：
由三点共线，所以
则
即
所以

【解析】【分析】本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系，重点在于点坐标的假设，观察到椭圆是对称的图形，难点在于计算，考验计算能力，属中档题．
根据焦距可得，以及点可得，然后根据，可得结果．
分别假设点的坐标，并计算坐标，然后计算，根据，最后化简，可得结果．
20.【答案】解：
直线与圆交于两点，，
解得．
设，，
将代入方程，
整理得，
，，
，
解得，由知，
所以直线的方程为，
可知圆心在直线上，
是圆的直径，且，
是圆上的一动点异于，，
到直线的最大距离即为半径为，
面积的最大值为．

【解析】【分析】根据直线与圆相交列出不等式，可得解；
直线与圆联立利用韦达定理可求得直线的方程，进而得解．
21.【答案】解：证明：如图所示，取中点，
则由题意可得，且，
由平面图形易得，又，
，，
又，且，平面，
平面，又平面，
，又易知，且，平面，
平面；
取的四等分点，，
则易得，取的中点，则，
建立如图的空间直角坐标系，则根据题意可得：
，，
，，，
设，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，
又根据知平面的法向量为，
，
，又，
解得，，
为的中点，
故存在的中点，使得平面与平面所成的角为．
【解析】本题考查线面垂直的判定定理，向量法解二面角，方程思想，向量夹角公式的应用，属于较难题．
取中点，则由题意可得，再利用勾股定理证明，从而得平面，从而得，又易知，从而可证平面；
建系，引入变量，设出点的坐标，再利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，解方程即可求解．
22.【答案】解：圆心到直线的距离，由圆的性质可得，所以，圆的方程为；
设，
由得，，
所以
若直线与直线关于轴对称，则，
即，即，化简得，
代入韦达定理，即
所以当点为时，直线与直线关于轴对称；

【解析】【分析】利用圆心到直线的距离公式求得圆的半径，即可求得圆的方程；
设，通过对称性将坐标的关系找出，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，代入化简求解即可．
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