数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法 课件（共27张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法 课件（共27张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-27 10:14:13 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
4.4 数学归纳法
证明某类命题
多米诺骨牌的全部倒下
数学归纳法的原理
数学归纳法的应用
类比思想
数学抽象
逻辑推理
数学运算
研究思路
逻辑推理
等差数列{}的首项为，公差为d. 那么
，
……
归纳可得
如果{}是一个等差数列，怎样得到 ？
以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
问题1
问题导入
答案： ， ， .
问题2
已知数列 满足 ， ，计算 ，
猜想其通项公式，并证明你的猜想.
猜想通项公式为：
（n∈N*）
（n∈N*）
已知数列 满足 ， ，计算 ，
猜想其通项公式，并证明你的猜想.
问题2
答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确. 如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于 ，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可拆成两个数的乘积．
追问1 仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？
猜想通项公式为：
（n∈N*）
（n∈N*）
问题2
已知数列 满足 ， ，计算 ，
猜想其通项公式，并证明你的猜想.
答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明. 因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
追问2 该如何证明这个猜想呢？
猜想通项公式为：
（n∈N*）
（n∈N*）
类比迁移
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
追问（1）：条件（1）的作用是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
追问（2）：条件（2）的作用是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下
由 及递推关系
追问（3）：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
类比迁移
由 及递推关系
……
递推关系：
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
如果n=k时猜想成立，
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
，
即
骨牌原理 猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌已经倒下 （1）证明n=1时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 （2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据（1）（2），所有骨牌都能倒下 根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
问题4 什么是数学归纳法？
学习新知
追问（1）：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基
归纳递推
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基
归纳递推
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
记 是一个关于正整数n的命题.
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
为真；
记 是一个关于正整数n的命题.
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
为真；
记 是一个关于正整数n的命题.
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
真，
真
真，
真 .
……
……
条件：
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
条件：
结论：
为真.
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
条件：
结论：
为真.
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝①对任何都成立.
在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，并把“证明的目标”牢记在心.
证明：（1）当，左边，右边，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即
根据等差数列的定义，有
于是
即当时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
典例分析
证明：（1）当时， ①式的左边＝12＝1，
右边＝×1×（1+1）×（2×1+1）＝＝1，所以①式成立.
（2）假设当时， ①式成立，即
＝
在上式两边同时加上，有
＝
＝＝＝
＝即当， ①式也成立.
由（1）（2）可知， ①式对任何都成立.
例2 用数学归纳法证明： ①
例3 已知数列{an}满足试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
同理可得
归纳上述结果，猜想an＝（）. ①
下面用数学归纳法证明这个猜想.
解：由2+1-+1＝1，可得+1＝（）.
由，可得＝＝.
例3 已知数列{an}满足试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
（1）当， ①式左边＝＝0，右边＝＝0，猜想成立.
（2）假设当时， ①式成立，即＝，
那么＝＝＝＝，
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
例4设为正实数，为大于1的正整数，若数列的前项和为，试比较的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法1：由已知可得
当，，可得；
当，，可得.
由此，我们猜想，当.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
归纳奠基：证明当时命题成立；
归纳递推：以“当时命题成立”为条件，
推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种
证明方法称为数学归纳法.
课堂小结
4.4 数学归纳法
证明某类命题
多米诺骨牌的全部倒下
数学归纳法的原理
数学归纳法的应用
类比思想
数学抽象
逻辑推理
数学运算
研究思路
逻辑推理
等差数列{}的首项为，公差为d. 那么
，
……
归纳可得
如果{}是一个等差数列，怎样得到 ？
以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
问题1
问题导入
答案： ， ， .
问题2
已知数列 满足 ， ，计算 ，
猜想其通项公式，并证明你的猜想.
猜想通项公式为：
（n∈N*）
（n∈N*）
已知数列 满足 ， ，计算 ，
猜想其通项公式，并证明你的猜想.
问题2
答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确. 如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于 ，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可拆成两个数的乘积．
追问1 仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？
猜想通项公式为：
（n∈N*）
（n∈N*）
问题2
已知数列 满足 ， ，计算 ，
猜想其通项公式，并证明你的猜想.
答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明. 因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
追问2 该如何证明这个猜想呢？
猜想通项公式为：
（n∈N*）
（n∈N*）
类比迁移
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
追问（1）：条件（1）的作用是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
追问（2）：条件（2）的作用是什么？
类比迁移
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下
由 及递推关系
追问（3）：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
类比迁移
由 及递推关系
……
递推关系：
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
如果n=k时猜想成立，
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
，
即
骨牌原理 猜想的证明步骤
（1）第一块骨牌已经倒下 （1）证明n=1时，猜想正确
（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 （2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据（1）（2），所有骨牌都能倒下 根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
问题4 什么是数学归纳法？
学习新知
追问（1）：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基
归纳递推
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基
归纳递推
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
记 是一个关于正整数n的命题.
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
为真；
记 是一个关于正整数n的命题.
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
为真；
记 是一个关于正整数n的命题.
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
真，
真
真，
真 .
……
……
条件：
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
条件：
结论：
为真.
，
追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记 是一个关于正整数n的命题.
归纳奠基
归纳递推
为真；
条件：
结论：
为真.
例1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝①对任何都成立.
在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，并把“证明的目标”牢记在心.
证明：（1）当，左边，右边，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即
根据等差数列的定义，有
于是
即当时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
典例分析
证明：（1）当时， ①式的左边＝12＝1，
右边＝×1×（1+1）×（2×1+1）＝＝1，所以①式成立.
（2）假设当时， ①式成立，即
＝
在上式两边同时加上，有
＝
＝＝＝
＝即当， ①式也成立.
由（1）（2）可知， ①式对任何都成立.
例2 用数学归纳法证明： ①
例3 已知数列{an}满足试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
同理可得
归纳上述结果，猜想an＝（）. ①
下面用数学归纳法证明这个猜想.
解：由2+1-+1＝1，可得+1＝（）.
由，可得＝＝.
例3 已知数列{an}满足试猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
（1）当， ①式左边＝＝0，右边＝＝0，猜想成立.
（2）假设当时， ①式成立，即＝，
那么＝＝＝＝，
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
例4设为正实数，为大于1的正整数，若数列的前项和为，试比较的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解法1：由已知可得
当，，可得；
当，，可得.
由此，我们猜想，当.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
归纳奠基：证明当时命题成立；
归纳递推：以“当时命题成立”为条件，
推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种
证明方法称为数学归纳法.
课堂小结