5.5.2 简单的三角恒等变换（1） 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第5章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换（1）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.能用二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 1.数学推理素养.
2.能利用三角公式进行求值、化简、恒等式证明. 2.逻辑推理素养、数学运算素养.
温故知新
两角和（差）正弦、余弦、正切公式
（S(α+β)）
（S(α-β)）
（C(α+β)）
（C(α-β)）
（T(α-β)）
（T(α+β)）
温故知新
倍角公式
公式变形：
升幂降角公式
升角降幂公式
新知形成
解：
【例1】试以表示.
是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替，得
.
∴. ②
∴. ①
.
.
观察与，逆发现它们之间有什么关系？联想前面学过的公式，你有思路吗？
在倍角公式中，以代替，以代替，得
将①②两式左右两边相除，得
新知探究
由例1可得.
.
.
.
对于，还可进行如下变形
，

.
.
.
半角公式
.
.
试推证：.
半角公式的符号由所在象限确定！
新知形成
解：
【例2】 ⑴设,则=( )
A.- B. C. D.
⑵已知,化简：.
⑴∵, ∴.
∴,故选D.
又.
D
新知形成
解：
【例2】 ⑴设,则=( )
A.- B. C. D.
⑵已知,化简：.
.
⑵∵, ∴,即.
原式.
.
新知形成
1.化简问题中的“三变”技巧
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时，常用，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算．
初试身手
2.已知,且,试求和的值.
3.已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切.
解：
2.∵,∴,
∴.
.
P226练习
初试身手
2.已知,且,试求和的值.
3.已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切.
解：
.
3.设此三角形的顶角为，底角为,
则.
∴
.
P226练习
.
则此三角形的一个底角的正切为.
新知探求
【例3】求证：
⑴ ;
⑵ .
证明：
⑴∵
比较一下(2)式和(1)的结构，由此你能想到用什么方法
.
,可设，换元就可由⑴式得到⑵式.
.
∴.
将以上两式的左右两边分别相加，得
新知探求
【例3】求证：
⑴ ;
⑵ .
证明：
⑵由⑴可得
①
把代入①，即得
.
设，则.
如果不用(1)的结果，(2)式又如何证明
新知探求
【例3】求证：
⑴ ;
⑵ .
另证：
⑵
.
.
.
.
.
则.
初试身手
4.求证：
⑴ ;
⑵;
⑶ .
证明：
解得 .
即.
∴.
⑴令,
P226练习
⑵,
∴.
.
即.
⑶由⑵联立的方程组解得
即.
解得.
初试身手
5.求证：
⑴; ⑵;
证明：
①-②,得 .
.
. ②
⑴, ①
P226练习
⑵, ③
. ④
.
③+④,得
课堂小结
1.半角得正弦、余弦、正切公式的推导
2.注意：
学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
.
.
.

.
.
.
半角公式的符号由所在象限确定！
作业布置
作业：P229 习题5.5 第9,10题.
补充：
1.已知,求的值.
2.已知,且,求的值.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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