广东省深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，，求得.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法运算先化简，再根据复数相等求解a的值.
2．已知直线与平行，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解： 两直线平行，，求得，经检验，满足题意，
两直线与间的距离.
故答案为：D.
【分析】由两直线平行斜率相等求出，再利用平行直线距离公式求解.
3．若向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】C
【知识点】直线的方向向量；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：设，
向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，直线l的方向向量与垂直，
设直线l的方向向量与共线，直线l的斜率为.
故答案为：C.
【分析】设，由题意得直线l的方向向量与垂直，进而求解直线l的斜率.
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数性质得，再根据指数和对数性质将b，c与0，1比较大小.
5．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：点Q在线段BP的垂直平分线l上，，，
又，点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆.
故答案为：C.
【分析】由点Q在线段BP的垂直平分线l上得，再结合椭圆的定义得到点Q的轨迹.
6．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：当时， 曲线为，即，圆心为A(-1,0)，半径为，
当时， 曲线为，即，圆心为B(1,0)，半径为，
曲线图像如下：
令x=0，则，求得y=0或y=2，，又，，
曲线围成的图形的面积为.
故答案为：D.
【分析】讨论和曲线的方程，画出图象，结合图象求解其围成的面积.
7．若，设函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；基本不等式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知 为函数 与函数 交点A的横坐标，
为函数与函数交点B的横坐标，
函数与互为反函数，其图像关于直线对称，又与垂直，
与的交点为AB的中点，，即，其中，，
A.，A错误；
B.，又， ，B
C. ，C错误
D. ，又，，D错误.
故答案为：B.
【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到，进而结合基本不等式判断选项.
8．已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆C：，圆心为，半径为，设AB中点为E，
P是圆C上任意一点，直线l上存在两点A，B，使得恒成立，
以AB为直径的圆E包含圆C，AB长度取最小值时，有以AB为直径的圆内含圆C，且，点到直线l距离为，.
故答案为：A.
【分析】根据圆的几何性质知AB长度取最小值时，以AB为直径的圆与圆C内切，且时，然后结合点到直线的距离公式求AB长
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设x1，x2，...，xn的平均数为m，x2，...，x7的平均数为n.
对于A：不妨取1，2，2，2，2，2，2，2，可得故A错误；
对于B：两组数据的中位数都是故B正确；
对于C：不妨取0，1，1，1，1，1，1，2，平均数为m=1，n=1，标准差故C错误；
对于D：则故D正确。
故答案为：BD.
【分析】根据题意，不妨将x1，x2，...，xn进行赋值，采用特殊值法对A，C作答；不妨设利用中位数及极差的定义对B，D作答。
10．已知点在圆上，点，，则（ ）
A． B．点到直线的距离大于2
C．点到直线的距离小于10 D．当时，最大
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C的圆心为，半径为，设点，
A.，，，A正确；
B.，，直线AB方程为，即，圆心到直线AB距离，
点到直线AB的最小值为圆心到直线AB距离减去半径，，B正确；
C.由B知点到直线AB的最大值为圆心到直线AB距离加上半径，，C正确；
D.当过点P的直线与圆相切时，最大，此时，
D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A根据向量数量积的坐标运算代入求解；BC利用圆心到直线距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值；D利用切线性质求解判断.
11．设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个命题：
①点的轨迹方程为；②；
③存在4个点，使得的面积为；④.
则正确命题的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得动点P到点， 的距离和等于4，又，点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，，，，点的轨迹方程为，①正确；
由椭圆定义知 ，，又，，，当三点共线时取得最大值和最小值， ② 错误；
设在边上的高为，则，要使的面积为，则，即椭圆上点到直线距离等于3，只有右顶点一个，③错误；
根据三角形两边之和大于第三边得，又点P在线段外，，④正确.
故答案为：AD.
【分析】①结合椭圆定义确定点的轨迹方程；②④结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解判断；③设在边上的高为，根据三角形面积公式得，进而根据椭圆方程判断.
12．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则（ ）
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
【答案】B,C,D
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以D为原点，DA，DC为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设
则，
，，
，，
，
设平面CBD的法向量为，则，令，求得，，即，
A.若，则，，显然平面ACD的法向量为，，不平行平面ACD ，A错误；
B.，， 当最小时， ，，此时点N是线段BD上靠近B点的四等分点，B正确；
C.若 ，则， ，C正确；
D.设点E是线段BD上靠近B点的四等分点，由B知平面CBD，，当点N位于C点时 最大 ，此时，求得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，以D为原点建立空间直角坐标系，根据N在侧面上，所以平面CBD的法向量垂直，得，进而根据条件逐一分析选项.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：方程表示椭圆，，求得，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据椭圆性质得到，进而求解的取值范围.
14．在平行六面体中，，，，，则= ．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：.
【分析】根据向量加法运算得到，再利用向量模长公式求解.
15．已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可）
【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：由题意知圆 过点 ， ，且 为直径 ，圆的方程为 ，即 ，
圆与圆方程作差得直线AB方程为，联立，求得或，设，，则直线PA的方程为，PB的方程为.
故答案为：.
【分析】先求出圆 的方程，再求直线AB方程，与圆Q联立求出A，B两点的坐标，进而写出直线PA或PB的方程.
16．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是 ；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是 .
【答案】；
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立如图平面直角坐标系，
则，，设成功点，由题意得，，
，化简得，
这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；
第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时，，，，
|AP|的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式得到点M的轨迹方程；第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时此时 |AP| 最小，进而求解 |AP|的取值范围 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：，则
即，
因为，则，所以，
，则．
（2）解：，得，
又，得，
所以，即，又，，所以，
所以周长是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角，然后根据两角和的正弦公式求解角A；
(2)根据三角形面积公式得到，再结合余弦定理得到，然后求 的周长.
18．已知直线l：和圆C：．
（1）直线l恒过一定点M，求出点M坐标；
（2）当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长．
【答案】（1）解：，
因为，
所以有，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）解：由，
所以，半径，
当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有，
即，
所以
此时直线l的方程为，
点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为.
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【分析】(1)将直线方程化为，令求解定点坐标；
(2)根据圆的性质知时，直线/被圆C所截得的弦长最短，进而求解弦长.
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，平面ABEF，，AD=AB=2BC=2BE=2.
（1）已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；
（2）已知点F到平面DCE的距离为，求平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，.
又，所以以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即不存在使得与垂直，
所以BG与平面DCE不平行.
（2）解：设且，则，所以.
由（1）知平面DCE的一个法向量，
所以F到平面DCE的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面FDE的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】(1)以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求与平面DCE 法向量的数据量不为0证明BG与平面DCE不平行；
(2)设且，利用空间向量求点F到平面DCE的距离为时a的值，进而求解平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值.
20．
（1）证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
已知：如图，，，，．
求证：．
（2）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
如图，四边形是平行四边形.求证：
【答案】（1）证明：取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，．
因为，，
所以，．
因为，所以向量，不共线.
设直线为平面内的任意一条直线，且其方向向量为，
则存在x，，使得．
从而，
所以．
即直线与平面内的任意一条直线垂直，故．
（2）证明：如图，四边形是平行四边形．以顶点A为原点，边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 中，点A的坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为．
由两点间的距离公式，得
，，，．
所以，
．
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
【知识点】直线与平面垂直的判定；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，，取直线为平面内的任意一条直线，且其方向向量为，结合基地法证明即可；
(2)建立平面直角坐标系，设出各顶点坐标，表示出，，，，运算证明.
21．已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值.
【答案】（1）解：由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆的标准方程为；
（2）解：假设存在定点，设，
设，则，
则，
当，即舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点使得为定值，且点的坐标为；
（3）解：由（2）知，故，从而，
当且仅当、、三点共线时，最小，
且．
所以的最小值为5.
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】(1)由题意设圆心坐标为，根据点到直线距离公式求出圆心，得到圆的方程；
(2)假设存在定点B，设，，化简讨论是否存在m，使得定值；
(3)由(2)知，所以，当且仅当、、三点共线时，最小.
22．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
（1）当点取在距离点米处时，证明：拉绳所在直线和平面垂直；
（2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
【答案】（1）解：因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由得到是正三角形，结合底面圆，求得，
进而求，，根据边的关系证明，，进而得到拉绳所在直线和平面垂直；
(2)建立以为原点的空间直角坐标系，设，利用空间向量求 当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时x的值，进而确定点的位置.
1 / 1广东省深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与平行，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
6．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，设函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
10．已知点在圆上，点，，则（ ）
A． B．点到直线的距离大于2
C．点到直线的距离小于10 D．当时，最大
11．设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个命题：
①点的轨迹方程为；②；
③存在4个点，使得的面积为；④.
则正确命题的有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
12．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则（ ）
A．若，则平面ACD B．当最小时，
C．若，则 D．当最大时，
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
14．在平行六面体中，，，，，则= ．
15．已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可）
16．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是 ；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求的周长．
18．已知直线l：和圆C：．
（1）直线l恒过一定点M，求出点M坐标；
（2）当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，平面ABEF，，AD=AB=2BC=2BE=2.
（1）已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；
（2）已知点F到平面DCE的距离为，求平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值.
20．
（1）证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
已知：如图，，，，．
求证：．
（2）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
如图，四边形是平行四边形.求证：
21．已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值.
22．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
（1）当点取在距离点米处时，证明：拉绳所在直线和平面垂直；
（2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，，求得.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法运算先化简，再根据复数相等求解a的值.
2．【答案】D
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解： 两直线平行，，求得，经检验，满足题意，
两直线与间的距离.
故答案为：D.
【分析】由两直线平行斜率相等求出，再利用平行直线距离公式求解.
3．【答案】C
【知识点】直线的方向向量；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：设，
向量，在直线l方向向量上的投影向量相等，直线l的方向向量与垂直，
设直线l的方向向量与共线，直线l的斜率为.
故答案为：C.
【分析】设，由题意得直线l的方向向量与垂直，进而求解直线l的斜率.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数性质得，再根据指数和对数性质将b，c与0，1比较大小.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：点Q在线段BP的垂直平分线l上，，，
又，点Q的轨迹是以A，B为焦点，长轴为4的椭圆.
故答案为：C.
【分析】由点Q在线段BP的垂直平分线l上得，再结合椭圆的定义得到点Q的轨迹.
6．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：当时， 曲线为，即，圆心为A(-1,0)，半径为，
当时， 曲线为，即，圆心为B(1,0)，半径为，
曲线图像如下：
令x=0，则，求得y=0或y=2，，又，，
曲线围成的图形的面积为.
故答案为：D.
【分析】讨论和曲线的方程，画出图象，结合图象求解其围成的面积.
7．【答案】B
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；基本不等式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知 为函数 与函数 交点A的横坐标，
为函数与函数交点B的横坐标，
函数与互为反函数，其图像关于直线对称，又与垂直，
与的交点为AB的中点，，即，其中，，
A.，A错误；
B.，又， ，B
C. ，C错误
D. ，又，，D错误.
故答案为：B.
【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到，进而结合基本不等式判断选项.
8．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆C：，圆心为，半径为，设AB中点为E，
P是圆C上任意一点，直线l上存在两点A，B，使得恒成立，
以AB为直径的圆E包含圆C，AB长度取最小值时，有以AB为直径的圆内含圆C，且，点到直线l距离为，.
故答案为：A.
【分析】根据圆的几何性质知AB长度取最小值时，以AB为直径的圆与圆C内切，且时，然后结合点到直线的距离公式求AB长
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设x1，x2，...，xn的平均数为m，x2，...，x7的平均数为n.
对于A：不妨取1，2，2，2，2，2，2，2，可得故A错误；
对于B：两组数据的中位数都是故B正确；
对于C：不妨取0，1，1，1，1，1，1，2，平均数为m=1，n=1，标准差故C错误；
对于D：则故D正确。
故答案为：BD.
【分析】根据题意，不妨将x1，x2，...，xn进行赋值，采用特殊值法对A，C作答；不妨设利用中位数及极差的定义对B，D作答。
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C的圆心为，半径为，设点，
A.，，，A正确；
B.，，直线AB方程为，即，圆心到直线AB距离，
点到直线AB的最小值为圆心到直线AB距离减去半径，，B正确；
C.由B知点到直线AB的最大值为圆心到直线AB距离加上半径，，C正确；
D.当过点P的直线与圆相切时，最大，此时，
D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A根据向量数量积的坐标运算代入求解；BC利用圆心到直线距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值；D利用切线性质求解判断.
11．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得动点P到点， 的距离和等于4，又，点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，，，，点的轨迹方程为，①正确；
由椭圆定义知 ，，又，，，当三点共线时取得最大值和最小值， ② 错误；
设在边上的高为，则，要使的面积为，则，即椭圆上点到直线距离等于3，只有右顶点一个，③错误；
根据三角形两边之和大于第三边得，又点P在线段外，，④正确.
故答案为：AD.
【分析】①结合椭圆定义确定点的轨迹方程；②④结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解判断；③设在边上的高为，根据三角形面积公式得，进而根据椭圆方程判断.
12．【答案】B,C,D
【知识点】空间直角坐标系；直线与平面平行的判定；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以D为原点，DA，DC为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设
则，
，，
，，
，
设平面CBD的法向量为，则，令，求得，，即，
A.若，则，，显然平面ACD的法向量为，，不平行平面ACD ，A错误；
B.，， 当最小时， ，，此时点N是线段BD上靠近B点的四等分点，B正确；
C.若 ，则， ，C正确；
D.设点E是线段BD上靠近B点的四等分点，由B知平面CBD，，当点N位于C点时 最大 ，此时，求得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，以D为原点建立空间直角坐标系，根据N在侧面上，所以平面CBD的法向量垂直，得，进而根据条件逐一分析选项.
13．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：方程表示椭圆，，求得，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据椭圆性质得到，进而求解的取值范围.
14．【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：.
【分析】根据向量加法运算得到，再利用向量模长公式求解.
15．【答案】
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：由题意知圆 过点 ， ，且 为直径 ，圆的方程为 ，即 ，
圆与圆方程作差得直线AB方程为，联立，求得或，设，，则直线PA的方程为，PB的方程为.
故答案为：.
【分析】先求出圆 的方程，再求直线AB方程，与圆Q联立求出A，B两点的坐标，进而写出直线PA或PB的方程.
16．【答案】；
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立如图平面直角坐标系，
则，，设成功点，由题意得，，
，化简得，
这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；
第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时，，，，
|AP|的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】第一空：分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式得到点M的轨迹方程；第二空：当线段FP与点M的轨迹相切时此时 |AP| 最小，进而求解 |AP|的取值范围 .
17．【答案】（1）解：，则
即，
因为，则，所以，
，则．
（2）解：，得，
又，得，
所以，即，又，，所以，
所以周长是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角，然后根据两角和的正弦公式求解角A；
(2)根据三角形面积公式得到，再结合余弦定理得到，然后求 的周长.
18．【答案】（1）解：，
因为，
所以有，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）解：由，
所以，半径，
当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有，
即，
所以
此时直线l的方程为，
点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为.
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【分析】(1)将直线方程化为，令求解定点坐标；
(2)根据圆的性质知时，直线/被圆C所截得的弦长最短，进而求解弦长.
19．【答案】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，.
又，所以以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即不存在使得与垂直，
所以BG与平面DCE不平行.
（2）解：设且，则，所以.
由（1）知平面DCE的一个法向量，
所以F到平面DCE的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面FDE的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】(1)以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求与平面DCE 法向量的数据量不为0证明BG与平面DCE不平行；
(2)设且，利用空间向量求点F到平面DCE的距离为时a的值，进而求解平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值.
20．【答案】（1）证明：取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，．
因为，，
所以，．
因为，所以向量，不共线.
设直线为平面内的任意一条直线，且其方向向量为，
则存在x，，使得．
从而，
所以．
即直线与平面内的任意一条直线垂直，故．
（2）证明：如图，四边形是平行四边形．以顶点A为原点，边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 中，点A的坐标是，设点B的坐标为，点D的坐标为，由平行四边形的性质，得点C的坐标为．
由两点间的距离公式，得
，，，．
所以，
．
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
【知识点】直线与平面垂直的判定；向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)取直线的方向向量，直线a，b的方向向量，，取直线为平面内的任意一条直线，且其方向向量为，结合基地法证明即可；
(2)建立平面直角坐标系，设出各顶点坐标，表示出，，，，运算证明.
21．【答案】（1）解：由题意设圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆的标准方程为；
（2）解：假设存在定点，设，
设，则，
则，
当，即舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点使得为定值，且点的坐标为；
（3）解：由（2）知，故，从而，
当且仅当、、三点共线时，最小，
且．
所以的最小值为5.
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】(1)由题意设圆心坐标为，根据点到直线距离公式求出圆心，得到圆的方程；
(2)假设存在定点B，设，，化简讨论是否存在m，使得定值；
(3)由(2)知，所以，当且仅当、、三点共线时，最小.
22．【答案】（1）解：因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，故应该把点取在距离点米处.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由得到是正三角形，结合底面圆，求得，
进而求，，根据边的关系证明，，进而得到拉绳所在直线和平面垂直；
(2)建立以为原点的空间直角坐标系，设，利用空间向量求 当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时x的值，进而确定点的位置.
1 / 1
