5.2.1三角函数的概念（第一课时） 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
5.2 三角函数的概念
第五章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念（1）
一
二
三
学习目标
借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号
掌握公式—— 并会应用
学习目标
复习导入
回顾 你能回忆初中所学的直角三角形中锐角三角形的概念吗？你能在下面的直角三角形中找到锐角的三角函数值吗？
角
实数
弧度制
在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数.
下面用这些知识，研究上节开头提出的问题。
为了不失一般性，先研究单位圆上点的运动.
新知探究
那么现在的任务就是：



如图，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学函数模型，刻画点的位置变化情况.
追问 要完成这个任务，我们需要什么工具来研究？
①建立函数模型,要利用直角坐标系.
②根据弧度制的定义，需要借助单位圆.
如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y).
射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.



新知探究
问题1 已知圆周上的动点P的位置由角α的终边OP与圆的交点唯一确定，那么能否建立点P 的位置(坐标)与角α的函数关系？
点P的坐标如何求？
由特殊到一般
当α= 时，点P的坐标是什么？当α= 或α= 时，点P的坐标又是什么？
A(1,0)
P
O
x
α
A(1,0)
P
O
x
α
A(1,0)
P
O
x
α
M
方法:过点P向x轴做垂线，得到RT OPM，可以用锐角三角函数求点P的坐标；



追问 一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定
点P的横坐标x、纵坐标y都是关于角α的函数
当角α确定时
点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的
新知探究
概念生成
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,
即 y=sinα;
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,
即 x=cosα
(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数,记作tanα, 即 =tanα


(x≠0).
概念生成
正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.
追问1 任意角三角函数的定义域分别是什么呢
按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为:
正弦函数：y=sinx,
余弦函数：y=cosx,
正切函数：y=tanx,
x∈R
x∈R
三角函数第一定义（单位圆定义）
追问2 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，
锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，
在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数.
锐角三角函数的自变量是锐角，可以理解为
新知探究
典例解析
例1 求的正弦、余弦和正切值。


解: 在坐标系中作出∠AOB= ，
易知∠AOB的终边与单位圆的交点P的坐标为

所以



解：
巩固练习
课本P179~180
α
设α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则:
则 |P0M0|＝| y0|，|PM|＝|y|， |OM0|＝|x0|， |OM|＝|x|，
∴sinα=y0,
ΔOMP∽ΔOM0P0
∵ y与y0同号
典例解析
例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.
求证：
证明:
于是，
即
∴
即
同理可得
只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变.
反思 由例2可得什么结论？
概念生成
设角α是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点，
点P与原点的距离为
那么① 叫做α的正弦，即
② 叫做α的余弦，即
③ 叫做α的正切，即
任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
三角函数第二定义（任意点定义）
反思 与第一定义相比，你能看出两个定义有什么联系吗？
（课本180）3.已知角θ的终边过点 P(-12，5)，求θ的三角函数值.
解：
由已知可得
解：
巩固练习
课本P179~180
4.已知点P在半径为2的圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时点P的位置.
解：
设位置A为点P的起点.
∵点P的角速度为顺时针 1rad/s,
∴2s 时OP 转过的角α = -2rad/s.
现以圆心O 为坐标原点，射线 OA为x 轴的非负半轴建立直角坐标系。则
巩固练习
课本P179~180
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
任意角的三角函数
借助单位圆定义
求角的三角函数值