河北省名校大联考2023-2024学年高二上学期12月质量检测数学试卷（含解析）

河北省名校大联考2023-2024学年高二上学期12月质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中，，公差，则（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.在等差数列中，，则的值为（ ）
A.20 B.15 C.10 D.5
5.已知四面体，G是的重心，若，则（ ）
A.4 B. C. D.
6.已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.2
8.已知抛物线C：，O为坐标原点，在抛物线C上存在两点A，B（异于原点），直线，，的斜率分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列1，，，，…，，…，则下列说法正确的是（ ）
A.是它的第3项 B.是它的第4项
C.是它的第9项 D.是它的第16项
10.如图所示，四边形为正方形，平面平面，E为的中点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.直线到平面的距离为
C.异面直线与所成角的余弦值为 D.直线与平面所成角的正弦值为
11.已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，若，则下列命题正确的是（ ）
A.数列是递增数列 B.是数列中的最小项
C.和是中的最小项 D.满足的n的最大值为25
12.已知焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线C的实轴长为，过双曲线C的右焦点F且斜率不为零的直线l与双曲线交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，则（ ）
A.双曲线的标准方程为
B.若直线l的斜率为2，则
C.若点B，A，F依次从左到右排列，则存在直线l使得A为线段的中点
D.直线过定点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列的通项公式是，则7是该数列中的第________项.
14.若空间向量，，共面，则实数_______.
15.已知，，且（n为正整数），则________.
16.已知点P是椭圆C：上异于上下顶点的任意一点，O为坐标原点，过点P作圆O：的切线，切点分别为M，N，若存在点P使得，则椭圆离心率的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知点，直线l：.
（1）求经过点P且与直线l平行的直线方程；
（2）求经过点P且与直线l垂直的直线方程.
18.（本小题满分12分）
记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前20项和.
19.（本小题满分12分）
已知点是双曲线C：上任意一点.
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）已知点，求的最小值.
20.（本小题满分12分）
设为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，E为侧棱上一点，平面与侧棱交于点F，且，与底面所成的角为.
（1）求证：F为线段的中点；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C：的右焦点为F，离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线（直线的斜率不为0）与椭圆C相交于M，N两点，过焦点F作与直线的倾斜角互补的直线，与椭圆C相交于P，Q两点，求的值，
河北省名校大联考2023-2024学年高二上学期12月质量检测
数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A B C C B
题号 9 10 11 12
答案 CD ACD AC ABD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】，故选D.
2.【答案】C
【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为.故选C.
3.【答案】C
【解析】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为θ，有，又，所以.故选C.
4.【答案】A
【解析】在等差数列中，，则，因此.故选A.
5.【答案】B
【解析】取的中点D，，可得，.故选B.
6.【答案】C
【解析】过点C作，垂足为H，由，可得，有，有，可得，有，可得.故选C.
7.【答案】C
【解析】根据等差数列性质可得，则，，当且仅当，即，时，取“”号.故选C.
8.【答案】B
【解析】设点A，B的坐标分别为，，有，，，由，有，可得，有.故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】CD
【解析】当时，，C正确，A错误；
当时，，故D正确，B错误.故选CD.
10.【答案】ACD
【解析】，故A正确；
易知，平面，平面，所以平面，由，，可知平面，所以直线到平面的距离为，即B错误；
异面直线与所成角即与所成角，因此余弦值为，故C正确；
易知平面，即，故与平面所成角的正弦值为，故D正确.故选ACD.
11.【答案】AC
【解析】因为，所以，即，因为，所以，数列是递增数列，所以选项A正确；
因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项B错误；
因为，，所以当或时，取最小值，所以选项C正确；
由不等式，可得，又因为，所以满足的n的最大值为24，所以选项D错误.故选AC.
12.【答案】ABD
【解析】设双曲线C的标准方程为，由双曲线C的实轴长为，可得，可知双曲线C的标准方程为，故A选项正确；
由上知，设直线l的方程为，A，B两点的坐标分别为，，联立方程，消去y后整理为，有，，可得，故B选项正确；
由，，有，故不存在直线l使得A为线段的中点，故C选项错误；
设直线l的方程为，联立方程，消去x后整理为，有，，点D坐标为，直线斜率为，直线斜率为，若直线过定点P，则，即，经检验，上述等式恒成立，则直线过定点，故D选项正确.故选ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】25
【解析】根据题意，得，解得，所以7是该数列中的第25项.
14.【答案】1
【解析】由题可知，故，有，解得.
15.【答案】1
【解析】因为，，且，所以，，，，，，…，所以是以6为周期的数列，因为，所以.
16.【答案】
【解析】当时，由于M，N为切点，则，又因为点P在椭圆上，因此，即，解出.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）设经过点P且与直线l平行的直线方程为，将代入得，，所以所求直线方程为；
（2）直线l：的斜率为，与直线l垂直的直线斜率为，
所以经过点P且与直线l垂直的直线方程为，即.
18.【答案】（1）（2）
【解析】（1）设公差为d，由题设有，
解得，，所以；
（2）由（1）知，
因此，所以数列的前20项和为.
19.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：由已知可得，，
所以双曲线的渐近线方程为，
点到直线，即直线的距离，
点到直线，即直线的距离，
所以，点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为，
又在双曲线上，
所以，所以，所以是一个常数；
（2）解：因为，所以，
解得或，
所以，
当时，的最小值为，所以的最小值为.
20.【答案】（1）（2）
【解析】（1）是等差数列，，；
（2）由（1）得，则，.
21.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：因为平面，，平面，
所以，，
又因为，且，
所以平面，为与平面所成的角，
由，有，所以E为中点，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，所以，所以F为线段的中点；
（2）解：由（1）可知，，两两垂直，如图所示，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，得到，
设平面的法向量为，由，，
有，取，，，可得，
所以，所以平面与平面的夹角的正弦值为.
22.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，可得，，
可得椭圆方程为，代入点A的坐标有，
解得，故椭圆C的标准方程为；
（2）由（1）知，点T为，设点P，Q，M，N的坐标分别，，，，直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，消去y后整理为，
有，，
联立方程，消去y后整理为，
有，，
又由右焦点，有，
对，，，消元，可得到原式，故的值为.