广西贵百河三市联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

贵百河三市联考2023-2024学年高一上学期12月月考
数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）
① ② ③ ④
A.①，②，③，④
B.①，②，③，④
C.①，②，③，④
C.①，②，③，④
5.设集合，，，（ ）
A. B. C. D.
6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天 （参考数据：，，）
A.19 B.35 45 D.55
7.己知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.以下运算结果等于2的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列各组函数是同一函数的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
11.下列说法正确的是（ ）
A.函数与的图象关于轴对称
B.函数与的图象关于轴对称
C.函数与的图象关于原点对称
D.函数与的图象关于轴对称
12.已知函数则下列说法正确的是（ ）
A.的定义域为 B.的值域为
C.为奇函数 D.为增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数（，且）的图象恒过点________.
14.函数反函数的定义域为________.
15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，_______.
16.已知正数，满足，则的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤
17.（10分）
（1）计算：；
（2）已知，且，求的值.
18.（12分；已知，，（且）.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由。
19.（12分）已知函数.
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.
（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20.（12分）某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量（箱）与销售单价元/箱之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价元/箱之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.（12分）定义在上的函数满足，且函数在上单调递减.
（1）求，并证明函数是偶函数；
（2）若，解不等式.
22.（12分）已知，.
（1）判断函数的单调性并用定义证明你的结论.
（2）若对恒成立，求的取值范围.
贵百河三市联考2023-2024学年高一上学期12月月考
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C A B B B D BCD AC ACD ACD
1.【解析】由题意可得：，则．故选：A．
2.【解析】根据存在量词命题的否定规则，可知为“，”故选：B
3.【解析】若，则，则；若，
则 则 则故选：C
4.【解析】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①；
幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②；
幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③；
幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④；故选：A
5.【解析】方法1：若则或
或 或故选：B
方法2：若则 或 或；
经检验知不符合题意，符合题意，故选：B
方法3：逐项验证
6.【解析】设天后当“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，即，
，.故选：B.
7.【解析】由得，，由得，由得
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B
8.【解析】由题意，要使在上的减函数，故需要满足：，解得，故选：D
9.【解析】对于A，，不合题意；对于B，，符合题意；
对于C，，符合题意；对于D，，符合题意.故选：BCD
10.【解析】A选项，与定义域相同、对应关系相同、值域也相同，
A选项是同一函数.B选项，的定义域为，的定义域为，不是同一函数.
C 选项，和的定义域都为，，，
对应关系相同，值域也相同，C选项是同一函数.
D选项，的值域为，的值域为，不是同一函数.故选：AC
11.【解析】易知函数与的图象关于轴对称，函数与的图象关于轴对称，且函数与的图象关于轴对称，所以函数与的图象关于原点对称，所以B说法错误，故选ACD.
12.【解析】根据分段函数的解析式可知，的定义域为，选项A正确；的值域为，选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C，D正确．故选ACD．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】令，则，因此，所以函数的图象过定点．
14.【答案】
【解析】由，可知．所以反函数的定义域为．
15.【答案】
【解析】函数是定义在上的奇函数， 当时，
当时 ，∴.
16.【答案】9
【解析】因为正数，满足，所以，当且仅当，即时，等号成立．
三、解答题
17.（10分）解析：（1）原式 （2分）
. （5分）
（2）已知，所以，所以，，（1分）
所以，，（2分）
所以，（3分）
因为由（4分）
得，（5分）
18.（12分）【解】（1）令得： 定义域为 （2分）
令得： 定义域为 （4分）
的定义域为 （6分）
（2）由题意得：，（8分）
（9分）
（10分）
（11分）
为偶函数（12分）
19.（12分）[解]（1）函数的对称轴为 （1分）
又有函数在上是单调函数，或（3分）
解得或（5分）
∴实数的取值范围为 （6分）
（2）当，时，恒成立，即恒成立（7分）
令，恒成立 （8分）
函数的对称轴， （9分）
， （11分）
的范围为（12分）
20.（12分）[解]：（1）根据题意，得，
化简得 （3分）
（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，
所以 （6分）
（3）因为，（8分）
所以当时，随的增大而增大．（9分）
又，，所以当时，有最大值，最大值为1125. （11分）
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1125元．（12分）
21.（12分）[解]：（1）令，则 （1分）
得 （2分）
再令，，可得 （3分）
得，所以 4分
令，可得 （5分）
又该函数的定义域关于原点对称，所以是偶函数. （6分）
（2）因为，又该函数为偶函数，所以.因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增. （7分）
又， （8分）
所以. ，（9分）
即 10分
解得或 （11分）
所以不等式的解集为 （12分）
22.（12分）【解】（1）在上单调递增.证明如下： （1分）
任取且，则
（3分）
，，，，，
在上单调递增（5分）
（2）由对恒成立，
即对恒成立，（7分）
可得，（8分）
则，
，
（9分）
设，，由（1）知，
故原不等式可化为在上恒成立，（10分）
又，所以当时，，，
的取值范围 （12分）