2024 年浙江省湖州二中高三第一学期期中测试
年级状况：
最高分 72 分，均分 47.3，最低分 10 分
一、单选题（共 40 分）（均分：20.545）
1．（本题 5分）（0.9 2基础题）已知集合M x∣x 2x 3 0 ,N {x∣ 2 x 1}，则
M N （ ）（正确率：94.6%）
A．{x∣ 2 x 1} B．{x∣ 1 x 1}
C．{x∣1 x 3} D．{x∣ 2 x 3}
【答案】B
【分析】化简集合 A，根据交集运算求解即可.
【详解】由 x2 2x 3 0，解得 1 x 3，
所以M x∣ 1 x 3 ,N {x∣ 2 x 1}，
所以M N x∣ 1 x 3 {x∣ 2 x 1} {x∣ 1 x 1} .
故选：B.
1
2．（本题 5分）（0.8 基础题）已知非零向量 a，b，c满足 a b ，c a，若 c为3 b
在
a上的投影向量，则向量 a，b夹角的余弦值为（ ）（正确率：92.5%）
1 1 1 1A． 2 B． C． D．3 4 5
【答案】B
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹
角公式代入计算，即可得到结果.
1
【详解】由 c a，
3 c
为b在 a上的投影向量，
c 1
a b
a b cos a ,b cos a ,b a cos a ,b a
3 a a
1
所以 a
1
cos a,b a，故 cos a,b
3 3
故选：B
3．（本题 5分）（0.8 基础题）设 z a bi a,b R （ i为虚数单位）为复数，则下列说
法正确的是（ ）（正确率：80.5%）
A．若 z是纯虚数，则 a 0或b 0
B．复数 z模长的平方值等于复数 z的平方值
C．若 z的模长为1，则 z i 的最大值为 2
试卷第 1页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
D．若 z 1 1，则0 z 2
【答案】C
【分析】利用复数的概念可判断 A选项；利用特殊值法可判断 B选项；利用复数模的
三角不等式可判断 C选项；设 z 1 cos i sin ，利用复数的模长公式可判断 D选项.
【详解】对于 A选项，若 z是纯虚数，则 a 0且b 0，A错；
B z 1 i z 2对于 选项，取 ，则 1 1 2， z2 1 i 2 2i，则 z 2 z2，B错；
对于 C选项，因为 z 1，则 z i z i 2，
当且仅当 z i时，等号成立，即 z i 的最大值为 2，C对；
对于 D选项，因为 z 1 1，设 z 1 cos i sin ，则 z 1 cos i sin ，
2
所以， z 1 cos sin2 2 2cos 0,2 ，D错.
故选：C.
4．（本题 5分）（0.7 中档题）若数列 an 满足 n 1 an n 1 an 1 n 2 ， a1 2，则
满足不等式 an 930的最大正整数 n为（ ）（正确率：41.6%）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【分析】利用累乘法求得 an ，由此解不等式 an 930 ,求得正确答案.
【详解】依题意，数列 an 满足 n 1 an n 1 an 1 n 2 ， a1 2，
an n 1 n 2 ，所以 a
a2 a3 an 3 4 5 n n 1
a n 1 n
a1 2
n 1 a1 a2 an 1 1 2 3 n 2 n 1
n n 1 ， a1也符合，所以 an n n 1 ， an 是单调递增数列，
由 an n n 1 930, n 31 n 30 0，解得 31 n 30，
所以 n的最大值为 29 .
故选：B
5．（本题 5分）（0.65 中档题）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有 4个
红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以 A1、A2、A3表
示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B表示由
乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）（正确率：53.1%）
2 5
A． P B B． P B A
5 1
11
试卷第 2页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
C．事件 B与事件 A1不相互独立 D． A1、 A2、 A3两两互斥
【答案】A
【分析】利用全概率公式可判断 A选项；直接写出 P B A1 的值，可判断 B选项；利用
独立事件的定义可判断 C选项；利用互斥事件的定义可判断 D选项.
5 1
【详解】依题意， P A1 ，P A
2 1
2 ， P A
3
，
10 2 10 5 3 10
P B A 51 ， P B A2 P B A3 4 ，B对，11 11
3
P B P A P B A 1 5 1 4 3 4 9 i i ，A错；
i 1 2 11 5 11 10 11 22
P BA1 P A1 P B A 1 5 5 1 9 91 ， P A1 P B ，2 11 22 2 22 44
所以， P BA1 P B P A1 ，所以，事件 B与事件 A1不相互独立，C对，
由题意可知，事件 A1、 A2、 A3中的任意两个事件都不可能同时发生，
因此，事件 A1、 A2、 A3两两互斥，D对.
故选：A.
2lnx
, x 0 x 1
6．（本题 5分）（0.55 中档题）设函数 f x 若 y f (x) 恰
sin x π
, π x 0
2
6
有 5个不同零点，则正实数 的范围为（ ）（正确率：23.2%）
10 10 A , 4 ． B． , 4
3 3
C 2,
10
． D． 2,
10
3 3
【答案】D
【分析】画出 f x 的图象，将 y 1 1 f (x) 恰有 5个不同零点转化为 y f x 与 y 有
2 2
5个交点即可.
【详解】由题知，
y 1 f (x) 零点的个数可转化为 y f x y 1与 交点的个数，
2 2
2lnx 2 1 ln x
当 x 0 时， f x f ( x)
x x2
所以 x 0,e 时， f (x) 0， f x 单调递增，
x e,+ 时， f (x) 0， f x 单调递减，
如图所示：
试卷第 3页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
所以 x e时 f x 有最大值： f x f emax
2 1
e 2
所以 x 0时，由图可知必有两个交点；
当 x 0时，因为 0， π≤ x≤0，
π
所以 π+ x
π π
，
6 6 6
π t π+ π π令 t
x ，则
6
,
6 6
则有 f x sin t且 t π π π+ , 6 6 ，如图所示：
因为 x 0时，已有两个交点，
1
所以只需保证 f x sin t与 y 有三个交点即可，
2
19π π 11π 10
所以只需 π+ ，解得 2 .
6 6 6 3
故选：D
【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形
结合方便分析求解.
7．（本题 5分）（0.2 难题）对于平面上点 P和曲线C，任取C上一点Q，若线段 PQ的
长度存在最小值，则称该值为点 P到曲线C的距离，记作 d P,C ．下列结论中正确的
个数为（ ）（正确率：11.2%）
①若曲线C是一个点，则点集D P d P ,C 2 所表示的图形的面积为 4π；
②若曲线C是一个半径为 2的圆，则点集D P d P ,C 1 所表示的图形的面积为9π；
③若曲线C是一个长度为 2的线段，则点集D P d P ,C 1 所表示的图形的面积为
π 4；
④若曲线C是边长为9的等边三角形，则点集D P d P ,C 1 所表示的图形的面积为
54 π 3 3．
试卷第 4页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即
可得出结论.
【详解】设点 P(x, y)，
对于①，若曲线C表示点 (a ,b)，则 d P,C x a 2 y b 2 2，
化简可得 x a 2 y b 2 4，
所以，点集D P d P ,C 2 所表示的图形是以点 (a ,b)为圆心，半径为 2的圆及其内
部，
所以，点集D P d P ,C 2 所表示的图形的面积为 π 22 4π，①对；
对于②，若曲线C表示以点M (a,b)为圆心，半径为 2的圆，
设Q为曲线C上一点，当点 P在曲线C内时， PQ MQ MP MQ MP 2 MP ，
当且仅当Q,P,M三点共线时，等号成立，
所以 d (P,C) 2 MP 1，可得 MP 1，此时1 MP 2；
当点 P在曲线C外时， PQ MQ MP MP MQ MP 2，
当且仅当Q,P,M三点共线时，等号成立，
所以， d (P,C) MP 2 1，可得 MP 3，此时 2 MP 3，
当点 P在曲线C上时，线段 PQ的长不存在最小值，
综上所述，1 MP 2或 2 MP 3，即1 x a 2 y b 2 4或
4 x a 2 y b 2 9，
所以，点集D P d P ,C 1 所表示的图形是夹在圆 x a 2 y b 2 1和圆
x a 2 y b 2 9 2的区域（但不包括圆 x a y b 2 4的圆周），
此时，点集D P d P ,C 1 π 32 2所表示的图形的面积为 1 8π，②错；
试卷第 5页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
对于③，不妨设点曲线C为线段 AB，且 | AB | 2，
当点Q与点A重合时，由①可知，则点集D表示的是以点A为圆心，半径为 1的圆，
当点Q与点 B重合时，则点集D表示的是以点 B为圆心，半径为 1的圆，
故当点Q在线段 AB上滑动时，点集D表示的区域是一个边长为 2的正方形 EFGD和两
个半径为 1的半圆所围成的区域，
此时，点集D的面积为 π 12 22 π 4，③对；
对于④，若曲线C是边长为 9的等边三角形，设等边三角形为 ABC，
π π 2π
因为 BAD CAE ， BAC ，则 DAE ，
2 3 3
试卷第 6页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
由③可知，点集D构成的区域由矩形 ABRD、 ACFE、 BCWL，
2π
以及分别由点 A,B,C为圆心，半径为 1，圆心角为 的三段圆弧，
3
和夹在等边三角形 ABC和等边三角形 STU中间的部分（包括边界），
因此 | SG | 1， | AG | | SG | tan
π
3，则 |HG | | AB | 2 | AG | 9 2 3，
3
2 3 2 2所以，点集D所表示的图形的面积为 π 1 3 9 1 9 9 2 3 54 π 3 3，4
④对.
综上所述：正确的序号为①③④，共 3个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集D所表示的区域，并作出其图形，
计算其面积即可.
n
8．（本题 5分）（0.15 难题）已知数列{an}满足 ai 0，对于函数 f（x）＝x|x|，定义
i 1
n
f (ai )
F（n）＝ i 1 n ．（正确率：14.2%）
ai
i 1
①若{an}为等比数列，则 F（n）＞0恒成立；
②若{an}为等差数列，则 F（n）＞0恒成立．
关于上述命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【分析】由题，将数列分为常数列，等差数列，等比数列进行讨论.
n
【详解】①当 an 为非零常数列时， ai na1，
i 1
试卷第 7页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
n
f ai 2
（1）当 a i 1
na1
1 0， n a1 0；
a na1i
i 1
n
f ai na 2
（2）当 a1 0， i 1 n
1 a1 0，
a na1i
i 1
故当 an 为非零常数列时，F（n）＞0恒成立.
n
②当 an
a1 an n
为等差数列，设 ai 0，则由等差数列性质有：
i 1 2
a1 an a2 an 1 a3 an 2 am an 1 m 0，其中m =1，2，3，L ， n .
2
又 f x x，x 0 2 ，易得其为奇函数，且在R 上单调递增. 则有
x，x 0
am an 1 m 0 am an 1 m f am f an 1 m f an 1 m f am f an 1 m 0
其中m=1，2，3，L ， n .
n
则 2 f ai f a1 f an f a 2 f an 1 f an f a 1 0
i 1
n n n
得 f ai 0 .又 ai 0时，可同理证明 f ai 0 .
i 1 i 1 i 1
故当{an}为等差数列，F（n）＞0恒成立.
③当 an 为等比数列，
（1）当等比数列公比 q 0且 q 1，则 an 中所有项符号相同.
n n
i若a1 0，则 ai 0， f ai 0 .F（n）＞0恒成立；
i 1 i 1
n n
ii若 a1 0，则 ai 0， f ai 0 .F（n）＞0恒成立.
i 1 i 1
（2）当 q 0时， an 中任意相邻两项符号不同.
n
a 0 1 q
n
i当 1 ，当 n 2k，k N 时， a1 a1 ， q 1
i 1 1 q
n 2
2k
4k 2n
f a 2 2 2 2 2 2
1 q
2 2 1 q 2 1 q
1 a1 a2 a3 a4 a2k 1 a2k a1 a 1 q2 1 1 q2
a1
i 1 1 q2
n
f (ai ) n
q 0 i 1 1 q 1 q 当 且 q 1时， n = a1 2 0 .
a 1 qi
i 1
n 1 qn
ii当 a1 0，当 n 2k 1，k N 时， a1 a1
i 1 1 q
试卷第 8页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
n
f a 2 2 2 2 21 a1 a2 a3 a4 a2k 1
i 1
2 2k 11 q 4k 2 2n
= a 2 1 q 1 q1 a
2 2
1 q2 1
a
1 q2 1
1 q2
n
n n f (ai )
又 q 0时， a1 0， f ai ，则 i 10 n 0
i 1 i 1 ai
i 1
n 1 qn
iii当 a1 0，n 2k，k N 时， a1 a1 ， q 1
i 1 1 q
n
f ai a 2 2 2 2 2 21 a2 a3 a2k 2 a2k 1 a2k
i 1
2k
1 q2
a 2 a 2 1 q
4k
a 2 1 q
2n
1 1 q2 1 1 q2 1 1 q2
n
f (ai ) n
当 q 0且 q 1时， i 1 1 q 1 q n = a1 2 0
a 1 qi
i 1
n 1 qn
iv当 a1 0，n 2k 1，k N 时， a1 a1
i 1 1 q
n
f a a 2 2 2 2 2 2i 1 a2 a3 a2k 2 a2k 1 a2k
i 1
2k 1
1 q2 1 q4k 2a 2 a 2 a 2 1 q
2n
1 .1 q2 1 1 q2 1 1 q2
n
n n f (ai )
又 q 0时， a1 0， f ai 0，则 i 1 n 0
i 1 i 1 ai
i 1
故{an}为等比数列时，F（n）＞0恒成立.
综上，当{an}为等比数列，或等差数列时，均有 F（n）＞0恒成立.
故选：A
【点睛】关键点点睛，本题考查数列，函数奇偶性，单调性等知识，属综合题，难度较
大.当{an}为等差数列时，解决问题的关键是能够由 am an 1 m 0利用 f x 性质得到
f am f an 1 m 0 .当{an}为等比数列时，问题关键为通过讨论 n的奇偶性，求出 q 0
n
时， f ai 表达式.
i 1
试卷第 9页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
二、多选题（共 20 分）（平均分：7.645分）
9．（本题 5分）（0.65 中档题）如图所示，棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为
线段 A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
（2分率：71.4%）（5分率：9.3%）（平均分：1.893分）
D P AB D P A． 1 1 B． 1 与 AC所成的角可能是 6
C． AP DC1 是定值 D．当 A1P 2PB时，点C1到平面D1AP的
距离为 1
【答案】ACD
【分析】以D为原点，DA为 x轴正方向，DC为 y轴正方向，DD1为 z轴正方向，建立
空间直角坐标系，设P 3,a,3 a ， 0 a 3 ，计算D1P，AB1可判断 A；假设D1P与
π π
AC所成的角是 ，则 cos D
6 1
P, AC cos ，求解可判断 B；计算 AP，DC1可判断 C；6
当 A1P 2PB时，P 3,2,1 ，求出平面D1AP的法向量，利用点到平面的距离公式可判断
D.
【详解】以D为原点，DA为 x轴正方向，DC为 y轴正方向，DD1为 z轴正方向，建立
空间直角坐标系，则D1 0,0,3 ，B1 3,3,3 ，C1 0,3,3 ，A 3,0,0 ，C 0,3,0 ，D 0,0,0 ，
设 P 3,a,3 a ， 0 a 3 ，则D1P 3, a, a ， AB1 0,3,3 ，
试卷第 10页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
所以D1P AB1 3 0 a 3 a 3 0 ，则D1P AB1，故 A正确；
因为 AC 3,3,0 ，D1P 3, a, a ，
所以 cos D1P, AC
D 1 P A C 3a 9
D1P AC
，
9 2a2 3 2
若D
π
1P与 AC所成的角是 ，6
9 3a π
则 cos D1P, AC cos
π
，即 cos
6 9 2a2 3 2 6
，
2 3
整理得 2a 3 0，得 a ，与 0 < a < 3矛盾，故 B错误；
2
uuur uuuur
AP 0,a,3 a ，DC1 0,3,3 ，所以 AP DC1 0 0 a 3 3 a 3 9为定值，故 C正
确；
当 A1P 2PB时， P 3,2,1 ，
D1A 3,0, 3 ， AP 0,2,1 ，C1D1 0, 3,0 ，
设平面D1AP的法向量为m x, y, z ，
D1A m
3x 3z 0
由 令 z 2，则 x 2， y 1，m 2, 1,2 ，
AP m 2y z 0
C1D1 m 3
点C1到平面D1AP的距离 d 1m 3 ，故 D正确.
故选：ACD.
10．（本题 5分）（0.7 中档题）已知 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，下列
四个命题中正确的是（ ）（2分率：24.4%）（5分率：69.3%）（平均分：3.953分）
A．若 acosA bcosB，则 ABC一定是等腰三角形
B．若bcosC ccosB b，则 ABC是等腰三角形
a b c
C．若 ，则 ABC一定是等边三角形
cos A cos B cosC
D．若 B 60 ,b 2 ac，则 ABC是直角三角形
【答案】BC
【分析】由正弦定理化边为角变形判断 ABC，由余弦定理判断 D．
【详解】对于 A，若a cos A bcosB，由正弦定理得sin Acos A sinBcosB，
即 sin 2A sin 2B，又 A,B (0, π)，
则 2A 2B或 2A 2B π，即 A B或 A B
π
，
2
试卷第 11页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故 A错误；
对于 B，若bcosC ccosB b，
则由正弦定理得 sin B cosC sinC cos B sin B C sin A sin B，
又 A,B (0, π)，则 A B或 A π B（舍去），
则 ABC是等腰三角形，故 B正确；
a b c
对于 C，若 ，
cosA cosB cosC
sin A sin B sinC
由正弦定得理 ，即 tan A tan B tanC ，
cosA cosB cosC
又 A,B,C为三角形内角，所以 A B C，三角形是等边三角形，故 C正确；
对于 D，由于 B 60 ,b 2 ac，
2
由余弦定理可得 ac b2 a2 c2 ac，可得 a c 0，解得 a c，
所以b a c，故 ABC是等边三角形，故 D错误．
故选：BC.
2 2
11 x y．（本题 5分）（0.45 偏难题）已知双曲线 C： 1 a 0,b 0 的左焦点为 F，
9 16
P为 C右支上的动点，过 P作 C的一条渐近线的垂线，垂足为 A，O为坐标原点，则下
列说法正确的是（ ）（2分率：51.3%）（5分率：3.1%）（平均分：1.181分）
A．点 F到 C的一条渐近线的距离为 2
5
B．双曲线 C的离心率为
3
C．则 P到 C的两条渐近线的距离之积大于 4
D．当 PA PF 最小时，则△PAF的周长为10 2 13
【答案】BCD
c
【分析】由点到直线的距离公式，可判断 A项；根据离心率 e ，可判断 B项；设点
a
P x ,y0 0 ，根据点到直线的距离公式，可判断 C项；设双曲线的右焦点 F1，由双曲线
定义可知 PA PF 最小时，则只需 PA PF1 最小即可，过 F1作F1A垂直渐近线
4x 3y=0与点A，F1A交双曲线右支与点 P，此时 PA PF1 最小，再由距离公式即可
判断 D项.
x2 y2
【详解】双曲线 1 a 0,b 0 的渐近线为 4x 3y=0，左焦点 F 5,0 ，所以
9 16
4 5
点 F 到 C的一条渐近线的距离为 4，所以 A错误；
42 32
试卷第 12页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
由双曲线方程可得 a 3， c 5，所以离心率 e
c 5
，所以 B正确；
a 3
x 2 y 2 2 2
设点P x ,y0 0 ，则 0 0 1，即16x0 9y0 144，9 16
4x 3y 4x 3y
点 P到两渐近线距离分别为 0 0 和 0 0 ，
5 5
4x 3y 4x 3y 16x 2 9y 2
则 0 0 0 0 0 0 144 4，所以 C正确；
5 5 25 25
x2 y2
设双曲线 1 a 0,b 0 的右焦点 F1 5,0 ，则 PF PF1 2a 6，所以
9 16
PA PF PA PF1 6，
若 PA PF 最小，则只需 PA PF1 最小即可，
过 F1作 F1A垂直渐近线 4x 3y=0与点A， F1A交双曲线右支与点 P，此时 PA PF1 最
小，
4 5 0 9 12
F1A 4，由勾股定理得 OA 3，所以 A , ，所以5 5 5
2 2
FA 9 5 12
2 13，
5 5
所以△PAF的周长为 PA PF AF PA 6 PF1 AF 6 F1 A AF 10 2 13，
所以 D正确.
故选：BCD.
12．（本题 5分）（0.4 难题）已知函数 f x 为定义在R 上的偶函数， f 0 1，且
f x 1 f x 1 f x ，则（ ）（2分率：30.9%）（5分率：0%）(平均分：0.618)
A． f 1 1 3 B． f x 的图象关于点 ,0 对称2 2
2023
C． f x 1以 6为周期的函数 D． f k
k 1 2
【答案】ABC
【分析】令 x 0，求出 f 1 可判断 A；利用 f x 1 f x 1 f x 和 f x f x 得
试卷第 13页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
3 3
出 f x f x 可判断 B正确；利用周期函数的定义和
2 2
f x 1 f x 1 f x 求出周期可判断 C；赋值法求出
f 0 ，f 1 ，f 2 ， f 3 ， f 4 ， f 5 ，结合周期可判断 D.
【详解】因为函数 f x 为定义在R 上的偶函数，
所以 f x f x ， f x 1 f x 1 ，
对于 A，令 x 0，可得 f 0 1 f 0 1 f 0 1，
因为 f 1 f 1 ，可得 f 1 1 ，故 A正确；
2
对于 B，因为 f x 1 f x 1 f x ，
所以 f x 1 f x 1 f x f x ，
可得 f x 1 f 3 x f x 2 ，
从而 f 3 x f x 2 f x 1 f x 2 f x 1 ，
又因为 f x 1 f x 1 f x ，可得 f x 2 f x f x 1 ，
所以 f 3 3 3 x f x 2 f x 1 f x f x f ，可得 2 x ， 2
3
所以 f x 的图象关于点 ,02 对称，故 B正确；
对于 C，因为 f x 1 f x 1 f x ，
所以 f x f x 2 f x 1 ，所以 f x 2 f x 1 ，
可得 f x 3 f x ，所以有 f x 6 f x 3 f x ，
所以 f x 以 6为周期的函数，故 C正确；
1
对于 D， f 0 1， f 1 ，令 x 1可得 f 0 f 2 f 1 ，可得
2
f 2 1 f 1 f 0 ，
2
令 x 2可得 f 1 f 3 f 2 ，可得 f 3 f 2 f 1 1，
令 x 3可得 f 2 f 4 f 3 ，可得 f 4 f 3 f 2 1 ，
2
令 x 4可得 f 3 f 5 f 4 ，可得 f 5 f 4 f 3 1 ，所以
2
f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 0，
试卷第 14页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
2023
所以 f k 1 337 0 f 1 ，故 D错误.
k 1 2
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象
函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力.
三、填空题（共 20 分）（平均分：1.24分）
13．（本题 5分）（0.55 中档题）
1 2x 2023 2 x 2023已知 a a x a x2 a x2022 a x20230 1 2 2022 2023 ，若存在
k 0,1,2, , 2023 使得 ak 0，则 k的最大值为 ．（正确率：12.4%）
【答案】1011
a Ck 2k 2 2023 k k【分析】根据二项展开式的通项可得 k 2023 ( 1) ，讨论 k的奇偶性，结
合 ak 0分析求解即可.
r r r r r
【详解】二项式 (1 2x)2023的通项为Tr 1 C2023(2x) C20 23 2 x ,r 0,1,2, , 2023 ，
2 x 2023二项式 的通项为
T m 2023 m m m 2023 mm 1 C20232 ( x) C2023 2 ( 1)
m xm ,m 0,1, 2,L , 2023，
a Ck 2 k C k 2 2023 k ( 1) k C k 2 k 2 202 3 k k所以 k 2023 2023 202 3 ( 1) ， k 0,1,2,L , 2023 ，
若 ak 0，则有：
k k k 2023 k当 为奇数时，此时 a C k 2023 kk 2023 2 2 ，即 2 2 0，
2023
则 k 2023 k，可得 k 1011.5，
2
又因为 k为奇数，所以 k的最大值为 1011；
k k k 2023 k当 为偶数时，此时 ak C2023 2 2 0，不合题意；
综上所述： k的最大值为 1011.
故答案为：1011.
14．（本题 5分）（0.55 中档题）已知空间一个平面与一个正方体的 12条棱所成的角都
等于 ， 则 sin = .（正确率：9.3%）
3
【答案】
3
【分析】问题等价于一平面与正方体三条两两相交的棱所成角相等，求夹角，如图建立
试卷第 15页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
空间直角坐标系，设平面法向量为m，由平面与正方体的 12条棱所成的角都相等可得m，
即可得答案.
【详解】注意到 AA1 / /BB1 / /CC1 / /DD1 ， A1D1 / /B1C1 / /BC / /AD ，
A1B1 / /AB / /DC / /D1C1 ，
则空间一个平面与一个正方体的 12条棱所成的角都相等，等价于该平面与 AA1, AB, AD
所成角相等.
如图，建立以 A为原点的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，
则 A 0,0,0 , A1 0,0,1 ,B 1,0,0 ,D 0,1,0 ， AA1 0,0,1 ,AB 1,0,0 ,AD 0,1,0 .
设平面法向量为m x, y, z ，则 cos m, AA1 cos m, AB cos m, AD
z x y
x y z 3，则 .
x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 2 2
sin
y z 3
3
故答案为： .
3
1
15 3（．本题 5分）（0.5 中档题）若平面上的三个单位向量 a、b 、c满足 a b ，2 a c
，
2
则b c的所有可能的值组成的集合为 ．（正确率：3.1%）
3 3 ,0, 【答案】 2 2
【分析】不妨设 a 1,0 ，b cos ,sin ， c cos ,sin ，其中 、 π, π ，
根据平面向量数量积的坐标运算可得出 、 的值，求出 的值，再利用平面向量
数量积的坐标运算结合两角差的余弦公式可求得b c的值.
【详解】不妨设 a 1,0 ，b cos ,sin ， c cos ,sin ，其中 、 π, π ，
则 a b cos
1
，所以，
π 2π
或 ，
2 3 3
π 5π
a c cos 3 ，所以， 或 ，
2 6 6
试卷第 16页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
所以，
π , π , π , π , 7π, 7π, 5π, 5π, 3π, 3π ，
6 2 6 2 6 6 6 6 2 2
因为b c cos cos sin sin cos ，
π π 3π 3π
当 , , , 时，b c cos 0；
2 2 2 2
π π
当
,
3
时， ；
6 6
b c cos
2
7π , 7π , 5π , 5π
当
时，6 6 6 6 b c cos
3
.
2
3
所以，b c的所有可能的值组成的集合为 ,0,
3
.
2 2
3
故答案为： ,0,
3
.
2 2
16．（本题 5分）（0.15 难题）若存在实常数 k和b，使得函数 F x 和G x 对其公共定
义域上的任意实数 x都满足 F x kx b和G x kx b 恒成立，则称直线 y kx b为
F x 和G x 1的“隔离直线” f x x2．已知函数 x R ，g x x 0 ，h x 2e ln x，
x
则有下列命题：
① y g x 与 h x 有“隔离直线”；
② f x 和 g x 之间存在“隔离直线”，且b的最小值为 4；
③ f x 和 g x 之间存在“隔离直线”，且 k的取值范围是 4,0 ；
④ f x 和 h x 之间存在唯一的“隔离直线” y 2 ex e．
其中真命题的序号为 ．（请填上所有正确命题的序号）
（正确率：0%）
【答案】②④
【分析】利用导数结合“隔离直线”的定义可判断①的正误；利用“隔离直线”的定义求出
b、 k所满足的不等式，求出 k、b的取值范围，可判断②③的正误；求出函数 f x 和
h x 图象的公共点以及公切线方程，结合利用导数法证明出 f x 2 ex e、
g x 2 ex e，结合“隔离直线”的定义可判断④的正误.
【详解】对于①，构造函数 x f x g x x2 1 ，其中 x 0，
x
1 2x3 1
则 x 2x 0，所以，函数 x 在 , 0 2 2 上单调递减，x x
试卷第 17页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
1 0，当 x 1时， x 1 0，此时 f x g x ；
当 1 x 0时， x 1 0，此时 f x g x .
所以， y g x 与 h x 不存在“隔离直线”，①错误；
对于②，设 f x 和 g x 之间的“隔离直线”为 y kx b，
1
当 x 0 2时， x ，则 x2 kx b在 , 0 上恒成立，x
f 2设 1 x x kx b
k
，二次函数 f1 x 图象的对称轴为直线 x .2
当 k 0时，则 f1 0 b 0，可得b 0；
k 22
当 k 0时， 1 k 4b 0，则b .4
1 1
不等式 kx b 在 , 0 上恒成立，即b kx在 , 0 上恒成立，
x x
1
若 k 0，函数 y kx在 , 0 上单调递减，该函数在 , 0 上无最小值，此时b无
x
解；
1
若 k 0，可得b ，当 x ,0 1时， ,0 ，则b 0；
x x
1
若 k 0，则b kx，
x
1 1 1
由基本不等式可得 kx kx 2 kx 2 k，x x x
当且仅当 x
1
时，等号成立，则b 2 k .
k
由上可知，当 k 0时，b 0；
2 2
当 k 0 2 k k k时， b ， k 0，b 0也满足 2 k b ，
4 4
k 2 3
由上可知 2 k ，整理可得 64k k4，即 k k 64 0， 4 k 0 .
4
2
由题意可知， k 2 k b ，所以 4 b 0，故②正确；min 4 max
对于③，由②可知， 4 k 0，故③错误；
对于④，f x x2、h x 2eln x，则 f e e，h e 2e ln e e，则 f e h e ，
所以，函数 f x 、 g x 的图象的公共点为 e ,e ，
f x 2x，则 f e 2 e ， g x 2e ，则 g e 2 e ，所以， f e g e ，x
所以，函数 f x 、 g x 的图象在公共点 e ,e 处有公切线 y e 2 e x e ，即
试卷第 18页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
y 2 ex e .
2
构造函数 21 x x 2 ex e x2 2 ex e x e 0，所以， f x 2 ex e .
构造函数 2 x 2e ln x 2 ex e 2e ln x 2 ex e，
2 e e x
则 2 x
2e
2 e .
x x
当0 x e 时， 2 x 0，此时函数 2 x 单调递增；
当 x e时， 2 x 0，此时函数 2 x 单调递减.
所以， 2 x 2 e 0，即 g x 2 ex e .
综上可知， f x 和 h x 之间存在唯一的“隔离直线” y 2 ex e，④正确.
故答案为：②④.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 f x g x （或 f x g x ）转化为证明
f x g x 0（或 f x g x 0），进而构造辅助函数 h x f x g x ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅
助函数.
四、解答题（共 70 分）（平均分：17.87分）
17．（本题 10分）2023年 10月 22日，汉江生态城 2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成
功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心
承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了 100名候选者的面试成绩，并分成五组：
第一组 45,55 ，第二组 55,65 ，第三组 65,75 ，第四组 75,85 ，第五组 85,95 ，绘
制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为 0.3，第一组和第五组
的频率相同．（平均分：5.2分）
试卷第 19页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
(1)（0.85基础题）（4分）估计这 100名候选者面试成绩的平均数和第 25百分位数；
(2)（0.75 中档题）（6分）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20人，担任本市
的宣传者．
若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 62和 40，第四组面试
者的面试成绩的平均数和方差分别为 80和 70，据此估计这次第二组和第四组面试者所
有人的方差．
【答案】(1)平均数为69.5，第 25百分位数为 63
1 400
(2)① ；②
3 3
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组解出 a,b，然后分别计算出平均数和百分位
数即可；
（2）①先利用分层抽样的方法计算样本，然后利用古典概型概率求解，然后根据题意
计算方差即可.
10a 10b 0.3
【详解】（1）由题意可知：
10 0.045 0.020 a 0.7
，
a 0.005
解得 b ，--------------------------------------------------------------------------2 分 0.025
可知每组的频率依次为：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05，
所以平均数等于50 0.05 60 0.25 70 0.45 80 0.2 90 0.05 69.5，
因为0.05 0.25 0.30 0.25，
设第 25百分位数为 x 55,65 ，
则0.05 x 55 0.025 0.25，
解得 x 63，
第 25百分位数为 63．---------------------------------------------------------------------4 分
（2）
试卷第 20页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
2 2
设第二组、第四组的平均数与方差分别为 x1 ， x2 ， s1 ， s2 ，
0.25 5
且两组频率之比为 ，
0.20 4
5 62 4 80
成绩在第二组、第四组的平均数 x 70 ----------------------------------7 分
9
成绩在第二组、第四组的方差
s2 5 2
2
s x 4 2 2 9 1 1 x s2 x2 x 9
5
40 62 70
2 4
70 80 70
2 400 ，
9 9 3
400
故估计成绩在第二组、第四组的方差是 ．-------------------------------------------10分
3
18．（本题 12分）已知四棱锥 P ABCD，底面 ABCD为平行四边形， PAB 90o，
PBA 45o， ABC=45 ， PBC 60 .（平均分：3.82分）
(1)（0.7 中档题）（4分）证明： PA 平面 ABCD；
(2)（0.5 中档题）（8分）若PB PC，求二面角D PC B的正弦值.
【答案】(1)见详解
(2) 3
3
【分析】（1）过点A作 AE BC，连接 PE，然后利用已知条件及余弦定理证明 PA AE，
以及 PAB 90o即可证明
（2）连接 AC,BD交于点O，然后根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法
求解二面角D PC B的正弦值即可.
试卷第 21页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
【详解】（1）证明：过点A作 AE BC，连接 PE，如图所示：
设 AB = a，因为 PAB 90o， PBA 45o，
所以 PA AB,PA a,PB 2a，
又 ABC=45 ， AE BC，
2
所以 BE AE a ，
2
又 PBC PBE 60 ，
所以在△PBE中， PE2 PB2 BE2 2PB BE cos PBE
2
2 2 2 3
2a a 2 2a a cos60 a2，
2 2 2
2
又 PA2 AE 2 a2 2a 3 a2 PE
2 ，
2 2
所以 PA AE ----------------------------------------------------------------------2 分
又 PA AB，且 AE AB A，AE，AB均含于面 ABE
所以 PA 平面 ABE，
即 PA 平面 ABCD ----------------------------------------------------------------4 分
（2）连接 AC,BD交于点O，
因为 PB PC , PBC 60 ，
所以 PBC为等边三角形，
由（1）故 PB PC BC 2a，
由（1） PA 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，
所以 PA AC，---------------------------------------------------------------------6 分
2
所以 AC PC 2 PA 2 2a a 2 a ，
在 ABC中， AC 2 AB2 BC 2，
所以 AB AC，
所以直线 PA, AB, AC两两互相垂直，-------------------------------------------8 分
所以以 AC, AB, AP所在直线分别为 x, y, z轴
建立空间直角坐标系 A xyz，如图所示：
试卷第 22页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
则D a, a,0 ,P 0,0,a ,C a,0,0 ,B 0,a,0 ，
设平面 PDC的一个法向量为 n x, y, z ，
PD n PD n 0 ax ay az 0
则由
PC n PC n 0 ax az 0
令 x 1 z 1, y 0，
所以平面 PDC的一个法向量为 n 1,0,1 ，-----------------------------------9 分
设平面 PBC的一个法向量为m x1, y1, z1 ，
PB m PB
m 0 ay1 az1 0
则由
PC m PC m 0 ax1 az1 0
令 x1 1 z1 1, y1 1，
所以平面 PBC的一个法向量为m 1,1,1 ，-----------------------------------10分
设二面角D PC B的大小为 ，
m n 1 1 0 1 1 1
所以 cos cos m,n
6
，
m n 3 2 3
所以二面角D PC B的正弦值为：
2
sin 1 cos2
1 6 3 .--------------------------------------------12分
3 3
19．（本题 12分）在锐角 ABC中，设边 a,b,c所对的角分别为 A,B,C，且 a2 b2 bc．
(1)（0.6 中档题）（6分）证明： A 2B
(2)（0.5 中档题）（6分）若 a 1，求 2b c的取值范围.（平均分：3.63分）
【答案】(1)证明见详解
3 2 4 3
(2) ,2 3
试卷第 23页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
【分析】（1）余弦定理结合已知消元，然后利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去
角 C，用和差公式化简后，利用正弦函数单调性可得；
（2）利用正弦定理将目标式转化为关于角 B的三角函数，根据锐角三角形定义求角 B
范围，然后使用换元法，借助对勾函数性质即可求解.
【详解】（1）因为a2 b2 bc，
2 2 2 2
所以 cos A b c a c bc c b sinC sin B ，
2bc 2bc 2b 2sin B
整理得 2sin Bcos A sinC sin B，
又C π A B ，所以 sinC sin π A B sin A B ，
所以 2sin Bcos A sin A B sin B sin AcosB cos Asin B sin B，
整理得 sin B sin AcosB cos Asin B，所以 sin B sin A B ，---------------2 分
因为
π π
ABC为锐角三角形，所以0 B , 0 A ，
2 2
π B 0 π π所以 ，所以 A B ，
2 2 2
π π
因为函数 y sin x在 , 上单调递增，-------------------------------------------4 分
2 2
所以 B A B，即 A 2B .----------------------------------------------------------------6 分
（2）由（1）可知， A 2B,C π 3B，
1 b 1 b
因为 a 1，所以由正弦定理可得， ，即 ，
sin 2B sin B 2sin B cos B sin B
因为 B 0, π ,sin B 0 1，所以b ，
2cos B
又 a2 b2 bc，所以b2 bc 1，即b c
1
，
b
1
所以 2b c b c b b 2cos B
1
，--------------------------------------7 分
b 2cos B
π
0 B
2
π π π
因为 ABC 为锐角三角形，所以 0 2B ，解得 B ，--------------8 分
2 6 4
0 π 3B
π
2
2 3
则 cos B .
2 2
记 t 2cosB，则 2b c t
1
， t 2, 3t
1
由对勾函数可知， y t 在 2, 3 上单调递增，----------------------------------10分t
试卷第 24页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
3 2 3 2 4 3
所以 y 4 3 ，即 2b c的取值范围为 , --------------------12分2 3 2 3
x2 y220 3．（本题 12分）已知椭圆 2 2 1(a b 0)的焦距为 2 3，离心率为 ，椭圆的a b 2
左右焦点分别为 F1、 F2，直角坐标原点记为O．设点 P 0, t ，过点 P作倾斜角为锐角
的直线 l与椭圆交于不同的两点 B、C．
(1)（0.85 基础题）设椭圆上有一动点T，求 PT TF1 TF2 的取值范围；
(2)（0.45 偏难题）设线段 BC的中点为M ，当 t 2时，判别椭圆上是否存在点Q，
使得非零向量OM 与向量 PQ平行，请说明理由．（平均分：3.92分）
【答案】
(1) 4 3,4 3
(2)不存在点Q，使得OM // PQ，理由见解析
【分析】（1）由题意计算即可得；
（2）由设出T点坐标，表示出 PT ，结合TF 1 TF2 F1F2 与T点坐标范围计算即可得.
（3）设出直线方程后联立得一元二次方程，由直线 l与椭圆交于不同的两点可得该方程
0，并由方程中的韦达定理表示出直线OM 斜率，假设存在该点Q，则有 kPQ kOM ，
借此设出直线 PQ方程，则该直线与椭圆必有焦点，即联立后有 0，结合前面所得可
计算出 t的范围.
【详解】（1）由题意，得 c 3，a 2，所以b a2 c2 1，
x2
则椭圆的标准方程为 y2 1；-----------------------------------------------------2 分
4
设动点T x, y ， F1F2 2 3,0 ， PT x, y t ，
PT TF 1 TF2 PT F1F2 2 3x ，
x 2,2 ，所以 PT TF1 TF2 的取值范围为 4 3,4 3 ；-----------------4 分
（2）显然直线的斜率存在，故可设直线 l : y kx t，B x1, y1 、C x2 , y2 ，
y kx t
2 2 2
联立 x2 2 ， 消去 y得 1 4k x 8ktx 4t 4 0 ，
y 1 4
t 2 1
16t 2 64k 2 16 0 ，即 k 2 ①，----------------------------------------5 分
4
试卷第 25页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
x x 8kt 4t
2 4
则 1 2 ， x x ，1 4k 2 1 2 1 4k 2
x1 x2 4kt y1 y2 k x1 x2 2t 4k
2t t
则 2 ， 2 t ，2 1 4k 2 2 1 4 k 1 4 k 2
x 4kt t 则 M , ，
1 4k 2 1 4k 2
k 1故 OM ，4k
k k 1若OM / /PQ，则有 PQ OM ，-----------------------------------------6 分4k
1
设直线 PQ为 y x t，
4k
y
1
x t
4k 1 2 2t 2
联立 2 ，消去 y有 1 2 x x 4t 4 0，
x 4k k y2 1
4
Q 4t
2
4 1 1要使得存在点 ，则 2 2
2 4t 2 4 0，k 4k
整理得16
4
22 16t 0，k
k 2 1故 ②，------------------------------------------------------------------8分
4t 2 4
t 2 1 k 2 1由①②式得， ，
4 4t 2 4
t2 1 1
则 2 ，解得 2 t 2，---------------------------------------10分4 4t 4
所以当 t 2时，不存在点Q，使得OM / /PQ .----------------------------12 分
21．（本题 12分）已知空间向量列 an ，如果对于任意的正整数 n，均有an 1 an d ，
则称此空间向量列 an 为“等差向量列”，d称为“公差向量”；空间向量列 bn ，如果b1 0
且对于任意的正整数 n，均有bn 1 q bn ，q 0，则称此空间向量列 bn 为“等比向量列”，
常数q称为“公比”．（平均分：0.91分）
(1)（0.45 偏难题）若 an 是“等差向量列”，“公差向量” d (1,1,0)， a1 (0,0,0)，
试卷第 26页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
1 1 an xn , yn , zn ； bn 是“等比向量列”，“公比” q = 2，b1 , ,0 ，bn mn ,kn ,tn ．求 2 2
a b a
1 1 2 b2 an bn．
(2)（0.15 难题）若 an 是“等差向量列”，a1 (0,0,0)，记 cn an ，m N且m 1，等
式 S(m) c1 c2 c3 cm c1 c c2 c c3 c cm c 对于 c 1和 2均成
立，且 S (m) 507，求m的最大值．
【答案】
3 3
(1) n
2
n
2
2 ；
(2)26.
uur
【分析】（1）由“等差向量列”定义和：等比向量列“定义得 an n 1,n,1 ，
ur uur ur
b 2n 2 , 2n 2n , 0 ，再利用数量积得坐标表示求出 an bn ，再用错位相减法即可求解；
（2）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.
n,q 1
2 n 1
【详解】（1） b1 b2 bn b1 1 q q q 1 qn
,q 1
.
1 q
（2）由“等差向量列”定义和：等比向量列“定义知
uur ur r
an a1 n 1 d 0,1,1 n 1 1,1,0 n 1,n ,1 xn ,yn ,zn ，
ur ur
b q n 1b 2n 1 1 1n 1 , ,0
n 2 n 2
2 ,2 ,0 m2 2 n ,kn ,tn ，
uur ur
a b n 1 2n 2 1n n n2n 2 n 1 n 2 ，--------------------------------------------------2 分
2
r r r rS a b r r a b a b 1 1 1 20 2 2 1 1 n 1设 n 1 1 2 2 n n L n 2 ，
2 2 2
2S 1 1 21 2 1 22 1 n nn L 2 ，------------------------------------4 分
2 2 2
n 1
S 1 21 22 2 n 1 n 1 2 n 1
2 1 2 1
两式相减得 n L
n n
2 2 2 1 2 2
2
3 3 n 2n
2
，
2
3 3
所以 Sn
n
2
n 2 .-------------------------------------------------------------------6 分
2
uur ur r r uur ur
（2） an a1 n 1 d n 1 d ，所以 cn an n 1 d ，所以 cn 为等差数列，
ur ur ur n n 1 ur
所以 S (m) c1 c2 c3 c m 0 d 2 d L n 1 d d ，2
试卷第 27页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
由题意知
S (m) c1 c2 c3 cm c1 1 c2 1 c3 1 cm 1
c1 2 c2 2 c3 2 cm 2 507，-------------------------------------------8 分
ur ur ur ur
构造函数 f (x) x d x 2 d x 3 d x m d 507，
ur ur ur ur
则 f (cm d ) cm cm d cm 2 d cm m 1 d 507
cm cm 1 cm 2 c1 507 0，
ur ur ur
所以函数 f (x)至少又三个零点， cm d ， cm d 1， cm d 2，--------------9 分
由函数 f (x)的图象与性质，可知m为偶数，且满足
m
d cm d 2 c d c
m
m m d 1
1 d
2 2
d 3
m 1 d ，解得 m2 d ，------10分 f 0 507 2 4
所以3m2 4 507，解得m 26，
m的最大值为 26.---------------------------------------------------------------------------------12分
22．（本题 12分）设 y f x 是定义在R 上的函数，若存在区间 a,b 和 x0 (a,b)，使
得 y f x 在[a, x0 ]上严格减，在[x0 ,b]上严格增，则称 y f x 为“含谷函数”，x0为“谷
点”， a,b 称为 y f x 的一个“含谷区间”．（平均分：0.39分）
(1)（0.45 2偏难题）已知实数m 0， y x 2x m ln x 1 是含谷函数，且 2,4 是它的
一个含谷区间，求m的取值范围；
(2)（0.15 难题）设 p,q R，h x x4 px3 qx2 4 3p 2q x．设函数 y h x 是
含谷函数， a,b 是它的一个含谷区间，并记b a的最大值为 L p,q ．若 h 1 h 2 ，
且 h 1 0，求 L p,q 的最小值．
【答案】
(1) 2,18
(2) 2
【分析】
试卷第 28页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
（1）由题意可判断函数在区间 2,4 内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；
（2）分别讨论函数 h x 的单调性，判断谷点所在区间，得到 L p,q 的解析式，再利用
h 1 h 2 和 h 1 0消元求最值.
【详解】
（1 2）由题意可知函数 y x 2x m ln x 1 在区间 2,4 内先减后增，且存在谷点，
令 g x x2 2x m ln x 1 ，所以 g x m 2x 2 ，-------------------------2分
x 1
q x g x 2x 2 m设 ，
x 1
所以 q x 2
m m
x 1 2 ，由m 0可知
q x 2 0
x 1 2 恒成立，
所以 g x 在区间 2,4 上单调递增，----------------------------------------------------4 分
g 2 2 m 0
若满足谷点，则有 ，解得 2 m 18，
g 4 6
m
0
3
故 m的取值范围是 2,18 .------------------------------------------------------------------6 分
（2）因为 h x x4 px3 qx2 4 3p 2q x，
所以 h x 4x 3 3px 2 2qx 4 3p 2q 4 1 x x 2 1 3p x 1 3p q 4 ， 4 2
x2 3p 3p q若
1 x
1
0 恒成立，
4 4 2
则函数 y h x 在 x 1时严格增，在 x 1时严格减，不是谷函数，不满足题意；
2 3p 3p q
因此关于 x的方程 x 1 x 1 0 有两个相异实根，即 0，--7分
4 4 2
设两根为 ， 且 ，
因为 h 1 0 h 0 ，所以函数 y h x 在区间 ,1 上不为严格增，
但是当 x min 1, , 时， h x 0， y h x 为严格增，
所以 y h x 在区间 ,1 上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即 1，
同理，因为 h 1 h 2 ，所以 1，
因此， y h x 在区间 , 和 1, 上严格增，在区间 ,1 和 , 上严格减，
从而函数 y h x 的含谷区间 a,b 必满足 a,b , ，
试卷第 29页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}
L p,q 3p
2 3p q 9 3
即 1 4 1
p
2 p 3 2q ----8 分
4 4 2 16 2
因为 h 1 1 p q 4 3p 2q 3 2p q，
h 2 16 8p 4q 8 6p 4q 8 2p，
由 h 1 h 2 得3 2 p q 8 2 p，所以 4 p q 11，
由 h 1 0得3 2 p q 0，所以 2 p q 3，
11 4p, p 4
所以 q
3 2p, p
，
4
当 p 4时， L p,q 9 p2 13 p 19 2，-------------------------------------9 分
16 2
p 4 L p,q 9 5当 时， p2 p 3 2，---------------------------------------10分
16 2
因此 L p,q 的最小值为 2，当 p 4,q 5时成立.-------------------------------12分
试卷第 30页，共 30页
{#{QQABSYQEogCgAAAAARhCQQX4CEKQkAAACIoGwBAMIAABQBFABAA=}#}2024年浙江省湖州二中高三第一学期期中测试
满分150分,考试时间120分钟
请在答题卡正确位置填写答案
一、单选题（1-8题为单选题,每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．设（为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则或
B．复数模长的平方值等于复数的平方值
C．若的模长为，则的最大值为
D．若，则
4．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
5．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥
6．设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为；
②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为；
③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为；
④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列{an}满足，对于函数f（x）＝x|x|，定义F（n）＝．
①若{an}为等比数列，则F（n）＞0恒成立；
②若{an}为等差数列，则F（n）＞0恒成立．
关于上述命题，以下说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、多选题（9-12题为多选题，每小题有2-4个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分,共20分）
9．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． B．与所成的角可能是
C．是定值 D．当时，点到平面的距离为1
10．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则一定是等边三角形
D．若，则是直角三角形
11．已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．点F到C的一条渐近线的距离为2
B．双曲线C的离心率为
C．则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D．当最小时，则的周长为
12．已知函数为定义在上的偶函数，，且，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．以6为周期的函数 D．
三、填空题（13-16题为填空题，请在空白处填出正确答案，每小题5分,共20分）
13．已知，若存在使得，则k的最大值为 ．
14．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于， 则= .
15．若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为 ．
16．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”．已知函数，，，则有下列命题：
①与有“隔离直线”；
②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
④和之间存在唯一的“隔离直线”．
其中真命题的序号为 ．（请填上所有正确命题的序号）
四、解答题（17-22题为解答题，17题10分，18-22题每题12分，请在答题纸固定位置填入答案和解答步骤，共70分）
17．（本题10分）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．
若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．
18．已知四棱锥，底面为平行四边形，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
19．在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)证明：
(2)若，求的取值范围．
20．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(2)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由．
21．已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”．
(1)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求．
(2)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值．
22．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
(1)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(2)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
