相似三角形的性质试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1．（2014 南京）若，相似比为1:2，则与的面积的比为【 】
A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1
【答案】C.
【考点】相似三角形的性质.
【分析】直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：
∵，相似比为1:2，
∴与的面积的比为1:4.
故选C.
2．（2014 重庆）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC＝1，则EF的长是【 】
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A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B．
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形对应边成比例的性质即可得：
∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2， BC＝1，∴EF=2.
故选B．
3．（2014 南通）如图，△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为【 】
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A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D．
【考点】1.等腰三角形的性质；2.正方形的性质；3. 相似三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5. 勾股定理；6.转换思想的应用.
【分析】如答图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，
∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AB.
∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG=∠B. ∴DG∥BC.
∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG. ∴FH⊥BC，AN⊥DG.
∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6.
∴.
∵△ADG∽△ABC，∴，即.
∴MN=AM﹣AN=. ∴FH=MN﹣GF=．
故选D．
4．（2014 莱芜）如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=【 】
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A. 1：16 B. 1：18 C. 1：20 D. 1：24
【答案】C．
【考点】相似三角形的判定和性质．
【分析】∵S△BDE：S△CDE=1：4，∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a．
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴BE：CE=1：4．∴BE：BC=1：5．
∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE：S△ABC=1：25．
∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a．∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选C．
5．（2014 本溪）如图，已知△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com )△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于【 】
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A. B. C. D.
【答案】B．
【考点】1.相似三角形的判定和性质；2.等边三角形的性质．
【分析】∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°．
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF．
∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．
故选B．
6．（2014 日照）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知△ABC的面积是12，BC边与高的比为3：2，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为【 】
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A. B. C. D.
【答案】D．
【考点】1．正方形的性质；2．相似三角形的判定和性质．
【分析】设正方形的边长为x，BC边上高为h，
∵BC边与高的比为3：2，∴BC=．
∵△ABC的面积是12，∴，BC=6．
∵EI∥BC，∴△AEI∽△ABC．∴，即．解得．
故选D．
7．（2014 遵义）如图，边长为2的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为【 】
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A． B． C． D．
【答案】D．
【考点】1.正方形的性质；2. 相似三角形的判定和性质；3.圆周角定理．
【分析】先求出CP、BF长，根据勾股定理求出BP，根据相似得出比例式，即可求出答案：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB.
∵F为CD的中点，CD=AB=BC=2，∴CP=1.
∵PC∥AB，∴△FCP∽△FBA. ∴. ∴BF=4. ∴CF=4﹣2=2.
由勾股定理得：BP=，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCP=∠PCF=90°. ∴PF是⊙O的直径. ∴∠E=90°=∠BCP.
又∵∠PBC=∠EBF，∴△BCP∽△BEF. ∴，即.
故选D．
8．（2014 宁波）如图，梯形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为【 】
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A. 2:3 B. 2:5 C. 4:9 D.
【答案】C.
【考点】1.平行的性质；2.相似三角形的判定和性质.
【分析】∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD.
又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△DCA. ∴.
故选C.
9．（2014 武汉）如图，线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为【 】
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A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
【答案】A．
【考点】1.位似变换；2.坐标与图形性质．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标：
∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
10．（2014 南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=【 】
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A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 1：4
【答案】D．
【考点】1.三角形中位线定理；相似三角形的判定和性质．
【分析】∵△ABC中，AD、BE是两条中线，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=AB.
∴△EDC∽△ABC，∴S△EDC：S△ABC=．
故选D．
二、填空题（共10小题，每题2分）
11．（2014 阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是 ▲ .
【答案】12.
【考点】相似三角形的性质.
【分析】∵△ABC∽△DEF，∴，即.
∴EF=3.6，DF=5.4.
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=12.
12.（2014 湖州）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ▲ ．
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【答案】y=2x．
【考点】1. 反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4. 相似三角形的性质.
【分析】设OC=a，∵点D在上，∴CD=.
∵△OCD∽△ACO，∴. ∴点A的坐标为（a，）.
∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为.
∵点B在反比例函数图象上，∴. ∴点B的坐标为（，a）.
设直线OA的解析式为y=mx，则.
∴，直线OA的解析式为y=2x．
13．（2014 泰州）如图，A、B、C、D ( http: / / www.21cnjy.com )依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 ▲ ．
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【答案】（x＞0）．
【考点】1.由实际问题列函数关系式（几何问题）；2. 圆周角定理；3. 等边三角形的性质；4. 相似三角形的判定和性质.
【分析】如答图，连接AE，DE，
∵∠AOD=120°，∴．∴∠AED=120°．
∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°．∴∠AEB+∠CED=60°.
又∵∠EAB+∠AEB=60°，∴∠EAB=∠CED.
又∵∠ABE=∠ECD=120°，∴△ABE∽△ECD. ∴.
∵BC=BE=2，AB=x，CD=y，∴，即.
∴y与x的函数关系式为（x＞0）．
14．（2014 黔南州）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为 ▲ ．
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【答案】.
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由AD=3，DB= ( http: / / www.21cnjy.com )2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案：
∵AD=4，DB=2，∴AB=AD+BD=4+2=6.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∴.
15．（2014 哈尔滨）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ▲ ．
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【答案】.
【考点】1. 角平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质；2. 全等三角形的判定和性质；3.相似三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质．
【分析】∵AD为角平分线，∴点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵4AB=5AC，∴. ∴BD=CD．
如答图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．
连接DM．
在△ABD与△AMD中，∵，
∴△ABD≌△AMD（SAS）.∴MD=BD=5m．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，∴，∴CK=CD，∴KD=CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形. ∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2.
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2.
又∵∠DKM=∠3（对顶角），∴∠DMK=∠4. ∴DM∥GN. ∴四边形DMNG为平行四边形.
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，∴．
∵MN∥AD，∴△AGH∽△MNH. ∴，即. ∴．
16．（2014 海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ▲ ．
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【答案】.
【考点】1.圆周角定理；2.相似三角形的判定和性质．
【分析】根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可：
∵∠E和∠C所对的弧都是，∴由圆周角定理可知，∠E=∠C.
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E =∠C，∴△ABE∽△ADC．
∴AB：AD=AE：AC.
∵AB=，AC=5，AD=4，∴：4=AE：5，解得AE=.
17．（2014 长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 ▲ ．
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【答案】18．
【考点】相似三角形的判定和性质．
【分析】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（相似三角形的判定）．
∵，∴（相似三角形的面积比等于相似比的平方）.
∵S△ADE=8，∴.
18．（2014 攀枝花）如图，在梯形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 ▲ ．
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【答案】.
【考点】1.梯形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3. 相似三角形的判定和性质；4. 数形结合思想和转换思想的应用.
【分析】如答图，延长BA，CD交于点F，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC.
∵BE⊥CD，∴∠BEF=∠BEC=90°.
在△BEF和△BEC中，∵，
∴△BEF≌△BEC（ASA）.
∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2. ∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4.
∵CE：ED=2：1，∴DF：FC=1：4.
∵AD∥BC，∴△ADF∽△BCF.
∴，∴.
∴．
19．（2014 牡丹江农垦）在同一时 ( http: / / www.21cnjy.com )刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 ▲ m．
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【答案】2.3．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】如答图，过N点作ND⊥PQ于D，则，
又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，
∴，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m）．
∴木竿PQ的长度为2.3 m．
20．（2014 北京）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 ▲ m．
【答案】15.
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解：
设旗杆高度为x米，
由题意得，.
∴这根旗杆的高度为15m．
三、解答题（共6小题，每题10分）
21．（2014 南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，
求证：AB2=AD AC．
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【答案】证明：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB.
∴.
∴AB2=AD AC.
【考点】相似三角形的判定和性质．
【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，从而得出，整理得出答案即可．
22．（2014 永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
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【答案】解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB.
∴.
∵AB=6，AD=4，∴AC=.
∴CD=AC﹣AD=9﹣4=5．
【考点】相似三角形的判定和性质．
【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长．
23．（2014 玉林、防城港）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，
在△ABM和△BCP中，∵，∴△ABM≌△BCP（SAS）.
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP.
∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°. ∴AM⊥BP.
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN.
∴MN∥BP.
∴四边形BMNP是平行四边形.
（2）BM=MC．理由如下：
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ.
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ. ∴.
∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM. .
∴.∴BM=MC．
【考点】1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.平行四边形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质.
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解．
24．（2014 武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
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【答案】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，解得.
∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似.
（2）如答图1，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP.∴.
∴，解得：.
（3）证明：如答图2，过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，
则，
∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中点.
过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，
则，即点E为BC的中点.
同理，点F为BA的中点.
∴PQ中点在△ABC的中位线上.
【考点】1.双动点问题；2.相似三角形的判定和性质；3平行四边形的判定和性质；4.三角形中位线的判定．
【分析】（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，当△BPQ∽△BCA时，，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出，代入计算即可.
（3）过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由得到点E为BC的中点，由得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在△ABC的中位线上.
25．（2014 泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB, CD=，求DF的长．
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【答案】解：（1）证明：∵，∴.
∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE∽△CAD.
∴∠CDB=∠DBC. ∴BC=CD.
（2）如答图，连接OC，
∵BC=CD，且C，D在AB同侧，
∴∠DAC=∠CAB.
又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO.
∴∠DAC=∠ACO. ∴AD∥OC.
∴
∵PB=OB，CD=，∴.
∴PC=.
又∵PC PD=PB PA，即，∴PB=4，即半径OB=4.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90 .
∴在Rt△ACB中，.
∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°.
∴∠FDA+∠BDC=90°，∠CBA+∠CAB=90°.
∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA.
又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB.
∴.
在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，
∴在Rt△APF中，由勾股定理得，解得.
∴DF=．
【考点】1.相似三角形的判定和性质；2. 圆周角定理；3.平行线分线段成比例的性质；4.勾股定理；5.割线定理；6.方程思想的应用．
【分析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论．
（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC PD=PB PA（没学割线定理的可由相似可得）求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，求得DF=．
26．（2014 北京）阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：∠ACE的度数为 ▲ ，AC的长为 ▲ ．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
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【答案】解：∠ACE=75°，AC的长为3．
如答图，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF .∴△ABE∽△FDE.
∴.∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°.
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴.
∴.
∴.
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3. 锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5. 等腰三角形的判定．
【分析】根据相似的三角形的判定和性质，可得 ，根据等腰三角形的判定，可得AD=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．相似三角形的性质试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1．（2014 南京）若，相似比为1:2，则与的面积的比为【 】
A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1
2．（2014 重庆）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2，若BC＝1，则EF的长是【 】
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A、1 B、2 C、3 D、4
3．（2014 南通）如图，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为【 】
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A. 1 B. 2 C. D.
4．（2014 莱芜）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=【 】
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A. 1：16 B. 1：18 C. 1：20 D. 1：24
5．（2014 本溪）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于【 】
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A. B. C. D.
6．（2014 日照）如图，已知△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积是12，BC边与高的比为3：2，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为【 】
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A. B. C. D.
7．（2014 遵义）如图，边长为2的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为【 】
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A． B． C． D．
8．（2014 宁波）如图，梯形ABCD中A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为【 】
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A. 2:3 B. 2:5 C. 4:9 D.
9．（2014 武汉）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为【 】
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A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
10．（2014 南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=【 】
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A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 1：4
二、填空题（共10小题，每题2分）
11．（2014 阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是 ▲ .
12.（2014 湖州）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ▲ ．
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13．（2014 泰州）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 ▲ ．
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14．（2014 黔南州）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为 ▲ ．
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15．（2014 哈尔滨）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ▲ ．
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16．（2014 海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ▲ ．
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17．（2014 长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 ▲ ．
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18．（2014 攀枝花）如图，在梯形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 ▲ ．
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19．（2014 牡丹江农垦）在同一时 ( http: / / www.21cnjy.com )刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 ▲ m．
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20．（2014 北京）在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 ▲ m．
三、解答题（共6小题，每题10分）
21．（2014 南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，
求证：AB2=AD AC．
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22．（2014 永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
23．（2014 玉林、防城港）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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24．（2014 武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
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25．（2014 泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB, CD=，求DF的长．
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26．（2014 北京）阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：∠ACE的度数为 ▲ ，AC的长为 ▲ ．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
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