北京市西城重点学校2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

2021北京西城重点学校高二（上）开学考
数学
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A.1 B. C.2 D.
2.给出下列命题：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面.
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线.
③若，是两个不共线的向量，（，，且），则构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》 2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知两个平面相互垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.在中，已知：：2：3：4且，则向量在向量上的投影的数量是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
6.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）
A.65米 B.74米 C.83米 D.92米
7.已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，，，为中点，则与底面所成角的正切值为（ ）
A.2 B. C. D.
8.在中，，，是边的中点.为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
9.某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为______.
10.若三个元件，，按照如图所示的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件，，正常工作的概率一次为0.7，0.8，0.9，则这个系统出现故障的概率为______.
11.在中，，，，，则______，设（），且，则的值为______.
12.如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是______.（写出所有正确的序号）
①平面平面
②直线与平面所成角是
③平面平面
④二面角余弦值为
三、解答题（共3小题，共52分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
13.（10分）如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题.
（1）80～90这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、第45百分位数；
（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.
14.（13分）在中，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且的面积，求的值.
15.（14分）已知四棱锥中⊥平面，且，底面为直角梯形，
，，，，M，N分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求截面与底面所成二面角的大小；
（3）求点A到平面的距离.
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.【答案】C
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：为纯虚数，
则，解得，故，其虚部为2.故选：C.
2.【答案】C
【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果．
【解答】解：①已知不是空间的一个基底，所以，，共面.故正确.
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，所以，，所以和为共线向量，故正确.
空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，这句话教材上的原话，作为空间基底的前提为不共面，故错误.
③若，是两个不共线的向量，（，，且），当时，所以，，共面，则不构成空间的一个基底，故错误.故选：C.
3.【答案】C
【分析】基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．
【解答】解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，
这个数能被3整除的概率为.故选：C.
4.【答案】A
【分析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可
【解答】解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；
对于②，设平面平面，，，
平面⊥平面，当时，必有，而，，
而在平面内与平行的直线有无数条，这些直线均与垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；
对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；
对于④，若此点在交线上，那么作出来的线就不一定与另一平面垂直了，故④错误；故选：A.
5.【答案】D
【分析】由题意利用正弦定理可设，则，．再根据，求得的值，可得a、b、c的值．再由余弦定理求得，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在中，已知：：2：3：4；
由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，设，则，.
再根据，求得，故有，，.
由余弦定理可得：，
则向量在向量上的投影的数量.故选：D.
6.【答案】B
【分析】不妨设，然后得到，再根据，求出的值即可．
【解答】解：不妨设，根据条件可得，，
，，
，
，米.故选：B.
7.【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定定理可知平面，找到与底面所成角，然后计算即可．
【解答】解：连接，交于点，并连接，，如图：
因为底面为边长为2的菱形，所以为，的中点，
又，，所以，，
又，，平面，所以⊥平面，
所以与底面所成角，，
，，
又，所以，
所以.故选：B.
8.【答案】D
【分析】由向量的中点表示和向量数量积的定义和性质，计算可得所求值．
【解答】解：是边的中点，可得，
则，
由于，可得和为等腰三角形，
即有，
同理可得，则.故选：D.
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
9.【答案】见试题解答内容
【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．
【解答】解：设车间共有人，样本中车间的人数为；
由分层抽样的性质得：，解得.
故；故答案为：8.
10.【答案】0.314.
【分析】系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C中正常工作的情况，分别计算其概率可求得．
【解答】解：系统正常工作的情况分成两个步骤，正常工作且，至少有一个正常工作的情况，正常工作的概率为：0.7；，至少有一个正常工作的情况的概率为1减去，都不正常工作的情况的概率，即：，至少有一个正常工作的概率为：，所以：这个系统正常工作的概率为：，故这个系统出现故障的概率为.故答案为：0.314.
11.【答案】第一空：3；第二空：.
【分析】易知是的三等分点，则，平方可求；将代入，可求.
【解答】解：因为，所以点D为线段上靠近点C的三等分点，
由三点共线定理可知，
上式左右同时平方得，
已知，，，
所以，解得；
因为，，
所以，
化简得，
因为，，，
所以，
解得，故答案为：第一空：3；第二空：.
12.【答案】见试题解答内容
【分析】①反证法，假设平面平面，容易推出垂直于平面，从而，出矛盾；
②利用几何法找到其平面角为，求解即可判断；
③证明平面，从而得到平面平面；
④证明为二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断．
【解答】解：在四边形中，由已知可得，假设平面⊥平面，
又平面⊥平面，且平面平面，可得⊥平面，
有，与矛盾，则假设错误，故①错误；
在四边形中，由已知可得，
又平面⊥平面，且平面平面，则⊥平面，
为直线与平面所成角是，故②正确；
由判断②时可知，⊥平面，则，又，，
则⊥平面，而平面，则平面⊥平面，故③正确；
由判断③时可知，⊥平面，则为二面角的平面角，
设，则，由，得，得，
故④正确.判断正确的是②③④.故答案为：②③④.
三、解答题（共3小题，共52分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
13.【答案】（1）频数为4，频率为0.1；
（2）平均数为68.5，众数为75，第45百分位数为68；
（3）概率为.
【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图所给信息得到除去40～50和80～90这两组的频率之和，利用频率的性质即可得到80～90这一组的频率，再结合频率、频数之间的关系，进而计算即可；
（2）根据频率分布直方图所给信息进行计算即可；
（3）记“选出的2人在同一分数”为事件Y，得到80～90和90～100之间的人数，将所有情况列举出来，代入等可能事件的概率公式中进行求解即可．
【解答】解：（1）已知50～60这一组的频率为，
60～70这一组的频率为，70～80这一组的频率为，
90～100这一组的频率为，
则80～90这一组的频率为，频数为；
（2）这次竞赛成绩的平均数为，
因为70～80这一组的频率最大，人数最多，所以众数为75，
又40～50这一组的频率为0.1，50～60这一组的频率为0.15，60～70这一组的频率为0.25，
所以第45百分位数在60～70这一组内，不妨设第45百分位数的值为，
可得，解得，
则这次竞赛成绩的第45百分位数为68；
（3）设选出的2人在同一分数为事件，因为80～90之间的人数为人，
不妨设这四个人为a，b，c，d；因为90～100之间有人，
不妨设为A，B，要从这6人中选出2人，有，，，，，，，
，，，，，，，共15个基本条件，
其中事件包括，，，，，，共7个基本事件，
则.
14.【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求的值，结合范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求，进而根据三角形的面积公式即可求解c的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，
因为，所以，可得.
（Ⅱ）因为，由正弦定理可得，所以，
因为的面积，
可得，所以，所以.
15.【答案】见试题解答内容
【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法
向量法：对于（1）求证：平面，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面与底面所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；
对于（3）求点A到平面的距离，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．
几何法：（1）求证平面，用线面平行的判定定理证明即可；
（2）求截面与底面所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．
（3）求点A到平面的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．
【解答】解：法一向量法：
以为原点，以，，分别为x，y，z建立空间直角坐标系，
由，，，，M，N分别是，的中点，
可得：，，，，，，，，，，，
设平面的的法向量为，则有：
令，则，，（3分），
又平面，平面；
（2）设平面的的法向量为，又，
则有：
令，则，，
又为平面的法向量，
，又截面与底面所成二面角为锐二面角，
截面与底面所成二面角的大小为，
（3），所求的距离；
法二，几何法：
（1）取的中点E，连接，则，依题有Q为的中点，所以，所以，
又平面， 平面，平面.
（2）易证：平面底面，所以截面与平面所成的二面角即为平面与底面所成的二面角，因为⊥平面，所以⊥平面，过E做，垂足为F，连接，则由三垂线定理可知，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以为截面与平面所成的二面角的平面角，
在Rt中，，，，故，
所以：，所以：；
（3）因为的中点为Q，且平面与交于点Q，
所以点A到平面的距离是点E到平面的距离的3倍，
由（2）知：⊥平面，则平面⊥平面且交线为，作，垂足为H，
则⊥平面，故即为点E到平面的距离.
在中，，，故.
即：点到平面的距离为.