江苏省镇江重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

高一年级 12 月学情调查
数学试题
一、单选题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. )
1. 已知集合 , 则 的子集个数为（）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 16
2. 命题 “ ”的否定是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 若 是幂函数, 且在 上单调递增, 则 的值为
A. -1 或 3
B. 1 或-3
C. -1
D. 3
4. 已知 , 则 的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知 为锐角, 且 , 则
A.
B.
C.
D.
6. 荀子 《劝学》 中说: “不积跬步, 无以至千里; 不积小流, 无以成江海. ”所以说学习是日积月累的过程, 每天进步一点点, 前进不止一小点. 我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ,一年后是 ; 而把 看作是每天 “退步”率都是 , 一年后是 ; 这样, 一年后的“进步值”是“退步值”的 倍. 那么当“进步值”是“退步值”的 5 倍时, 大约经过（） 天.（参考数据： )
A. 70
B. 80
C. 90
D. 100
7. 已知 是定义在 上的奇函数, , 对 , 且 有 ,则关于 的不等式 的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
8. 设函数 满足 , 且 在 上的值域为 , 则实数 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题 (本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列选项正确的是（）
A.
B.
C. 若一扇形弧长为 2 , 圆心角为 , 则该扇形的面积为
D. 若 是第一象限角, 则 是第一或第二象限角
10. 下列函数中, 最小值为 4 的是（）
A.
B.
C.
D.
11. 若函数 的图象关于 成中心对称, 则下列结论正确的是（）
A.
B.
C. 存在实数 使得
D.
12. 已知函数 , 则方程 实数根的个数可以为 ( )
A. 4
B. 6
C. 7
D. 9
三、填空题：（本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)
13. 已知 , 则 _______
14. 函数 在区间 上单调递增, 则实数 的取值范围是________
15. 已知一个函数的解析式为 , 它的值域为 , 则这样的函数共有________个.
16. 若函数 在 的最大值为 2 , 则 的取值范围是
_________.
四、解答题 (本题共 6 小题, 共 70 分, 其中第 17题 10 分, 其它每题 12 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17. 化简求值:
(1) .
(2) .
18. 已知 是第二象限角, 且____________ . 从下面三个条件中选一个解答;
(1) 求 和 .
(2) , 求 的值.
19. 已知函数 .
(1) 求不等式 的解集.
(2) 记 , 对 , 总 使得 成立, 求实数 的取值范围.
20. 已知函数 :
(1) 讨论函数 的奇偶性.
(2) 若 为偶函数, 方程 在 上有实根, 求实数 的取值范围.
21. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争, 至今战火未熄。 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突。与以往战争不同的是, 无人机在战场中起到了侦察和情报收集, 攻击敌方目标和反侦察等多种功能, 扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员, 年人均工资 万元 , 现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1) 若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,求调整后的研发人员的人数最少为多少人
(2) 为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性, 企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; 技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 , 满足以上两个条件, 若存在, 求出 的范围; 若不存在,说明理由.
22. 已知奇函数 和偶函数 满足: .
(1) 分别求出函数 和 的解析式.
(2) 若 , 对 恒成立, 求实数 的取值范围.
(3) 若存在 , 对任意 , 都有 成立, 求实数 的取值范围.
高一年级 12 月学情调查
数学试题答案
一、单选题 1-5 C B D A C 6-8 B D B
二.多选题
10. AC
11.
12. ACD
三、填空题:
13.
14.
15. 9
16.
四、
17.【答案】(1) 15
(2) 0
【详解】(1) ----5 分
(2) -----10 分建议对一个一分, 结论一分
18.【答案】(1)
(2)
【详解】(1) 选已知 得 , 且 在第二象限, 所以 分
；
选已知 得 ；
选已知 得
(2)
19.【答案】(1)
(2) 则 , 且 得 ---------------3 分
即不等式的解集为 --------------4 分
(2) 因为 , 对 , 总 使得 成立,即 值域 值域， 6 分 值域为 ---------------7 分
法一: 对于 , 对称轴
(1) 时, , 得 -9 分
(2) 时, 因为 , 不合题意 -10 分
(3) 时, 无解 -11 分综上得 -12 分
法二: 所以 在 恒成立 -8 分
即 --9 分
又 与 在 均为减函数 的最大值为 的最小值为 ---11 分
所以 --12 分
20.【答案】(1)见解析
(2)
【详解】: (1) 由
则 ,
当 , 即 , 即 时, 函数 为偶函数---1 分
当 , 即 , 即 时, 函数 为奇函数; ----2 分
当 且 , 即 时, 函数 为非奇非偶函数, - 4 分
综上: 当 时, 函数 为偶函数;
当 时, 函数 为奇函数;
当 时, 函数 为非奇非偶函数, 5 分 (2) 当 为偶函数时, , 即 ,
由方程 , 即 分令 , 在 单调递增, 又是偶函数得 则 分
因为方程 在 上有实根,则方程 在 上有实根, -----8 分
即 有解, ------9 分
因为 在 上. 是增函数,
所以 , -----11 分
所以 。 ------12 分 注: 单调性没有交代或证明扣一分
21.【答案】(1) 100
(2)存在, .
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则 , -----2 分
整理得 , 解得 , ------4 分
因为 且 , 所以 , 故 ,-------5 分
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. ---------6 分
（2）由条件(1)研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得 , ----------7 分
整理得 ;
由条件(2)由技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 -------------8分
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,即 恒成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 ,---------------- 10 分
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 -----11分
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 ------------------12 分
22.【答案】(1) ; (2) (3)
【详解】(1) 用 替换条件等式中的 得 ,因为 为奇函数, 为偶函数,
所以 ,
与 联立可得: .
(2) 在 上单调递增, ,即 在 恒成立.
令 , 则 即 整理得
, 即 , 即 时, 等号成立, 所以
(3) 由题意 ,令 , 因为 与 均在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
所以 ,
又因为对任意 都有 , 当 时, 恒成立, 满足题意;当 时, 察函数 在 上递增,
所以 , 即 ；
当 时, 函数 在 上递减,所以 , 即 ；
综上, 实数 的取值范围为 .