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垂线(第一课时)
垂线(一)
教学目标
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.毛
2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
教学重点
两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
教学过程
一、创设问题情境,研究垂直等有关概念
1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象
在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.
2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的 其中会有特殊情况出现吗 当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系
教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.
3.师生共同给出垂直定义.
师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.
垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD， 垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
5.简单应用
(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.
(2)判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.
二、画图实践,探究垂线的性质
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗 能画几条 通过师生交流, 使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置 在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.
教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条 从中你又得出什么结论
教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:
(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.
学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在直线的垂线.
三、小结
本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗
四、作业
1.课本P7练习,P9.3,4,5,9.
2.选用课时作业设计.
一、判断题.
1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )
2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.( )
二、填空题.
1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
3.如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.
三、解答题.
1.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB;
(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.
2.已知:如图,直线AB,垂线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位置关系.
3.你能用折纸方法过一点作已知直线的垂线吗
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5.1.2 垂线
[教学目标]
1． 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2． 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3． 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
[教学重点与难点]
1．教学重点：垂线的定义及性质。
2．教学难点：垂线的画法。
[教学过程设计]
一. 复习提问：
1、 叙述邻补角及对顶角的定义。
2、 对顶角有怎样的性质。
二．新课：
引言：
前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题。
（一）垂线的定义
当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，
就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一
条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB、CD互相垂直，记作，
垂足为O。
请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
注意：
1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。
2、掌握如下的推理过程：（如上图）
反之，
（二）垂线的画法
探究：
1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
画法：
让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
（三）垂线的性质
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
练习：教材第7页
探究：
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，
A,B,C,……,其中（我们称PO为点P到直线
l的垂线段）。比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成： 垂线段最短。
（四）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如上图，PO的长度叫做点 P到直线l的距离。
例1
（1）AB与AC互相垂直；
（2）AD与AC互相垂直；
（3）点C到AB的垂线段是线段AB；
（4）点A到BC的距离是线段AD;
（5）线段AB的长度是点B到AC的距离；
（6）线段AB是点B到AC的距离。
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解：A
例2 如图，直线AB,CD相交于点O,
解：略
例3 如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A
向B行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄，
设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近，
行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出P,Q两点位置。
练习：
1.
2.教材第9页3、4
教材第10页9、10、11、12
小结：
1. 要掌握好垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念；
2. 要清楚垂线是相交线的特殊情况，与上节知识联系好，并能正确利用工具画出标准图形；
3. 垂线的性质为今后知识的学习奠定了基础，应该熟练掌握。
作业：教材第9页5、6.
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垂线
教学目标
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。毛
2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.
重点、难点
重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.
难点:对点到直线的距离的概念的理解.
教学过程
一、创设问题情境,探究垂线段最短的垂线性质
1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处, 如何挖渠能使渠道最短
学生看图、思考.
2.教师以问题串形式,启发学生思考.
(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗
学生说出:两点间线段最短.
(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢 把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.
问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L 上各点的线段中,哪一条最短
3.教师演示教具,给学生直观的感受.
教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P.
使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA 长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何 用三角尺检验.
4.学生画图操作,得出结论.
(1)画出直线L,L外一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
5.师生交流,得出垂线的另一条性质.
教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:垂线段最短.
关于垂线段教师可让学生思考:
(1)垂线段与垂线的区别联系.
(2)垂线段与线段的区别与联系.
二、点到直线的距离
1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.
结合课本图形(图5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,∠POA=90°,O为垂足,垂线段PO的长度比其他线段PA1、PA2……中是最短的.
按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
在图5.1-9中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到L的距离.
2.初步应用.
练习1:已知直线a、b,过点a上一点A作AB⊥a,交b于点B,过B作BC⊥b交a 上于点C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离 并且用刻度尺测量这个距离.
练习2:课本中水渠该怎么挖 在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000, 水渠大约要挖多长
练习3:判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.
(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.
学生独立完成,教师组织学生交流、评价.
三、作业
1.课本P9.6,P10.10,11,12,P11观察与猜想.
作业设计
一、填空题.
1.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
2.如图,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
二、解答题.
1.(1)用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA上任取一点P,过P作PQ⊥OB, 垂足为Q,量一量OP的长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗
(2)若所画的∠AOB为60°角,重复上述的作图和测量,你能发现什么
2.如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、 点C到AB的距离.
作业答案:
一、1.4.8,6,6.4,10 2.小明说法是错误的,因为AD与BE是否垂直无判定.
二、1.(1)PQ=OP (2)OQ=OP 2.略.毛
毛
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5．1．2 垂 线
课前准备
学习目标
知识技能目标
1．理解两条直线互相垂直的意义.
2．会经过一点画出和已知直线垂直的直线，会画出三角形的高.
3．了解点到直线的距离的意义.
过程性目标
1．在观察两条直线位置关系的变化过程中，体验图形的美.
2．学会自主探索图形之间的相互关系和变化规律．
温故知新
1.(2004年.江苏徐州)已知∠α=630，那么它的余角等于_______度．
2. 把一副三角板如图叠合在一起，则∠AOB= 度．
3.一个角的补角和余角的大小关系是（ ）
A 余角比补角大 B 余角等于补角 C 余角比补角小 D不能确定
学法指导
引领激活
⊥垂直号
建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线，来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，如图1．这条带铅锤的线叫做铅垂线．测量时这条线在空中自由摆动画出了圆弧，当它静止下来时，铅垂线和地面成直角．当铅垂线与墙壁面平行时，自然墙面和水平面就垂直了．
在平面几何中，把相交成直角的两条直线叫做两条直线互相垂直．“垂直”用“⊥”表示，读作“垂直于”．在图2中，直线AB和CD垂直时，记作：AB⊥CD．
范例点评
【例1】 如图,直线AB与CD相交于O,OE⊥CD, ∠DOF=650,求∠BOE和∠AOC的度数.
分析 由已知条件和图形可知: ∠BOE与∠BOD互作, ∠AOC与∠BOD是对顶角,可先求出∠BOD,则∠BOE, ∠AOC立即可求.
解 ∵OF⊥AB (已知)
∴∠BOF=900,(垂直定义)
又∵∠DOF=650,
∴∠BOD=900-650=250
∴∠AOC=∠BOD=250(对顶角相等)
∵OE⊥CD
∴∠DOE=900 (垂直定义)
∴∠BOE=900-250=650.
评注 垂线概念是本节重点,若两条直线垂直,那么它们相交所成的四个角都是900,根据问题需要选用一个即可.
【例2】 如图 ,已知AOB为一条直线,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,试判断OD和OE的位置关系,并加以说明.
分析观察图形可猜测OD⊥OE,根据垂直定义,只需说明OE,OD的夹角为900即可.
解 ∵OD平分∠BOC,
∴∠COD=∠BOC.
同理可得: ∠COE=∠AOC.
又∵∠AOC+∠BOD=1800(平角定义)
∴∠EOD=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=900
∴OE⊥OD (垂直定义)
评注本题解题过程中的”同理”是在条件相同,推理过程相同的情况下,常用它来缩短书写过程.另外,垂直定义既可作性质用,又可作判定用.几何定义一般都有这两个方面的作用,希同学们细细品味.
【例3】 在给出的下图上,完成下列作图:
⑴作出点A到BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离;
⑵过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F;
⑶延长DA,你能发现什么有趣的结论
解 ⑴⑵的作图如图
⑶DA,BF,CE交于同一点.
评注 过已知一点画直线的垂线,可借助直角三角板来完成,其要领是“一贴”即直角三角板的一直角板贴在已知直线上,“二靠”即三角板的另一直角边经过已知点,“三画线”即过已知点的直角边画垂线
画一条线段或射线的垂线,就是画这条线段或射线所在直线的垂线,垂足可能在线段或射线的延长线上.
点A到BC的垂线段是线段AD,而点到直线BC的距离是指垂线段AD的长度,应注意区别.
【例4】 如图在长方体中,棱AB与哪些面垂直 哪些棱与面A’B’C’D’垂直,面A’ABB’与哪些面垂直 哪些面与面A’D’DA垂直
分析 此题考查线面垂直,面面垂直的概念,紧紧抓住概念的意义,结合图形来回答.
解 棱AB与面BCC`B`,面ADD`A`垂直;棱AA`,CC`,DD`与面A`B`C`D`垂直;面A`ABB`与面ABCD,面A`B`C`D`,面AA`D`D,面BB`C`C垂直;面A`B`C`D`,面A`ABB`,面ABCD,面CDD`C`与面A`D`DA垂直.
评注在长方体中,棱与面,面与面之间存在如下关系:与每个面垂直的棱有四条;与与每条棱垂直的面共有两个;与每个面垂直的面共有四个.
师生互动
课堂交流
如图,在三角形ABC中,∠C=900,三角板的哪条边最长,为什么
提示 判断AC,BC,AB的大小,可借助于”垂线段最短”这一性质来确定.
误区警示
两直线相交与两直线垂直不是两种并列的位置关系,其中两直线垂直属于两直线相交关系,是两直线相交的一种特殊情况;
弄清“两直线垂直”与“垂线”的区别和联系.“互相垂直”是两条直线的位置关系.“垂线”是互相垂中的一条直线对另一直线的称呼.
注意区别“垂线段”和“点到直线的距离”这两个概念.“垂线段”是一个几何图形而“点到直线的距离”是点到直线垂线段的长,是一个数量,不能混淆.
检测评估
1.(2004年北京海淀)若∠A＝34°，则∠A的余角的度数为（ ）．
A．54° B．56° C．146° D．66°
2.(2004年江苏常州)若∠α的余角是30°，则∠α= °．
3.(2004年江苏南通)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列棱中与面CC1D1D垂直的棱是（ ）．
A.A1B1 B.CC1 C.BC D.CD
4.点到直线的距离是指 （ ）．
A. 从直线外一点到这条直线的垂线．
B.从直线外一点到这条直线的垂线段．
C. 从直线外一点到这条直线的垂线的长．
D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长．
5．下面四种说法：
⑴过一点有一条线和已知直线垂直；
⑵过一点有且只有一条直线和已知直线垂直．
⑶直线的垂线和直线上的任一线段垂直．
⑷对顶角中有一个角是直角时，相邻的边互相垂直．
其中说法正确的个数有 （ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6．如图，已知ON⊥a,OM⊥a，所以OM与ON重合的理由是 （ ）．
A 过二点只有一条直线
B 经过一点有且只有一条线段垂直于已知直线
C 过一点只能作一条垂线
D垂线段最短
7．如图，已知直线AB，CD，EF相交于O，且AB⊥CD，若∠COE=3501`，则∠AOE= ．
8．如图 ，已知OA⊥OB，∠AOC=∠BOD，由此判定OC⊥OD，下面是推理过程，请在横线上填空．
∵OA⊥OB （已知）
∴ =900 （ ）
∵ =∠AOC-∠BOC， =∠BOD-∠BOC
∠AOC=BOD
∴ =（等量代换）
∴ =900．
∴CO⊥OD． （ ）
9．定点P在直线AB外，动点O在直线AB上移动，当线段PO最短时，∠POA= 度，这时线段PO所在的直线是AB的 ．线段PO叫做直线AB的 ．点P到直线AB的距离就是线段 ．
10．作∠AOB=900，在OA上取一点C，使OC=3cm，在OB上取一点D，使OD=4cm，用三角尺过C点作OA的垂线，经过点D作OB的垂线，两条垂线交于点E．
⑴量出∠CED的大小；
⑵量出点E到OA的距离，点E到OB的距离．
11．如图 ，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=200，求∠AOM的度数．
12.如图 ，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿鱼具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．
5．1．2 垂线
温故知新 1.270 2.150 3.C
引领激活
课堂交流 AB边最长
检测评估 1.B 2.600 3.C 4.D 5. D 6.B 7. 54059` 8. ∠AOB,垂直定义 ∠AOB,∠DOC,∠AOB, ∠DOC ,∠DOC,垂直定义 9. 900 垂线 垂线段 PO的长10. 略
11. 500 12. 行走路径如图,从A到B再到C.理由是两点之间线段最短,垂线段最短.
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