湖州中学2023学年第一学期高二第二次阶段性测试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
2. 若等差数列的前项和为，且，则等于
A. B. C. D.
3. 若平面的一个法向量为，点，且，则点到平面的距离为
A. B. C. D.
4. 若实数满足，则的最大值是
A. B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，若的中点的纵坐标为，则的值为
A. B. C. D.
6. 已知，则“”是“”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
7. 已知为正实数，则的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数在上值域是，则的取值可以是
A. B. C. D.
10. 已知是左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，则下列说法正确的是
A. B. 的离心率是
C. 的渐近线与双曲线的渐近线相同 D. 的面积是
11. 设等差数列的公差为，前项和. 若，，则下列结论正确的是
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 中最大的是
12. 已知矩形中，，现沿将此矩形折成的二面角，则折后下列结论正确的是
( )
A. 四面体的外接球半径为 B. 四面体的体积是
C. D. 异面直线所成角的余弦值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 动直线过定点，则的坐标为____▲____.
14在等比数列中，若，则___▲____.
15. 在边长为的正方形中，是中点，则___▲____；若点在线段上运动，则的最小值是___▲____.
16. 已知圆，圆. 若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是____▲____.
四、解答题：本大题共6题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.本题10分)
已知是等差数列，是等比数列，且.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
18. (本题12分)
已知斜内角的对边分别为，函数，且.
求的值；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
19.(本题12分)
如图，在三棱柱中，，分别是上的点，且. 设，.
(1)试用表示向量；
(2)若，求的长.
(
第19题图
)
(本题12分)
已知是抛物线上两点，且它们横坐标的和是.
(1)求直线的斜率；
(2)设是抛物线上一点，若在处的切线与直线平行，且，求直线方程.
21. (本题12分)
如图，在四棱锥中，，且，，
，为的中点.
(1)求证：平面；
(
第21题图
)(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22. (本题12分)
在平面直角坐标系内，已知两点关于原点对称，且的坐标为. 曲线上的动点满足当直线的斜率都存在时，.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，问是否存在定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.湖州中学2023学年第一学期高二第二次阶段性测试数学答案
一、单选题
1. D 2. D 3. B 4. D 5. C 6. A 7. C 8. A
二多选题
9. BCD 10. BCD 11. BCD 12. AB
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.本题10分)
已知是等差数列，是等比数列，且.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
答案：(1)； (2).
18. (本题12分)
已知斜内角的对边分别为，函数，且.
(1)求的值；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
答案：(1)；
(2)
，取等号时，，所以的最大值为.
19.(本题12分)
(
第19题图
)如图，在三棱柱中，，分别是上的点，且. 设，.
(1)试用表示向量；
(2)若，求的长.
答案：(1)；
(2).
20. (本题12分)
已知是抛物线上两点，且它们横坐标的和是.
(1)求直线的斜率；
(2)设是抛物线上一点，若在处的切线与直线平行，且，求直线方程.
答案：(1)；
(2)提示：设切线，与联立，得；设，与联立得，，由，得
，此时，满足，所以直线方程为.
21. (本题12分)
如图，在四棱锥中，，且，，
，为的中点.
(1)求证：平面；
(
第21题图
)(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案：(1)取中点，连，证明为，余略；
(2)取中点，连，证明，进而，再由余弦定理得，而，即，所以平面，在平面内作，则可以为正向建立空间直角坐标系，得各点坐标，所以.
假设存在点满足题意，并设，则可得，可求得平面和平面的一个法向量分别为，所以
，所以假设成立，即存在，且.
22. (本题12分)
在平面直角坐标系内，已知两点关于原点对称，且的坐标为. 曲线上的动点满足当直线的斜率都存在时，.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，问是否存在定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
答案：(1)曲线的方程为，过程略；
(2)假设存在满足题意，并设，联立，得
，则.
因为直线关于轴对称，所以，即，即
对任意成立，所以，即假设成立，存在定点满足题意.
